伍春蘭 李紅云

(北京教育學院數學系 100120)

引言

GeoGebra動態(tài)數學教學軟件是美國數學教授Markus Hohenwarter2002年創(chuàng)建的，它所占空間小，但將幾何、代數、表格、作圖、統(tǒng)計、微積分以直觀易用的方式動態(tài)集于一體，特別是開源共享互動，贏得了世界各國數學教育者的青睞. 現(xiàn)在的中學生只需簡單培訓，就可基本掌握操作.

在中國知網(http://cnki.net)，截止到2018年1月以“GeoGebra”為“關鍵詞”檢索的成果有115份. 除去碩博論文外，公開發(fā)表的只有96篇，最早一篇發(fā)表于2010年[1]. 發(fā)表的與中小學數學教學相關的論文共計72篇，可歸納為三類：GeoGebra功能在中小學教學應用的介紹；基于GeoGebra的中小學教學的研究；借助GeoGebra探究某一具體題目(高考題或習題). 瀏覽論文，發(fā)現(xiàn)基于GeoGebra的探究或實驗學習的研究屈指可數.

為了有效落實教育部《教育信息化十年發(fā)展規(guī)劃(2011—2020年)》中提出的在基礎教育階段推進信息技術與教學融合的目標，我們選擇GeoGebra軟件，探求學生以此為平臺開展探究學習的可行性及相應的教學策略. 于是我們與北京市某普通城市初中校合作，開發(fā)了“基于GeoGebra的數學實驗”的校本課程. 課程對象是該校27名八年級學生，其父母是周邊居民或租住在附近的外地打工者. 課程時間是2017年第一學期，共12次課程，每次課時長達90分鐘. 課程的主要學習目標是掌握GeoGebra軟件的基本功能；借助GeoGebra進行數學實驗，提升使用信息技術學習的意愿，培養(yǎng)信息化環(huán)境下的學習能力和思維品質.

本文以探究四邊形全等條件為例，說明學生如何在GeoGebra環(huán)境下探究學習，并引發(fā)信息技術與數學學科融合的若干思考.

1 探究

探究四邊形全等條件是三角形全等條件探索的延拓，對學生而言有一定的挑戰(zhàn)性. 我們的研究假設是學生經歷了三角形全等條件的探索后，借助GeoGebra是可以完成四邊形全等條件的探索. 為此我們設計并實施了三個階段活動：探究準備——GeoGebra學習；探究指導——三角形全等條件；自主探索——四邊形全等條件.

1.1 探究準備——GeoGebra學習

以任務驅動的方式學習GeoGebra，將其基本功能的學習融入其中. 比如通過三角形的三線(高線、中線和角平分線)的構造，學習了構造三角形、垂線、垂足、高、中點、中線、角平分線、度量角、給角加標記、度量線段、動態(tài)文本等方法. 同時在構造數學對象前，啟發(fā)學生分析數學對象的結構、構造數學對象的要素，在分析和思考的基礎上再構造數學對象. 這樣學習GeoGebra操作，不僅讓學生知其然知其所以然，而且還能達到舉一反三、快速掌握的目的.

1.2 探究指導——三角形全等條件

判定兩個三角形全等的定理(邊邊邊SSS、邊角邊SAS、角邊角ASA)，義務教育數學課程標準(2011年版)是作為基本事實[2](無需證明)給出的. 不同版本教材基本上都是通過畫圖，讓學生確信分別滿足邊邊邊SSS、邊角邊SAS、角邊角ASA條件所畫出的三角形與已知三角形全等. 判定定理角角邊AAS是作為角邊角ASA的推論，直角三角形判定定理斜邊直角邊HL也是通過畫圖感受的. 調查顯示，兩個三角形全等的上述5個判定定理，多數教師會安排4-6課時. 除了AAS，其余4個多數教師會讓學生利用尺規(guī)畫圖感知的，其目的是加深對定理的理解. 但很少讓學生借助信息技術整體設計，特別是缺少系統(tǒng)的思考：三個相等條件可以判斷三角形全等，多一個或少一個條件如何？為什么就5個判斷定理？它們的聯(lián)系是什么？

利用GeoGebra探究三角形全等條件前，我們對學完5個三角形全等判定定理后不久的27名學生調查：“你是如何學習三角形全等判定的”？學生只給出了三角形全等判定的結論，追問學生“老師讓你們畫圖驗證了嗎”？學生點頭，但說不出是怎樣畫的. 進一步訪談，印證了我們的猜想：學生雖然經歷了尺規(guī)畫圖驗證，但更多的是按教師規(guī)定的步驟操作，多數學生甚至不知道為什么畫圖.

