2018年6月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

2426形如n=4a(8b+7)(a,b∈N)的正整數(shù)不能表示成三個整數(shù)的平方和.

(浙江省富陽二中許康華 311400)

證明由x2≡0,1,4(mod8),得對任意的x1,x2,x3∈Z,

故形如8b+7(b∈N)的數(shù)不能表示成三整數(shù)的平方和.

所以當a=0時,對任意的b∈N結(jié)論都成立.

假設(shè)當a=l∈N,?b∈N結(jié)論都成立.

當a=l+1時,如果存在某個b∈N,

所以x1≡x2≡x3≡0(mod2),

這與歸納假設(shè)矛盾.

所以當a=l+1時,對一切k∈N,結(jié)論都成立.

由數(shù)學歸納法知,結(jié)論成立.

2427設(shè)a,b,c是正實數(shù)，x,y,z是實數(shù)，求證：

≥xy+yz+zx.

(陜西省咸陽師范學院基礎(chǔ)教育課程研究中心 安振平 712000)

證明應(yīng)用柯西不等式，得

于是，只要證明

等價于(ay+bz+cx)2+(az+bx+cy)2

≥2(ab+bc+ca)(xy+yz+zx),

等價于a2(y2+z2)+b2(z2+x2)+c2(x2+y2)

≥2abxy+2bcyz+2cazx,

等價于(ay-bx)2+(bz-cy)2+(cx-az)2≥0.獲證.

(北京市芳草地國際學校富力分校 郭文征 郭璋 100121)

證明如圖，設(shè)MA=a，AP=x，PB=y，BN=b.

因為MN為⊙O的直徑，PP1⊥MN，

=(x+y)(a+x)(b+y)

=xya+x2y+y2a+xy2+xab+x2b+yab+xyb.

(Ⅰ)

同理可得

=xya+y2a+yab，

(Ⅱ)

=xb(x+y+a)=x2b+xyb+xab，

(Ⅲ)

又AB·AP·PB=xy(x+y)=x2y+xy2.

(Ⅳ)

由(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)、(Ⅳ)得

因為AB=3，AP=x，

所以PB=(3-x)(0≤x≤3).

=2x2-8x+8=2(x-2)2,(0≤x≤3)

(福建省閩清教師進修學校 黃如炎 350800)

證明先探尋xx與x2的不等關(guān)系.

假設(shè)xx≥mx2+n，x>0，

令f(x)=xx-mx2-n=exlnx-mx2-n，

則f′(x)=(1+lnx)exlnx-2mx，

不等式等號成立時f(x)可能取得極小值，

此時f′(x)=(1+lnx)exlnx-x，

f″(x)=e(x-1)lnx-1+(1+lnx)2exlnx.

顯然(x-1)與lnx同號，

所以e(x-1)lnx-1≥0，f″(x)≥0，

f′(x)在(0，+∞)遞增.

又f′(1)=0，所以

當x∈(0,1)時，f′(x)<0，f(x)遞減，

當x∈(1，+∞)時，f′(x)>0，f(x)遞增，

把以上三式相加由柯西不等式得

(安徽省樅陽縣宏實中學 江保兵 246700)

證明首先證明在△ABC中，

當點O,H為△ABC的外心和垂心時，

則有OH2=R2(1-8cosAcosBcosC).

當△ABC為直角三角形時，

顯然有OH2=R2(1-8cosAcosBcosC).

當△ABC為銳角三角形時，

不妨設(shè)A≥B≥C，如圖1所示.

由歐拉線的性質(zhì)，知AH=2RcosA.

OH2=AO2+AH2-2AO·AH·cos∠OAH

=R2+(2RcosA)2-2R·2RcosA·cos(B-C)

=R2[1+4cos2A-4cosA(cosBcosC+sinBsinC)]，

=R2[1+4cosA(cosA-sinBsinC)-4cosAcosB·cosC]，

=R2(1-4cosAcosBcosC-4cosAcosBcosC)，

=R2(1-8cosAcosBcosC).

當△ABC為鈍角三角形時，

不妨設(shè)A>B≥C，如圖2所示.

圖1

圖2

由歐拉線的性質(zhì)，知

AH=2Rcos(180°-A)=-2RcosA.

∠OAH=180°-∠OAD

=90°+(180°-∠ABC-∠CBD)

=270°-B-(90°-C)=180+C-B

OH2=AO2+AH2-2AO·AH·cos∠OAH

=R2+(-2RcosA)2-2R·(-2RcosA)·(-1)cos(B-C)

=R2(1-8cosAcosB·cosC).

綜上，點O,H分別為△ABC的外心、垂心，

則有OH2=R2(1-8cosAcosBcosC).

四邊形A1A2A3A4內(nèi)接于圓O，

對△A1A2A3而言，有

對△A1A2A4而言，有

對△A1A3A4而言，有

對△A2A3A4而言，有

考慮到圓O的內(nèi)接四邊形A1A2A3A4對角互補，

2018年7月號問題

(來稿請注明出處——編者)

2431已知數(shù)列{an}中,a1=1,當n≥1時,an+1

(浙江省寧波市甬江職高 邵劍波 315016)

2432設(shè)△ABC的三邊長為a,b,c,對應(yīng)的旁切圓半徑分別為ra,rb,rc,則

(天津水運高級技工學校 黃兆麟 300456)

2433如圖，I是△ABC的內(nèi)心，AI、BI、CI分別交外接圓于A1，B1，C1，且R、r分別為△ABC外接圓與內(nèi)切圓半徑.求證：

(Ⅰ)IA+IB+IC≤IA1+IB1+IC1

(1)

(Ⅱ)6r≤IA+IB+IC≤3R

(2)

(江西省九江市德安磨溪中學 胡文生 332000)

2434設(shè)正數(shù)a,b,c滿足a+b+c=3，.求證：

(1)

其中“∏”表示輪換對稱積

(四川成都金牛西林巷18號晨曦數(shù)學工作室 宿曉陽 610031)

2435設(shè)A，B，C為△ABC的內(nèi)角，則

(陜西延安育英中學 尚生陳 716000)