朱潔芬 李曉飛

【目標(biāo)預(yù)設(shè)】

1.經(jīng)過(guò)自主整理，形成整理方法，自我反思查漏補(bǔ)缺；借助數(shù)形結(jié)合進(jìn)一步理解運(yùn)算律；在應(yīng)用運(yùn)算律過(guò)程中總結(jié)簡(jiǎn)便方法；掌握運(yùn)算律結(jié)果相等而運(yùn)算順序不同的本質(zhì)。

2.經(jīng)歷整理與練習(xí)的過(guò)程，培養(yǎng)觀察、比較、分析、抽象、概括等邏輯思維能力，體會(huì)化歸思想，形成簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型。

3.在自主探究、小組合作學(xué)習(xí)中感受成功的樂(lè)趣，增強(qiáng)協(xié)作意識(shí)，促生數(shù)學(xué)親昵感。

【教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)】

深刻理解運(yùn)算律并能靈活應(yīng)用形成方法。

【教學(xué)過(guò)程】

一、 自主先學(xué)

課前嘗試整理《運(yùn)算律》。

要求：

1.回顧本單元的運(yùn)算律，你能舉例說(shuō)明并用字母表示嗎？能用喜歡的方法整理一下嗎？

2.通過(guò)整理，想一想哪些地方還存在困難或問(wèn)題。

提示：課前完成，可以查資料，也可參照優(yōu)秀的整理方案。

二、小組討論

師要求：先在組內(nèi)展示作業(yè)，交流并討論整理方法。并推選出代表做好交流匯報(bào)的準(zhǔn)備。

學(xué)生小組交流討論。

三、交流展示

1.分享成果

生1匯報(bào)：本單元學(xué)習(xí)五個(gè)運(yùn)算律，我按運(yùn)算分為加法和乘法兩類整理，分別是……我整理得怎么樣？

生總評(píng)：整理得很好。

師追問(wèn)：好在哪里？

生評(píng)價(jià)：用分類和列表的方法整理，看起來(lái)更清晰。

生2匯報(bào)：我把運(yùn)算律分為交換律、結(jié)合律和分配律三類整理，用畫圖方法。

生質(zhì)疑：你是怎樣想到這個(gè)方法的呢？

生2釋疑：對(duì)比這些運(yùn)算律，就能發(fā)現(xiàn)加法、乘法交換律都是交換了兩個(gè)數(shù)的位置；結(jié)合律就是只改變運(yùn)算順序。

師生共同體會(huì)運(yùn)算律之間的關(guān)系。

師引導(dǎo)：對(duì)學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行整理有什么好處？整理有哪些方法？

學(xué)生補(bǔ)充得出：先分類，再用列表或畫圖方法，教師板書并介紹其他整理方法。

2.查漏補(bǔ)缺

師提問(wèn)：通過(guò)對(duì)本單元的回顧整理，還有哪些地方存在困難或問(wèn)題？

生1、生2、生……：對(duì)XXXXX運(yùn)算律的理解不太清楚。

生1、生2、生……：用運(yùn)算律做簡(jiǎn)便運(yùn)算不熟練，容易出錯(cuò)。

師總結(jié)：?jiǎn)栴}集中在兩個(gè)方面。一是對(duì)個(gè)別運(yùn)算律的理解不透徹；二是應(yīng)用運(yùn)算律不夠熟練。

【評(píng)析：對(duì)課前整理展開(kāi)交流討論和全班展示，讓個(gè)體智慧在群體中產(chǎn)生碰撞，形成整理知識(shí)的方法，對(duì)研究問(wèn)題達(dá)成共識(shí)；通過(guò)自我回顧和反饋發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，為進(jìn)一步探究做準(zhǔn)備?！?/p>

四、理解感悟

1.數(shù)形結(jié)合，加深理解

（1）直觀感受加法和乘法的交換律

師：猜一猜，除了用字母或數(shù)字表示運(yùn)算律，還可以怎樣表示運(yùn)算律？

生：圖形。

師呈現(xiàn)圖1。

師提問(wèn)：這兩幅圖形里隱藏著哪個(gè)運(yùn)算律？你是怎樣想的？

學(xué)生獨(dú)立觀察并思考。

生答：第一幅圖中交換a、b兩根線段的位置，長(zhǎng)度不變。表示a+b=b+a，是加法交換律；第二幅圖用長(zhǎng)上a個(gè)乘寬上b個(gè)或者用寬上b個(gè)乘長(zhǎng)上a個(gè)，都能求出◇的個(gè)數(shù)。表示a×b=b×a，是乘法交換律。

