摘 要：弗賴登塔爾在《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》一書(shū)中提出了“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)教學(xué)思想。學(xué)生很樂(lè)意接受學(xué)習(xí)中的創(chuàng)造性任務(wù)，它既可以體現(xiàn)知識(shí)的價(jià)值，更可以體現(xiàn)個(gè)人的價(jià)值，所以，創(chuàng)造性學(xué)習(xí)必定是主體性學(xué)習(xí)。知識(shí)可以根據(jù)邏輯推導(dǎo)出來(lái)，也可以根據(jù)數(shù)據(jù)分析出來(lái)，還可以根據(jù)體驗(yàn)感悟出來(lái)，它們都可以成為創(chuàng)造性學(xué)習(xí)的方式。

關(guān)鍵詞：做學(xué)問(wèn)；創(chuàng)造知識(shí)；起始學(xué)習(xí)

作者簡(jiǎn)介：嚴(yán)育洪，江蘇省無(wú)錫市錫山教師進(jìn)修學(xué)校教師，高級(jí)教師，江蘇省特級(jí)教師，無(wú)錫市有突出貢獻(xiàn)中青年專家，無(wú)錫市錫山教師進(jìn)修學(xué)校教師教育中心主任。（江蘇 無(wú)錫 214000）

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-0568（2018）19-0006-04

弗賴登塔爾在《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》一書(shū)中提出了“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)教學(xué)思想，即讓學(xué)生在現(xiàn)實(shí)活動(dòng)中通過(guò)自己的實(shí)踐和思考去“創(chuàng)造”，去獲得數(shù)學(xué)知識(shí)，而不是生吞活剝似的將數(shù)學(xué)知識(shí)灌輸給學(xué)生。實(shí)踐證明，學(xué)生確實(shí)很樂(lè)意接受學(xué)習(xí)中的創(chuàng)造性任務(wù)，它既可以體現(xiàn)知識(shí)的價(jià)值，更可以體現(xiàn)個(gè)人的價(jià)值，所以創(chuàng)造性學(xué)習(xí)必定是主體性學(xué)習(xí)。

以色列著名未來(lái)學(xué)家尤瓦爾·赫拉利在《未來(lái)簡(jiǎn)史》中談到：“在中世紀(jì)的歐洲，獲得知識(shí)的主要公式是：知識(shí)=經(jīng)文×邏輯。如果想知道某個(gè)重要問(wèn)題的答案，他們會(huì)閱讀相關(guān)經(jīng)文，并用邏輯來(lái)理解經(jīng)文的確切含義……科學(xué)革命的知識(shí)公式則非常不同：知識(shí)=實(shí)證數(shù)據(jù)×數(shù)學(xué)。如果想知道某個(gè)重要問(wèn)題的答案，我們要做的就是收集相關(guān)的實(shí)證數(shù)據(jù)，再用數(shù)學(xué)工具加以分析……等待人類對(duì)自己有了足夠的信心之后，一個(gè)獲取倫理知識(shí)的新公式出現(xiàn)了：知識(shí)=體驗(yàn)×敏感性。如果想知道任何道德問(wèn)題的答案，我們需要連接到自己內(nèi)心的體驗(yàn)，并以最大的敏感性來(lái)觀察它們?！边@一段話中所說(shuō)的知識(shí)的含義比較廣泛，但給了我們?cè)诮虒W(xué)中“如何讓學(xué)生獲得知識(shí)”一些有益的啟示，知識(shí)可以根據(jù)邏輯推導(dǎo)出來(lái)，也可以根據(jù)數(shù)據(jù)分析出來(lái)，還可以根據(jù)體驗(yàn)感悟出來(lái)，它們都可以成為創(chuàng)造性學(xué)習(xí)的方式。

一、讓學(xué)生創(chuàng)“作”

弗賴登塔爾說(shuō)：“‘學(xué)這一活動(dòng)最好的辦法就是‘做?！痹跀?shù)學(xué)教學(xué)中，“做中學(xué)”可以通過(guò)“知識(shí)=實(shí)證數(shù)據(jù)×數(shù)學(xué)”和“知識(shí)=體驗(yàn)×敏感性”的方式來(lái)創(chuàng)造出知識(shí)，從而實(shí)現(xiàn)在實(shí)踐中學(xué)習(xí)和在體驗(yàn)中學(xué)習(xí)的教學(xué)理念。

