蘇婷

摘要：發(fā)展學(xué)生的思維能力，必須注重“幾何直觀能力”。本文以“圖形的旋轉(zhuǎn)”為例，對深度學(xué)習(xí)下初中生幾何直觀能力的發(fā)展進(jìn)行研究，探索出一些基本策略。

關(guān)鍵詞：幾何直觀能力;數(shù)學(xué);深度學(xué)習(xí);旋轉(zhuǎn)

幾何直觀就是通過圖形來描述和分析問題。它的好處在于化繁為簡，使學(xué)生的思路清晰，結(jié)果容易被預(yù)測出來。而旋轉(zhuǎn)變換是繼學(xué)習(xí)過的平移、軸對稱等全等變換后的另一種全等變換，也是發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的好素材。其實在深度學(xué)習(xí)中發(fā)展學(xué)生的能力更為重要。下面筆者就以“旋轉(zhuǎn)”為例，談?wù)勆疃葘W(xué)習(xí)下發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的策略。

一、教學(xué)實錄

1.利用直觀模型，理解旋轉(zhuǎn)概念

利用信息技術(shù)呈現(xiàn)直觀的圖形世界，讓學(xué)生看屏幕（圖片分別是：電扇的葉片、風(fēng)車的葉片、方向盤和卡通人物蕩秋千）。

教師：生活中你經(jīng)常見到這些現(xiàn)象，如果把電扇的葉片、風(fēng)車的葉片、方向盤、卡通人物等看成一個平面圖形，那么這些圖形的運(yùn)動有什么共同特征？

學(xué)生：它們都是圖形的旋轉(zhuǎn)。

教師：用自己的話，談?wù)勀銈儗πD(zhuǎn)的理解。

學(xué)生：一個物體固定在一個點上轉(zhuǎn)動。

（教師請兩位學(xué)生示范轉(zhuǎn)的過程）

教師：他們?yōu)槭裁催@樣做？

學(xué)生：他們總是會按一個點進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。

教師：你們想象一下，再談?wù)勀銈儗πD(zhuǎn)的理解。

學(xué)生：旋轉(zhuǎn)可以看成一個圖形繞著一個定點轉(zhuǎn)動一定角度。

教師引導(dǎo)學(xué)生得到旋轉(zhuǎn)的概念，并強(qiáng)調(diào)它的三要素。學(xué)生看屏幕（如圖1）：

;學(xué)生：這一定點可以是圖形上的一點。

學(xué)生：可以是圖形外的一點。

學(xué)生：還可以是圖形內(nèi)的一點。

教師對學(xué)生的回答進(jìn)行總結(jié)。

教學(xué)分析：幾何直觀具有四種表現(xiàn)形式，圖形直觀是其中的一種。本節(jié)課首先引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，從動態(tài)的直觀圖形中認(rèn)識旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，對旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生一個初步的表象。然后讓學(xué)生進(jìn)行具體的操作活動，進(jìn)一步感知旋轉(zhuǎn)變化，切實體驗旋轉(zhuǎn)的三要素：旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)中心。學(xué)生邊操作邊想象，以便真正地建立“旋轉(zhuǎn)”的素材庫。

2.通過數(shù)學(xué)實驗，探究旋轉(zhuǎn)性質(zhì)

活動1：操作

教師：我們一起探究：利用“幾何畫板”軟件，以圖形外一點為旋轉(zhuǎn)中心，觀察旋轉(zhuǎn)前、后的兩個圖形。

教師：觀察上圖，思考以下問題：

1.在旋轉(zhuǎn)過程中，有哪些不變的數(shù)量關(guān)系？

2.若連接頂點與旋轉(zhuǎn)中心，還有哪些不變的數(shù)量關(guān)系？

3. △OAC和△OA′C′有什么關(guān)系？

學(xué)生小組深度學(xué)習(xí)、交流討論。

活動2：驗證猜想

教師：打開“幾何畫板”軟件，驗證學(xué)生的猜想.

教師：我們在驗證的過程中，可以改變旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角。在你們深度學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識后，自己嘗試總結(jié)一下旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)。

教學(xué)分析：通過觀察三角形在旋轉(zhuǎn)過程中的變化思考、探究，先是猜想，接著借助幾何畫板進(jìn)行驗證，容易直觀地得出旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)。在深度學(xué)習(xí)中，可以通過數(shù)學(xué)實驗，利用“幾何畫板”創(chuàng)設(shè)動態(tài)的有關(guān)旋轉(zhuǎn)的圖案，這樣使教學(xué)內(nèi)容更加直觀，學(xué)生感受到旋轉(zhuǎn)之美，幫助他們形成正確的動態(tài)表象，有效發(fā)展其幾何直觀能力。

