摘 要：數學概念教學應注重其本質，即概念的生長過程，這一內容是初中數學教學研究的重要課題。文章結合一課例具體闡述數學概念的三種類型分別是如何自然質樸地生成的，論述說明其巧妙創(chuàng)新地被學生發(fā)現、發(fā)明和發(fā)展這一過程，以及這三種類型的概念在同一節(jié)課例的設計中相互融合、相互生長最終構成新的數學結構、數學系統。

關鍵詞：數學概念；概念教學；屬性下的概念；規(guī)則下的概念；結點下的概念；生長體系

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 收稿日期：2018-02-26

作者簡介：鄒婉清（1983-），江蘇張家港人，中教一級教師，本科，研究方向：教材、教學研究。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：概念教學要返璞歸真，努力揭示概念的發(fā)生發(fā)展及其本質，學生應親身經歷概念的自然形成過程。如何讓概念教學發(fā)揮質樸的教學功能與靈動的教學價值，讓核心素養(yǎng)落地生根？還得從數學概念的本質結構上去認識與把握，數學概念通常有三種類型：一是屬性下的概念，二是規(guī)則下的概念，三是結點下的概念。下面筆者以《線段、射線、直線》第一課時的教學為例，談談自己的教學實踐與感悟。

一、守真創(chuàng)新的情境設置，引導學生“發(fā)現”屬性下的概念

日常教學中，情境設置分為兩類，一是從守真的經驗出發(fā)創(chuàng)設情境引發(fā)學生思考，二是從創(chuàng)新角度數學內部出發(fā)創(chuàng)設情境引發(fā)學生思維困惑。本節(jié)課亦是如此。一開始教師以剛剛過去的期中考試為切入點，表揚班級涌現的一批學霸，他們做任何事有始有終，自然地提問：“在數學上也有一種圖形具備這種特征，你們知道是什么嗎？我們做事一定不能有始無終，更不能無始無終，你們知道哪些圖形也分別具備這樣的特征嗎？”線段、射線、直線自然貼切地出現了。接著教師再問：“小學時我們已經了解了這三種圖形的特征，哪位同學來說說？”PPT展示表格，從學生的最近發(fā)展區(qū)創(chuàng)設問題情境，對三個概念模型回顧，守真務實。本課在傳統守真的情境引入下，又創(chuàng)新設置了以下從生活數學化、知識內需化出發(fā)的情境：“今天我們將繼續(xù)探究線段、射線、直線的性質特征，今天是‘雙十一，老師網購沒搶到想買的東西，決定明天驅車前往無錫市奧特萊斯商城采購，老師了解了以下三種去無錫的路線，請看PPT，走哪條路相對近一些？”（如圖1所示）

問：“從張家港到無錫能否修一條最短的路？如果能，你認為應該怎樣修？請在圖中畫出這條路?！边@個環(huán)節(jié)在生活數學化的過程中，學生發(fā)現了一個生活常識：兩點之間所有連線中，線段最短和一個基本事實：兩點之間線段最短。師：“這條路最短，大家一定非常想知道張家港到無錫的直線距離吧？老師告訴大家，大概是60Km，那么這個60 Km可以看成是這兩點間的距離，也可以看成是？”在生活實例下學生發(fā)現和體味“線段的長度即為兩點之間線段的長度”這一概念生成的必要性和必然性。

二、自然必然的標準制定，激發(fā)學生“發(fā)明”規(guī)則下的概念

在日常教學中教師往往將規(guī)則下的概念直白地告知學生，然后操作訓練，筆者認為應該讓學生自主建構規(guī)則，制定標準，用問題驅動來激發(fā)學生的發(fā)明創(chuàng)造、構建解決問題的規(guī)則規(guī)矩，從而把學習數學內化為一種自覺的思維形式?；诖耍竟?jié)課設置了第二個活動探究，學生在錫張高速公路的命名實例下，老師提問：“線段如何表示呢？需要幾個字母？大寫小寫？有沒有順序要求？”由于現實引領，此種標準的建立比較自然。教師再問：“那么射線怎么表示？需要幾個字母？大寫小寫？有沒有順序要求？”學生花時間討論，有的認為和線段表示一模一樣，馬上就有反對的聲音：“射線的延伸方向不同，字母順序有要求?！庇械谋硎旧渚€只有一個端點，所以只要一個字母，但顯然一個字母不能明確方向，學生遇到了難題，此刻激發(fā)了探索創(chuàng)新欲，有學生提出在線段上再取一點表示方向，然后學生對這個點應該取在哪展開了討論，最后得出合理化的標準。此時射線表示的必然性與合理性就深入學生的內心了，讓學生在最近聯想的基礎上，產生正遷移，找到給射線、直線命名的母系，在其上生長、發(fā)展直至產生規(guī)則。在學生積極參與、教師環(huán)環(huán)相扣的問題引領下制定標準，學生成了規(guī)則下概念的發(fā)明者、創(chuàng)造者，其樂無窮。