可以說(shuō)，創(chuàng)造是一種發(fā)現(xiàn)知識(shí)的實(shí)踐活動(dòng)和體驗(yàn)活動(dòng)。全國(guó)生態(tài)體驗(yàn)教育專家姚亞萍說(shuō)：“一次體驗(yàn)勝過(guò)百次說(shuō)教?！痹跀?shù)學(xué)創(chuàng)造性學(xué)習(xí)中，離不開(kāi)操作、制作、創(chuàng)作等實(shí)踐活動(dòng)和體驗(yàn)活動(dòng)?！巴嬷袑W(xué)”“做中學(xué)”可以發(fā)展成為“創(chuàng)中學(xué)”，促使學(xué)生從知識(shí)的“看客”向知識(shí)的“創(chuàng)客”轉(zhuǎn)變。創(chuàng)造性學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生對(duì)自己有足夠的信心。

有一首兒歌“人有兩個(gè)寶，雙手和大腦。雙手會(huì)做工，大腦會(huì)思考”，還有一個(gè)成語(yǔ)“心靈手巧”，原意是“心靈+手巧”，但我們也可以理解成“心靈才能手巧”，還可以理解成“手巧更能心靈”。“手是孩子的第二大腦”，從生理學(xué)角度看，手指與大腦相連的神經(jīng)最多，通過(guò)運(yùn)動(dòng)手指，可以有效刺激大腦，延緩腦細(xì)胞死亡時(shí)間。斯坦福大學(xué)研究人員提出一項(xiàng)有趣的假設(shè)：“手指感知力的必要性及重要性，甚至可能是鋼琴家和其他音樂(lè)家對(duì)數(shù)學(xué)的理解力常常高于沒(méi)學(xué)過(guò)樂(lè)器的人的原因。”筆者認(rèn)為，“手指的感知力”的意思還可以指動(dòng)手活動(dòng)可以提高對(duì)所做事情中所隱含知識(shí)的敏感性。心理學(xué)家皮亞杰說(shuō)：“兒童的智慧源于操作，操作是兒童早期認(rèn)識(shí)世界、適應(yīng)環(huán)境、賴以生存的主要手段。兒童要認(rèn)識(shí)物體，必須對(duì)它施加動(dòng)作，在移動(dòng)、拆散、合并物體的反復(fù)動(dòng)作過(guò)程中，通過(guò)頭腦與材料的相互作用與協(xié)調(diào)，建構(gòu)自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)?！焙⒆邮峭ㄟ^(guò)手來(lái)探索和建構(gòu)世界的。

例如，要教小學(xué)一年級(jí)的孩子什么是正方形，他們哪里知道什么幾何定義？但只要給他們一大團(tuán)泥巴或橡皮泥，讓他們用手去拍、切、擠、壓、搓、捏，甚至摔，他們很快就能做出自己要的形狀，從而掌握技巧，形成印象，成為能力，建立信心，并內(nèi)化為經(jīng)驗(yàn)。這就是“經(jīng)驗(yàn)知識(shí)”的力量。

思維活躍的學(xué)生，其動(dòng)手能力和創(chuàng)新精神強(qiáng)。動(dòng)手必然動(dòng)眼和動(dòng)腦，用觀察、模仿、實(shí)驗(yàn)、猜想等手段獲得經(jīng)驗(yàn)、創(chuàng)造知識(shí)?！度罩屏x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出要積累學(xué)生的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，“做數(shù)學(xué)”可以讓學(xué)生在探究中獲得數(shù)學(xué)知識(shí)、經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)過(guò)程、獲得情感體驗(yàn)、積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