3.創(chuàng)設(shè)跟蹤練習(xí)，培養(yǎng)畫圖習(xí)慣

在課堂練習(xí)環(huán)節(jié)設(shè)計一道畫圖題：

如圖，已知線段AB繞點O旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)線段是CD，若A與C是對應(yīng)點。你能找到旋轉(zhuǎn)中心點O的位置嗎？

教師：請同學(xué)們獨立完成。

學(xué)生完成后，上臺展示畫出的圖形，教師點擊每一小題的動畫按鈕及時給出評價。

教學(xué)分析：設(shè)計的練習(xí)從內(nèi)容看涉及旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)，從題型看是作圖題，是對本節(jié)課所學(xué)知識的應(yīng)用。畫圖是數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的重要方式，可以反映學(xué)生對旋轉(zhuǎn)概念及其基本性質(zhì)的理解，也有助于幾何直觀能力的發(fā)展。在深度學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生要養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣，并進(jìn)行畫圖技能的訓(xùn)練。

二、教學(xué)反思

1.在思維導(dǎo)圖中實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)

對旋轉(zhuǎn)知識體系的理解是產(chǎn)生直覺的源泉，如果沒有深度學(xué)習(xí)，也就不能發(fā)展學(xué)生的直觀思維能力。而思維導(dǎo)圖是一種將旋轉(zhuǎn)知識點直觀化的方法，在深度學(xué)習(xí)中就可以采取這個易于學(xué)生接受的方法，從而落實幾何直觀能力的發(fā)展。

2. 在模型建立中實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)

學(xué)生在深度學(xué)習(xí)中將問題變?yōu)楹侠淼臄?shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)模型，有利于幾何直觀能力的發(fā)展。如果圖形較分散，有個絕招就是運(yùn)用圖形的變化——旋轉(zhuǎn)，將原圖形中分散的條件集中在一起，疑問就能迎刃而解。旋轉(zhuǎn)題型建模策略的實施主要經(jīng)歷兩個階段：

第一階段，圖形描述：通過圖形語言來描述問題。如果圖形中有滿足的條件，即有相等的邊和公共端點，就會想到可以用旋轉(zhuǎn)。

第二階段，建立旋轉(zhuǎn)模型圖：先找到圖中相等的邊，通過旋轉(zhuǎn)其中一條邊使相等的邊剛好重合，構(gòu)造出相關(guān)的旋轉(zhuǎn)模型圖。其中旋轉(zhuǎn)中心是唯一不動點，旋轉(zhuǎn)90°可以構(gòu)造等腰直角三角形，旋轉(zhuǎn)180°可以構(gòu)造與原圖形成中心對稱的圖形。

為了發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力，需要鼓勵學(xué)生深度學(xué)習(xí)，多總結(jié)、多歸納數(shù)學(xué)幾何模型。在學(xué)習(xí)了旋轉(zhuǎn)后，教師就應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建旋轉(zhuǎn)直觀模型。

2. 在模型求解中進(jìn)行深度學(xué)習(xí)

旋轉(zhuǎn)變換的觀點滲透到數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)中，將圖形動靜相結(jié)合進(jìn)行研究，可進(jìn)一步加深對圖形本質(zhì)的認(rèn)識。在旋轉(zhuǎn)模型圖中，先要判斷屬于旋轉(zhuǎn)的哪一類模型，然后思考這類模型有哪些性質(zhì)，接著考慮這個性質(zhì)能否直接拿來用，如果不能，就要輔助線來幫忙了。建立旋轉(zhuǎn)模型圖后，學(xué)生需要證明旋轉(zhuǎn)全等，此時難點在于倒角。旋轉(zhuǎn)中的倒角一般來說就兩種情況：第一種是用SAS證明全等，夾角一般是兩個相等的角加一個公共角;第二種用“8”字形模型圖。通過對頂角相等，就能得出我們需要的角的關(guān)系了。

例如圖9，正方形 ABCD中，E、F 分別是 BC、CD上的點，若∠EAF = 45°，AH⊥EF。

;猜想AH與AB的關(guān)系并給出證明。

此題是圖形旋轉(zhuǎn)模型的應(yīng)用。有等線段AD與AB，共端點A，90°含半角45°，則可以旋轉(zhuǎn)。如果學(xué)生對圖形旋轉(zhuǎn)模型圖印象深刻，問題就很容易解決了。題目無法直接證明△ABE≌△AHE，那么將△ADF順時針旋轉(zhuǎn)90°（或?qū)ⅰ鰽BE逆時針旋轉(zhuǎn)90°），AD與AB重合，這樣構(gòu)建了半角旋轉(zhuǎn)模型圖，從而由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判定就容易求得結(jié)論。

綜上所述，學(xué)生幾何直觀能力的發(fā)展是數(shù)學(xué)教學(xué)的重心，但在深度學(xué)習(xí)時，教師要向?qū)W生說明，雖然幾何直觀有很多好處，有時能簡化解題過程，給數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來方便，但也存在著一定的片面性和局限性，它并不適用于所有的數(shù)學(xué)問題。

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