GeoGebra為5個三角形全等的判定定理的整合設計和系統(tǒng)思考，帶來了便利. 指導學生進行三角形全等判定探索時，我們引導學生思考的主要問題有：(1)三角形構成元素有哪些？(2)判定三角形全等需要哪些要素？需要幾個要素？(3)如何驗證我們的猜想？特別是重點討論問題(2)，引導學生思考可以逐一增加元素個數或逐一減少元素個數，并有序地將一個元素、兩個元素列舉出來并利用GeoGebra進行驗證，體會“當畫出的三角形不能唯一確定時，相當于否定了給出的判定條件”. 當三個條件時，有序地列舉出所有三個條件的情況(見表1)，并依次對上述六種情況驗證.

表1 三個條件對應相等的三角形

在完成一般三角形探究之后，提出思考問題：兩邊和其中一邊的對角對應相等(邊邊角SSA)，會得到兩個滿足條件的三角形，即邊邊角SSA條件不能判定三角形全等. 如果將三角形特殊化，如等腰三角形、等邊三角形或直角三角形，邊邊角SSA條件是否成立？事實上，這也是進行真正的數學研究的一種思路，即當條件一般化受阻后，再增加條件或條件特殊化，探討結論是否成立.

1.3 自主探索-四邊形全等條件

以學生為主體進行基于GeoGebra探究四邊形全等判定條件時，學生經歷了以下過程：問題提出、合理猜想、驗證猜想、與演繹證明初步聯(lián)系.

(1)問題提出

發(fā)現(xiàn)問題、提出問題是思維的起點，因此我們沒有讓學生直接探究四邊形全等判定條件，而是創(chuàng)設學生提問題的機會：“通過對一般三角形全等判定條件的探索，你覺得有哪些類似問題可以探究”？我們預設的問題來自以下兩個方向：特殊三角形全等的判定，如等腰三角形全等的判定條件(從一般三角形到特殊三角形)；多邊形全等的判定，如四邊形全等判定的條件(從三角形到多邊形).

學生并沒有如我們預想的方向提出研究問題，而是空泛地提出如何應用三角形全等判定定理解決問題. 這恰是教師教學習慣的真實映照：學完定理，只關注到用定理解決問題(考試的內容)，而漠視對定理的延拓(非直接考試的內容)，致使我們的學生只會解題而對問題本身探索的意識和能力匱乏.

貴州9個地區(qū)土壤對Cd的吸附△Go<0，說明吸附反應可自發(fā)進行。在相同pH條件下，土壤對重金屬的吸附量與初始濃度呈正相關；在不同pH條件下，土壤對重金屬Cd的吸附量隨pH升高而逐漸增大。

(2)合理猜想

合理猜想四邊形全等判定的條件時，有學生類比三角形全等的研究過程，提出可逐一增加對應相等的元素(邊或角)個數(1、2、3、4……)或減少元素個數(7、6、5、4……)的探究路徑. 也有學生認為四邊形判定的條件無需從頭開始考察，可以借助三角形全等的已有判定條件，再添加條件的探究思路. 后者思路在教師的啟發(fā)下得到學生的認同后，學生借助三角形SSS、SAS、ASA及AAS的判斷定理，增加一個條件，提出四邊形全等判定猜想命題.

在課程中，學生小組合作完成在三角形全等已有判定條件基礎上的所有四個條件的猜想并整理、查看是否有重復條件.

(3)驗證猜想

以驗證猜想1：四條邊對應相等的四邊形是全等四邊形(SSSS)為例，說明驗證過程.

學生能將在GeoGebra探究三角形SSS的經驗遷移過來，知道這個問題可以轉換為已知四邊形的4條邊長，先求作這個四邊形，然后再探討. 畫出滿足猜想條件的四邊形如果唯一，相當于猜想成立；如果四邊形不唯一，則猜想不成立. 為統(tǒng)一，我們先讓學生做一個具體的四邊形ABCD，其中AB=5，BC=3，CD=2，AD=4，然后再探究四邊形ABCD的唯一性問題.

學生借助GeoGebra畫圖時，遇到一個難題：C點在以B為心半徑為3的圓上，D點在以A為心半徑為4的圓上，如何確定CD=2. 于是我們啟發(fā)學生，先將C點取定后，再確定D點(見圖1).