師：閉上眼睛回想一下用怎樣的圖形表示了什么運(yùn)算律，再和同桌說(shuō)一說(shuō)。

（2）借助直觀猜想加法結(jié)合律

師：猜想一下，加法結(jié)合律可以用圖形怎樣表示？想好后和同桌交流。

生匯報(bào)：從加法交換律受到啟發(fā)，可以用三根線段分別表示a、b、c，可以先將前兩根線段合起來(lái)，也可以先把后兩根線段合并……

師呈現(xiàn)直觀圖2。全班學(xué)生認(rèn)可。

（3）小組討論乘法結(jié)合律和分配律

師呈現(xiàn)動(dòng)圖3，學(xué)生仔細(xì)觀看。

師：確定看明白了就想一想對(duì)應(yīng)的運(yùn)算律，再在小組內(nèi)展開(kāi)討論。

生1匯報(bào)：第一組圖形都是要求正方體個(gè)數(shù)。可以先算a×b求出橫著一層個(gè)數(shù)，再和c相乘；也可以先算b×c求出截面?zhèn)€數(shù)再乘a，也就是（a×b）×c=a×（b×c），表示乘法結(jié)合律。

生2匯報(bào)：第二組圖形都是求兩個(gè)長(zhǎng)方形面積。可以先算a+b求出大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，再和寬c相乘；也可以分別求出a×c和b×c，再相加，也就是（a+b）×c=a×c+b×c，表示乘法分配律。

學(xué)生評(píng)價(jià)交流。

（4）獨(dú)立尋找乘法對(duì)減法的分配律和減法性質(zhì)

師：拿出作業(yè)紙，嘗試找一找這兩幅圖形中的運(yùn)算律。（呈現(xiàn)圖4）

學(xué)生獨(dú)立嘗試后自覺(jué)組內(nèi)交流。

生1匯報(bào)：第一幅圖是求粉色面積?？梢杂胊-b的差和c相乘，也可以用大長(zhǎng)方形面積a×c減去小長(zhǎng)方形面積b×c。這就得出（a-b）×c=a×c-b×c，像乘法分配律。

師：乘法分配律包括乘法對(duì)加法的分配和乘法對(duì)減法的分配。

生2匯報(bào)：第二幅圖是求最后一段長(zhǎng)度?？梢詮腶中先去掉b再去掉c，也可以先去掉c再去掉b，或者去掉b和c的和。得出a-b-c=a-c-b=a-（b+c），這個(gè)是減法性質(zhì)。

2.溝通聯(lián)系，加深體會(huì)

呈現(xiàn)圖5，師生共同觀察。

師：用直觀圖表示運(yùn)算律，感覺(jué)如何？

生：理解起來(lái)更簡(jiǎn)單。

師：要想結(jié)合圖形理解運(yùn)算律，是否有更快的聯(lián)想方法？你能和大家分享經(jīng)驗(yàn)嗎？

學(xué)生獨(dú)立思考后組內(nèi)交流。

生分享：加法運(yùn)算律和減法性質(zhì)只要用線段圖就可以表示乘法運(yùn)算律必須借助長(zhǎng)方形或長(zhǎng)方體表示。

3.抽象概括，把握本質(zhì)

師：結(jié)合圖形，觀察對(duì)應(yīng)的運(yùn)算律。這些運(yùn)算律左右兩邊什么變了，什么沒(méi)變？

學(xué)生組內(nèi)討論得出：運(yùn)算順序不同而結(jié)果相等。

教師板書并指出：這是運(yùn)算律的特點(diǎn)。

【評(píng)析：利用直觀圖，通過(guò)獨(dú)立思考、空間想象、小組討論及自主嘗試等多種學(xué)習(xí)形式，將數(shù)形結(jié)合，理解運(yùn)算律的同時(shí)加強(qiáng)彼此之間的聯(lián)系，提升建模質(zhì)量?！?/p>

五、提升策略

1.體會(huì)運(yùn)算律和運(yùn)算的一致性

師：學(xué)習(xí)運(yùn)算律有什么作用？

生：為了簡(jiǎn)便運(yùn)算。

師：只有簡(jiǎn)便運(yùn)算中存在運(yùn)算律嗎？

學(xué)生思考片刻紛紛回答：不是，加法和乘法計(jì)算的驗(yàn)算方法就是運(yùn)用交換律……

師生共同觀察加法、乘法筆算過(guò)程，體會(huì)運(yùn)算中的運(yùn)算律。呈現(xiàn)動(dòng)圖6

生1答：加法筆算用到了交換律，相同數(shù)位的數(shù)相加運(yùn)用加法結(jié)合律；乘法計(jì)算中先分步計(jì)算，再將兩次的結(jié)果相加，這個(gè)過(guò)程運(yùn)用乘法分配律。