寓身認(rèn)知理論主張：“人應(yīng)該以‘體認(rèn)的方式認(rèn)識(shí)世界，心智離不開(kāi)身體經(jīng)驗(yàn)，概念通過(guò)身體、大腦和對(duì)世界的體驗(yàn)而形成，特別是通過(guò)感知和肌肉運(yùn)動(dòng)能力而得到，只有通過(guò)它們才能被理解?！痹⑸碚J(rèn)知理論的依據(jù)之一就是腦科學(xué)。對(duì)大腦皮層的研究表明，在精細(xì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，與認(rèn)知發(fā)展有密切關(guān)系的前額葉血流量增加，這說(shuō)明精細(xì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程還可能通過(guò)直接激活大腦皮層認(rèn)知部位進(jìn)而促進(jìn)認(rèn)知發(fā)展。小學(xué)數(shù)學(xué)中的一些實(shí)物操作實(shí)驗(yàn)（擺小棒、玩七巧板等）都是精細(xì)運(yùn)動(dòng)，它需要借助學(xué)生的手及手指等部位小肌肉或小肌肉群的運(yùn)動(dòng)，需要在感知和注意等多方面心理活動(dòng)配合下才能完成任務(wù)。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)盡可能多地給學(xué)生動(dòng)手操作、制作、創(chuàng)作的機(jī)會(huì)。例如，在教學(xué)“一一間隔規(guī)律”一課時(shí)，可以給學(xué)生布置“穿珠子”的任務(wù)：桌子上有若干紅色珠子和黃色珠子，將它們穿到帶子上，注意要一顆紅色珠子接著一顆黃色珠子這樣間隔排列，要求紅色珠子必須是4顆。結(jié)果學(xué)生有四種設(shè)計(jì)方法：（1）紅—黃—紅—黃—紅—黃—紅；（2）紅—黃—紅—黃—紅—黃—紅—黃；（3）黃—紅—黃—紅—黃—紅—黃—紅；（4）黃—紅—黃—紅—黃—紅—黃—紅—黃。接著，教師讓學(xué)生將它們圍成圓形手鏈，還是要求一顆紅色珠子接著一顆黃色珠子，學(xué)生發(fā)現(xiàn)只有第（2）種和第（3）種穿法符合要求，因?yàn)樗鼈儍啥说闹樽宇伾煌?。下課后，學(xué)生戴著課堂上做的“手鏈”，甭提有多高興了。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，甚至學(xué)具也可以讓學(xué)生自己動(dòng)手制作，在動(dòng)手制作中創(chuàng)造出知識(shí)。例如，教學(xué)“圓柱的認(rèn)識(shí)”一課時(shí)，可以讓學(xué)生自己制作圓柱學(xué)具，讓他們?cè)谥谱骰顒?dòng)中逐步認(rèn)知圓柱的特征。

第1次制作。提供一個(gè)圓柱物體，讓學(xué)生制作與這個(gè)圓柱物體一樣的圓柱學(xué)具，此時(shí)學(xué)生大都想到的方法是描下圓柱物體的底面，然后用紙去圍圓柱的側(cè)面，在這個(gè)過(guò)程中學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)圓柱的底面相等。

第2次制作。增加完成任務(wù)的難度，要求不能描圓柱物體的底面和用紙去圍圓柱的側(cè)面，而要測(cè)量后用直尺和圓規(guī)畫(huà)出圖紙，然后制作圓柱學(xué)具，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)側(cè)面與底面之間的關(guān)系，最后讓學(xué)生思考“要制作一個(gè)圓柱，至少需要知道哪些數(shù)據(jù)。”

第3次制作。再增加完成任務(wù)的難度，不提供圓柱物體，給一張長(zhǎng)方形紙作為圓柱的側(cè)面，讓學(xué)生配上底面制作圓柱學(xué)具。在這個(gè)過(guò)程中學(xué)生明白了圓柱的側(cè)面有兩種圍法，一是沿著長(zhǎng)方形紙的長(zhǎng)邊圍，二是沿著長(zhǎng)方形紙的寬邊圍。

第4次制作。只有一張長(zhǎng)方形紙，讓學(xué)生設(shè)計(jì)圖紙，充分利用長(zhǎng)方形紙的大小，制作圓柱學(xué)具。

上述接二連三、循序漸進(jìn)的制作活動(dòng)，既活動(dòng)了學(xué)生的雙手和大腦，又活躍了學(xué)習(xí)氣氛，在收獲知識(shí)成果的同時(shí)還留下了物質(zhì)成果。這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)課，不僅是知識(shí)交流會(huì)，而且還是作品交流會(huì)。