三、清晰生長的體系聯接，喚醒學生“發(fā)展”結點下的概念

數學概念的存在不是孤立地作為知識點存在于數學海洋中，概念之間需要聯接，需要與更多的數學內容建立更加廣泛的聯系。此時概念就是聯系的網絡結點，結點下的概念教學需要清晰生長的體系來喚起學生有意識去發(fā)展結點下的概念。學生只有在概念的體系結構中反復認識理解，才能促進思維的成長，才能加深對概念的理解。本課中學生對單一的屬性概念“線段”明晰之后，教師創(chuàng)造性地提問：“由線段怎么生長成射線？如何用規(guī)范的語言來描述作圖過程？之后又如何長成直線？”這就是一個結點的延伸，體系產生自然必要。結點構成數學結構、數學系統，明晰各結點的邏輯關聯，從而將概念連成線、結成網、形成邏輯體系。概念教學在數學結構體系中生長、才能看清它的母系，理清結構、明晰邏輯。同時例題創(chuàng)造性的編制也是促成生長，使結點生根發(fā)芽的關鍵，它可以喚起學生發(fā)展知識體系、鞏固概念的意識。筆者選取本節(jié)課中設置的如下例題與變式片段來體會。

例2：（1）過點A可以畫幾條直線？（如圖2所示）師：畫一條直線l，問：點A在直線l上嗎？點B在直線l上嗎？

（2）過點A、B可以畫幾條直線？（如圖3所示） 師：你剛才畫的直線中有這一條嗎？點A很特殊，你發(fā)現了什么？歸納：直線l與直線AB交于點A.了解基本的幾何語言是學好幾何的基本要素。基本事實：兩點確定一條直線。

（3）再增加一點E，過其中的兩點可以畫幾條直線？思考E點的位置？可以在直線AB上，也可以在直線AB外。請同學們分別畫一畫，并交流。

已知平面內三個點，過其中的兩點畫直線可以一條或三條。

剛才我們學會了畫直線，那么線段、射線你會畫么？我們不妨試一試。

變式訓練：已知點A、B、E（如圖4）①畫線段AB，畫射線AE、直線BE（教師板書，教授規(guī)劃的作圖語言）；②在線段AB的延長線上取一點C，畫射線EC；③延長線段BC到D，連接DE；④觀察圖形，說說點E的特殊性。

好的例題不僅可加深學生理解概念本身，而且可以加強對學生的思維訓練，發(fā)展學生理清上位概念、本位概念、下位概念之間的區(qū)別與聯系的意識，提高學生分析問題和解決問題的能力?！袄}變化”是學生具備舉一反三能力的有效手段。例2（1）（2）從點到畫直線到判斷點與直線的位置關系，交代了教材關于幾何作圖的機械化規(guī)定的同時，又引發(fā)學生思考畫直線與規(guī)范的作圖語言概念之間的聯系。第（2）小題變化到第（3）小題增加一點E，E的位置的思考順利地幫助學生鞏固畫直線這一作圖概念的同時，又自然的解決了“已知平面內三個點，過其中的兩點畫直線可以是一條或三條”的難點。接下來的變式訓練從畫線段到射線、直線，讓學生再次在具體操作中感知概念教學結點之間的聯系與生長，幫助學生把所學的概念融會貫通，從而讓學生在無窮的變化中領略數學的魅力，體會結點下的概念在知識體系中的支撐與發(fā)展作用。

參考文獻：

[1]王紅兵，卜以樓.生長過程——概念教學的本質標志[J].中學數學教學參考，2017（20）：27-29.

[2]李致洪.數學概念教學與思維訓練[J].課程·教材·教法，2000（4）：29-32.