師生共同評(píng)價(jià)。

師：原來(lái)，運(yùn)算律一直存在運(yùn)算中。隨著年齡的增長(zhǎng)，我們可以將運(yùn)算律熟練地運(yùn)用，就能使得計(jì)算變得簡(jiǎn)單快捷，這就是簡(jiǎn)便運(yùn)算。

2.應(yīng)用類比形成策略

（1）應(yīng)用類比

師提問(wèn)：任意一道計(jì)算題都能直接簡(jiǎn)便計(jì)算嗎？

生回答：不能。得先觀察，看看能不能湊成整十、整百、整千……

師總結(jié)并板書（可湊整）。

呈現(xiàn)習(xí)題：64×37+37×36= 98+202= 44×25=

師：觀察這組習(xí)題是否具備簡(jiǎn)便計(jì)算的特點(diǎn)？

生1答：它們都可以湊整。

生2答：第一題直接應(yīng)用乘法分配律把64和36相加湊成整百，再和37相乘。（師板書符合運(yùn)算律形式）

生3答：后兩道題目不符合運(yùn)算律形式，需要變變形。

教師鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立完成后兩題再在小組內(nèi)交流。

生1答：把202拆分成200+2再和98相加。

生2答：用100-2代替98，用202分成200+2，再相加。

生3答：計(jì)算44×25，可以將44拆分乘40+5再分別和25相乘，這樣就能運(yùn)用乘法分配律簡(jiǎn)便計(jì)算。

生4答：計(jì)算44×25，也可以將44拆成4×11再乘25，這樣就能運(yùn)用乘法交換律和乘法結(jié)合律簡(jiǎn)便計(jì)算。

生5答……

師小結(jié)：變形的目的就是為了把原式變成符合運(yùn)算律的形式，方便應(yīng)用簡(jiǎn)算。

師呈現(xiàn)學(xué)生所有方法圖7，并板書“可拆分”。

師提問(wèn)：對(duì)比原式，想一想在變形時(shí)應(yīng)注意什么？

學(xué)生獨(dú)立思考后小組內(nèi)展開(kāi)討論。

生1匯報(bào)：無(wú)論把98+202怎么變，都仍然表示把98和202合起來(lái)；無(wú)論把25×44怎么變，都仍然表示求25和44的乘積。

生2匯報(bào)：無(wú)論如何變形，數(shù)字大小不變，原式的意義不改變。

師小結(jié)并板書（與原式一致），并指出無(wú)論多么復(fù)雜的變式都必須遵循這個(gè)原則，才能保證變形前后的結(jié)果相等。

（2）應(yīng)用提升

294-36-64 48×101-48 87+46+13+54 102×45

呈現(xiàn)一組習(xí)題，學(xué)生獨(dú)立完成并說(shuō)一說(shuō)應(yīng)用什么運(yùn)算律簡(jiǎn)便計(jì)算的。

3.自我反思找原因

師談話：大家回顧本單元知識(shí)時(shí)，反映簡(jiǎn)便計(jì)算容易出錯(cuò)，通過(guò)剛才的整理與練習(xí)，反思一下原來(lái)易錯(cuò)的原因。

學(xué)生反思并回答：考慮不周全……

【評(píng)析：從學(xué)生熟知的運(yùn)算中體會(huì)運(yùn)算律與運(yùn)算的一致性，再次感受運(yùn)算律的價(jià)值。在具體應(yīng)用中經(jīng)過(guò)不斷反思與總結(jié)，逐步抽象概括出應(yīng)用運(yùn)算律簡(jiǎn)便計(jì)算的注意點(diǎn)，形成策略，為后繼進(jìn)一步拓展奠定基礎(chǔ)?！?/p>

六、回顧梳理

師：回過(guò)頭去看一看，我們本節(jié)課走過(guò)了哪些路，收獲了哪些風(fēng)景？

學(xué)生思考后匯報(bào)，教師一一呈現(xiàn)圖8

【評(píng)析：以板塊式回顧、呈現(xiàn)本節(jié)課教學(xué)流程，幫助學(xué)生固化知識(shí)結(jié)構(gòu)，有效梳理和反思，凸顯整理練習(xí)課的優(yōu)勢(shì)?！?/p>