“做中學(xué)”能給學(xué)生“玩中學(xué)”的好感，深得學(xué)困生的喜歡，特別是一些好動(dòng)的學(xué)困生。例如，有一位學(xué)生平時(shí)數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)大都在60分左右，但他對(duì)手工制作很感興趣。有一次，在上“長(zhǎng)方體和正方體的認(rèn)識(shí)”一課之前，教師讓他做了一個(gè)能拆裝的長(zhǎng)方體框架。上課時(shí)，教師有意拿他做的學(xué)具問(wèn)同學(xué)們：“這個(gè)框架做得好嗎？”同學(xué)們齊聲回答：“好！”教師講完長(zhǎng)方體、正方體的各部分名稱和特征后提問(wèn)：“長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)之和怎樣計(jì)算？”有學(xué)生回答：“4條長(zhǎng)、4條寬、4條高加起來(lái)?！边@時(shí)這位學(xué)生主動(dòng)回答道：“老師，相交于一個(gè)頂點(diǎn)的長(zhǎng)寬高加起來(lái)，再乘4就行了?！比绱怂斓幕卮鹪从谒H手制作學(xué)具獲得的切身感悟，教師抓住這有利時(shí)機(jī)，對(duì)他進(jìn)行了表?yè)P(yáng)。手工制作作品被老師當(dāng)了教具，發(fā)言又受到了老師的表?yè)P(yáng)，這位學(xué)生非常開(kāi)心，此后他學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情也越來(lái)越高，成績(jī)也提高得很快。

一些教師會(huì)對(duì)一些學(xué)生數(shù)數(shù)愛(ài)掰手指的現(xiàn)象深感擔(dān)憂，但英國(guó)研究人員發(fā)現(xiàn)，掰手指頭等通過(guò)身體活動(dòng)思考的方式有助提高思維能力，能夠更好地解決問(wèn)題。英國(guó)金斯頓大學(xué)組織行為學(xué)教授蓋勒·瓦萊—杜爾昂若和心理學(xué)教授弗雷德里克·瓦萊—杜爾昂若在《對(duì)話》雜志中撰文說(shuō)：“單用大腦思考不如腦、眼和手結(jié)合起來(lái)更有效，身體與所思考問(wèn)題之間的互動(dòng)有助記憶信息，提高解決問(wèn)題的創(chuàng)造性和有效性?！彼?，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該多給學(xué)生動(dòng)手學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，也要寬容一些學(xué)生依然需要靠動(dòng)手（如數(shù)數(shù)愛(ài)掰手指）來(lái)學(xué)習(xí)。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)重視實(shí)踐活動(dòng)和實(shí)驗(yàn)工作，避免過(guò)多地使用口頭教育。而“做中學(xué)”既可以是數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，還可以是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)。弗賴登塔爾指出：“要實(shí)現(xiàn)真正的數(shù)學(xué)教育，必須從根本上以不同的方式組織教學(xué)，否則是不可能的。在傳統(tǒng)課堂里，再創(chuàng)造方法不可能得到自由發(fā)展，它要求有個(gè)實(shí)驗(yàn)室，學(xué)生可以在那兒個(gè)別活動(dòng)或是小組活動(dòng)?！睌?shù)學(xué)教學(xué)有著許多數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，動(dòng)手操作、動(dòng)眼觀察、動(dòng)腦思考的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以豐富學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，它不僅能幫助學(xué)生理解所學(xué)知識(shí)，更能提高學(xué)習(xí)層次，在學(xué)習(xí)程序性知識(shí)的同時(shí)，還在不斷地吸納緘默性知識(shí)，由顯性知識(shí)向隱性知識(shí)深度融通。學(xué)生通過(guò)親身實(shí)踐真切感受到發(fā)現(xiàn)的快樂(lè)，在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)創(chuàng)造。

二、讓學(xué)生創(chuàng)“想”

創(chuàng)造不一定只停留在動(dòng)手制造，還可以是動(dòng)腦創(chuàng)想，教學(xué)的開(kāi)放應(yīng)該更多地著力于學(xué)生思維的開(kāi)放上。