圖1

圖2

圖3

(4)與演繹推理初步聯(lián)系

學生經過探究，發(fā)現(xiàn)四個條件的猜想都不成立. 于是引導學生進一步思考，在四個條件基礎上加一個什么條件能否判定全等？在五個條件的探究過程中，通過GeoGebra畫圖找到可以判定四邊形全等的條件后，如四個邊和其中一個內角(SSSSA)，對于數學能力好的學生，我們嘗試讓其從演繹推理的角度證明判定條件成立. 事實上，在我們的課堂實踐中，有些數學能力好的學生在利用GeoGebra作圖驗證的過程中，已經開始注意到其中用到了三角形全等條件，并嘗試進行證明. 從學生的表現(xiàn)來看，我們相信在這樣的探究中能夠指導學生從初步的驗證到演繹推理的進階.

2 結論

通過“基于GeoGebra的數學實驗”的校本課程的實踐，我們得到的結論是：GeoGebra可以為數學教與學搭建高認知的平臺.

首先，它解決了“探究學習”的難點問題：創(chuàng)設一個以“學”為中心的“數學實驗”情境，使學生愿意并真正有機會自主地探索，這樣的情境不借助信息技術是很難完成的. 上述探究四邊形全等條件的過程中，至少需要五個條件才能判定四邊形全等的結論是學生通過一系列探究活動得出的，在此過程中學生的數學思考得到發(fā)展：通過類比推廣提出問題；在已有研究基礎上做出合理的猜想；探究過程中，根據條件畫出圖形唯一，就相當于給出了判定條件；探究全等判定條件的過程能夠給推理證明以啟發(fā). 需要警惕的是，以思維含量極低的問題牽引的操作，被認為是探究的誤區(qū).

其次，以課本內容為基礎，在學生最近發(fā)展區(qū)內適度擴展學習的邊界，創(chuàng)設校本課程，不僅鞏固了課本內容，也拓寬了學生的視野，提升了學習能力. 上述的四邊形全等條件的探索就是三角形全等條件的探索方法的遷移，學生探究的過程及結果證明了我們的研究假設：學生可以完成四邊形全等條件的探索. 在這個過程中，學生不僅加深了對三角形全等條件的整體理解，同時提升了學生探究的能力. 需要澄清的是，課程標準和考試大綱是針對國家課程的，地方課程和校本課程在學生學有余力及最近發(fā)展區(qū)內，是可以適度突破的.

第三，為教學整體設計帶來了更多的可能，為學生系統(tǒng)思考提供了抓手. 前述的“三角形全等條件的探索”就是教材整體設計的示范，這樣的學習不僅可以使學生系統(tǒng)掌握相關的知識技能，而且可以讓學生親身體驗一下數學創(chuàng)造與發(fā)現(xiàn)的過程，以提高學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力及創(chuàng)新意識，這對于深化教育改革，全面落實核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標，將具有重要的促進作用和十分重要的現(xiàn)實意義. 需要指出的是，并列結構的學習內容，“線性”、“并聯(lián)”方式設計各有利弊，但從思維水平和學習能力的相應提升，以及建立良好的認知結構而言，后者利大于前者.

3 建議

國務院2017年1月頒布了《國家教育事業(yè)發(fā)展“十三五”規(guī)劃》，明確提出將大力在全國推進信息技術與教育教學深度融合. 作為數學學科，欲形成“課堂用、經常用、普遍用”的信息化教學新常態(tài)，需要強化信息技術與數學教學融合的四個意識：

第一，工具意識. 信息技術是教師教的工具，也是學生學的工具；是呈現(xiàn)、獲取數學知識的便捷手段，也是探究、解決問題的有力工具.

第二，學習意識. 信息技術頻繁迭代，共享、便捷、功能強大是方向，但作為教學手段也需要學習研磨和與時俱進. 選擇易得、易學，突出數學本質的動態(tài)數學軟件作為日常教與學的手段，是有效且持久開展信息技術與數學教學融合的基礎.

第三，課程意識. 信息技術不僅帶來的是教與學方式的改變，而且也帶來了學習內容的改變，固守顯見的考試內容而不顧學生核心素養(yǎng)培養(yǎng)的教學觀是不可取的. 在技術極速變化的時代，作為教師應該借助信息技術，適度延拓已有的教學內容，開發(fā)校本課程.

第四，發(fā)展意識. 信息技術除了可以讓學習知識技能變得更直觀簡單，而且可以提供數學實驗的平臺，促進學生探究意識和能力的提升. 因此，基于信息技術的探究學習，更需要教師從學生發(fā)展的角度，不僅是牽引學生爬上教師精心設計的腳手架操作，還需要從創(chuàng)設發(fā)現(xiàn)、提出問題的時機，以及體驗分析問題的角度，經歷解決問題的全過程.