七、布置作業(yè)

師：本節(jié)課整理出加法和乘法的運(yùn)算律以及減法性質(zhì)，猜猜看可能還會(huì)存在什么運(yùn)算定律或性質(zhì)呢？

生：除法的……

師：課后完成整理與練習(xí)的第6題，并將自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嘗試用字母表示。

【評(píng)析：通過(guò)猜想和實(shí)踐，鼓勵(lì)學(xué)生自主抽象概括，使學(xué)習(xí)活動(dòng)從課內(nèi)延伸到課外，給學(xué)生提供更為廣闊和開(kāi)放的學(xué)習(xí)空間，達(dá)到學(xué)習(xí)質(zhì)量的個(gè)體化和最優(yōu)化?！?/p>

【總評(píng)】

作為整理與練習(xí)課，本節(jié)課設(shè)計(jì)很有特色，教學(xué)效果也很好。具體來(lái)說(shuō)體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：

第一，巧用自主整理，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。本節(jié)課第一個(gè)環(huán)節(jié)是回顧與整理。課前老師就把這個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)交給學(xué)生，此類前置性安排讓每一個(gè)學(xué)生都擁了自主整理的時(shí)間，更擁有了挑戰(zhàn)困難的空間，如遇到困難時(shí)可以查資料，甚至可以參考別人的整理方案等。課堂上基于自主整理的分享與討論，不僅讓運(yùn)算律之間的多重聯(lián)系得以構(gòu)建，而且讓靈動(dòng)的、多樣的整理方法得以顯現(xiàn)，如分類、列表、畫圖等，多樣化表征也激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

第二，妙用數(shù)形結(jié)合，突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)。教學(xué)實(shí)踐中不難發(fā)現(xiàn)，單獨(dú)學(xué)習(xí)某個(gè)運(yùn)算律的時(shí)候，學(xué)生并不會(huì)感到很困難，然而到了綜合應(yīng)用的時(shí)候，各種錯(cuò)誤就會(huì)出現(xiàn)，有些錯(cuò)誤甚至是頑固地、反復(fù)地出現(xiàn)。究其原因，正是本節(jié)課上學(xué)生自主整理、自主反思后得到的：對(duì)個(gè)別運(yùn)算律的理解不透徹。該難點(diǎn)如何突破？在本節(jié)課上，老師通過(guò)設(shè)問(wèn)：“猜一猜，除了用字母或數(shù)字表示運(yùn)算律，還可以怎樣表示運(yùn)算律？”巧妙將學(xué)生的思維方式由抽象轉(zhuǎn)換為形象，引導(dǎo)學(xué)生借助線段圖、面積圖、體積圖等幾何直觀表示運(yùn)算律，不僅豐富了運(yùn)算律的表征形式，更有利于運(yùn)算律的直覺(jué)理解和把握。

第三，豐富應(yīng)用形態(tài)，提升學(xué)習(xí)能力。在已有的運(yùn)算律學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)運(yùn)算律的應(yīng)用一般僅僅定位于驗(yàn)算、簡(jiǎn)便計(jì)算等方面。本節(jié)課上，老師十分注重打破此類固有的、狹隘的認(rèn)識(shí)，通過(guò)對(duì)已有豎式計(jì)算的回望、簡(jiǎn)便計(jì)算的拓展，豐富學(xué)生對(duì)運(yùn)算律的價(jià)值認(rèn)識(shí)，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升學(xué)習(xí)能力。

【作者簡(jiǎn)介】

李曉飛，睢寧縣古邳鎮(zhèn)中心小學(xué)教師，徐州市學(xué)科帶頭人，獲江蘇省第十四屆“藍(lán)天杯”小學(xué)數(shù)學(xué)會(huì)課一等獎(jiǎng)。

朱潔芬，江蘇省如東縣掘港小學(xué)黨支部書記、副校長(zhǎng)。教育碩士，高級(jí)教師，江蘇省小學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師，江蘇省師德先進(jìn)個(gè)人，南通市“226高層次人才培養(yǎng)工程”中青年科學(xué)技術(shù)帶頭人，如東縣專業(yè)技術(shù)拔尖人才，如東縣“園丁獎(jiǎng)”獲得者。曾當(dāng)選南通市黨代表、如東縣人大代表等。