例如，在教學(xué)“三角形的三邊關(guān)系”一課時(shí)，在練習(xí)中，學(xué)生在解答“一個(gè)三角形，兩邊的長(zhǎng)分別是12厘米和18厘米，第三條邊的長(zhǎng)可能是多少厘米？”時(shí)，普遍出現(xiàn)思維單向化的不自如，只會(huì)簡(jiǎn)單地把12厘米、18厘米看成兩條“短邊”，得到“第三條邊小于30厘米”的答案，而不會(huì)靈活地想到問(wèn)題的另一方面，把18厘米看成一條“長(zhǎng)邊”，最終得到“第三條邊應(yīng)大于6厘米，小于30厘米”的完整結(jié)論。由此可見(jiàn)，在新授中忽視了“三角形任意兩邊”的問(wèn)題，造成了學(xué)生思維的局限。對(duì)此，在第二次教學(xué)時(shí)，把動(dòng)手“創(chuàng)作”三角形變成動(dòng)腦“創(chuàng)想”三角形，教師不再給學(xué)生提供操作的小棒，而是出示如圖1的直觀圖。

引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直觀圖展開(kāi)想象操作：既可以將線段a或b延長(zhǎng)，也可以將線段c縮短?？梢哉f(shuō)，動(dòng)手操作改成動(dòng)腦想象，給了學(xué)生自由靈活的思考路徑和自由馳騁的想象空間。在這里，a、b、c三根小棒在學(xué)生的腦海中已經(jīng)被想成了線段，也不再是某幾個(gè)特定的長(zhǎng)度，而是涵蓋了所有可能，一定程度上突破了教學(xué)的局限——任意三角形。這是動(dòng)手操作無(wú)法企及的，因?yàn)槲覀儾豢赡転閷W(xué)生提供所有的操作材料。

在學(xué)生思維放開(kāi)之后，教師一句“那a可以無(wú)限延長(zhǎng)嗎”的提醒和提示，又讓學(xué)生的思維收了回來(lái)，在“左思右想”中實(shí)現(xiàn)思維的“進(jìn)退自如”，最終打破原有的關(guān)注對(duì)象，沖破原有的認(rèn)識(shí)局限，最大程度突破了教學(xué)的難點(diǎn)——三角形的任意兩邊，從而能夠全面地思考問(wèn)題。

在這里，想象操作與動(dòng)手操作相比，更容易使探究活動(dòng)長(zhǎng)驅(qū)直入概念的核心，并讓操作活動(dòng)的過(guò)程更富內(nèi)涵。在這樣的想象操作過(guò)程中，學(xué)生不斷經(jīng)歷觀察、思考、推理、歸納等過(guò)程，提高了空間觀念和邏輯推理能力，積累了分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)和方法，提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

當(dāng)然，對(duì)最終結(jié)論“三角形兩邊之和大于第三邊”，我們同樣可以在新授課結(jié)束后畫(huà)龍點(diǎn)睛，讓學(xué)生在歸納“創(chuàng)想”的同時(shí)再通過(guò)演繹“創(chuàng)想”出來(lái)。教師先出示圖2，問(wèn)學(xué)生：“從A地到B地，走哪條路近？為什么？”學(xué)生都會(huì)從“兩點(diǎn)之間直線距離最短”這一知識(shí)來(lái)解釋，然后教師把圖中的曲線改成折線，出示圖3，此時(shí)學(xué)生又可以用剛剛學(xué)習(xí)的三角形的三邊關(guān)系來(lái)解釋。如此的漸變與對(duì)照，無(wú)須教師多言，學(xué)生自然會(huì)感悟到“三角形的三邊關(guān)系”與“兩點(diǎn)之間直線距離最短”之間的聯(lián)系，確信其為真命題。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)多布置一些創(chuàng)造性的設(shè)計(jì)任務(wù)，實(shí)施開(kāi)放性教學(xué)。例如，“一一間隔規(guī)律”一課，教師可以出示一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題：“在一條長(zhǎng)20米的小路一側(cè)種樹(shù)，每隔5米種一棵數(shù)，可以種幾棵？”在簡(jiǎn)單理解題意后，要求學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)，不僅要寫(xiě)出算式，還要用圖示把自己的想法畫(huà)出來(lái)。此時(shí)，學(xué)生就會(huì)設(shè)計(jì)出“兩端都種樹(shù)”“一端種樹(shù)一端不種樹(shù)”“兩端都不種樹(shù)”等植樹(shù)方案。

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責(zé)任編輯 黃 晶