翁志堅(jiān)

摘 要：數(shù)學(xué)是一個(gè)多層次、多角度的整體，各知識(shí)內(nèi)容之間存在一定的關(guān)聯(lián)。教師在教學(xué)中要善于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，以提高學(xué)生的思維靈活性、創(chuàng)新性。

關(guān)鍵詞：一題多解；正遷移；重組練習(xí)

一、運(yùn)用比較，溝通數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系

《減法的驗(yàn)算》這節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容中穿插了這樣一道思考題（如下圖）：

經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)：大部分同學(xué)甚至是老師，不約而同地采用了嘗試法，由于是毫無策略的硬湊，以至于重復(fù)使用數(shù)字的豎式很多，耗時(shí)很長，結(jié)果很不樂觀。 在教研活動(dòng)上，專門提出了這個(gè)問題進(jìn)行討論，又上網(wǎng)查閱了相關(guān)的材料，終于對(duì)這個(gè)問題有了更深透地理解。

錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)導(dǎo)致解題策略的選擇失誤，沒有好的解題策略，盲目使用嘗試法肯定是不行的。為此，首先引導(dǎo)學(xué)生研究這樣一組簡單的試題：

先求和，再找規(guī)律。

23+56= 36+47= 78+46= 56+867=

62+37= 345+564= 758+164= 748+253=

注意：比較兩個(gè)加數(shù)各位數(shù)字之和跟和里的各位數(shù)字之和，找出它們之間的規(guī)律。

針對(duì)此題，我特意從我們學(xué)校三年級(jí)的四個(gè)平行班中隨機(jī)抽取了100位同學(xué)進(jìn)行調(diào)查。調(diào)查結(jié)果顯示：大部分學(xué)生對(duì)“加數(shù)各位數(shù)字之和”與“和的各位數(shù)字之和”之間的關(guān)系都不十分了解，也沒有關(guān)注過，而且大部分同學(xué)對(duì)練習(xí)過的題目進(jìn)行歸納的能力較差，所以他們?cè)诮獯疬@個(gè)問題時(shí)不能快速找到突破口，只能采用逐一嘗試的方法。

筆者以為：該題的思維起點(diǎn)是：“加數(shù)各位數(shù)字之和”跟“和的各位數(shù)字之和”之間的關(guān)系，有了這個(gè)基本規(guī)律，對(duì)這道思考題的解答就可以“信手拈來”。根據(jù)豎式中的和與加數(shù)的位數(shù)不難發(fā)現(xiàn)，這道式子最多出現(xiàn)三次進(jìn)位，最少出現(xiàn)一次進(jìn)位：

假設(shè)一：一次進(jìn)位

1+2+3+…+8+9=45

加數(shù)各位數(shù)字之和：（45+9）÷2=27和的各位數(shù)字之和：45-27=18

由于三位數(shù)加三位數(shù)，和是四位數(shù)，和中的最高位必須是1，又因?yàn)槭亲罡呶灰淮芜M(jìn)位，所以0必須出現(xiàn)在和中，即4個(gè)數(shù)字分別是：（1、0、8、9），根據(jù)交換法，可以變化出許多加法式子：324+765=1089、342+756=1098…

假設(shè)二：二次進(jìn)位

1+2+3+…+8+9=45

加數(shù)各位數(shù)字之和：（45+18）÷2=31.5

出現(xiàn)小數(shù)，直接排除

假設(shè)三：三次進(jìn)位

1+2+3+…+8+9=45

加數(shù)各位數(shù)字之和：（45+27）÷2=36和的各位數(shù)字之和：45-36=9

即和中的4個(gè)數(shù)字分別是：（1、0、5、3），（1、0、2、6），根據(jù)交換法，又可以變化出許多加法式子：264+789=1053、437+589=1026…

二、運(yùn)用一題多解，溝通數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系

一題多解，由于解題的方法眾多，深受學(xué)生喜歡，它可以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性，并且能促使了解學(xué)生知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系。

做過奧數(shù)題的同學(xué)一定不會(huì)忘記“雞兔同籠”帶來的痛楚：

今有雞兔同籠，頭共8個(gè)，足共20只，求雞與兔各有多少只？

方法一：用假設(shè)法解答是最普遍的：

方法二：用方程會(huì)使思路變得簡單：

方法三：還有抬腿法也比較實(shí)在：

仔細(xì)分析，這幾種方法還是比較繁雜的，首先計(jì)算出來的是雞的數(shù)量，還是兔的數(shù)量？有什么規(guī)律嗎？中、下層學(xué)生往往無從下手。另外，對(duì)于初學(xué)的人，想把每一步的數(shù)與形結(jié)合起來，難度很大。

為什么我們不去試試，把“實(shí)踐與應(yīng)用”跟“圖形與幾何”結(jié)合起來考慮呢？不難發(fā)現(xiàn)，雞兔同籠問題跟求組合圖形的面積問題有極其相似的地方。

三、運(yùn)用正遷移規(guī)律，溝通數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系

運(yùn)用知識(shí)的正遷移規(guī)律，有助于我們學(xué)習(xí)新知識(shí)、解決新問題，有利于溝通數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系。例如，在水流問題這一知識(shí)版塊，里面的概念繁多而復(fù)雜，抽象又生僻，我們理解起來感覺很混亂。如何將抽象的“靜水速度”“逆水速度”“順?biāo)俣取薄八魉俣取钡膬?nèi)在關(guān)系，用直觀的線段圖簡單、明了的表示出來？

通過這樣一個(gè)簡單的線段圖，將水流問題的四個(gè)概念與和差問題完美的融合在一起：“水流速度”相當(dāng)于“較小數(shù)”、“靜水速度”相當(dāng)于“較大數(shù)”、“逆水速度”相當(dāng)于“差”、“順?biāo)俣取毕喈?dāng)于“和”。水流問題的四個(gè)概念間的內(nèi)在對(duì)應(yīng)聯(lián)系，便一目了然：

（順?biāo)俣?逆水速度）÷2=靜水速度

（順?biāo)俣?逆水速度）÷2=水流速度

靜水速度+水流速度=順?biāo)俣?/p>

靜水速度-水流速度=逆水速度

逆水速度+水流速度×2=順?biāo)俣?/p>

線段圖十分直觀，利用線段圖，可以根據(jù)其中的兩個(gè)條件，求出其他的未知項(xiàng)，十分簡便。由于充分運(yùn)用了正遷移規(guī)律，學(xué)生不僅很快掌握了“水流問題”，而且溝通了和差問題和水流問題之間的內(nèi)在聯(lián)系。

總之，數(shù)學(xué)是一個(gè)多層次、多角度的立體體系，數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在著千絲萬縷的聯(lián)系。數(shù)學(xué)教師只有不斷地探索，才能更好地找到溝通數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，不斷地使數(shù)學(xué)教學(xué)完整化、系統(tǒng)化。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要根據(jù)內(nèi)容，采取合理的方法，借助適當(dāng)?shù)男问揭龑?dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性與數(shù)學(xué)方法的一般性。

參考文獻(xiàn)：

張翼文.小學(xué)數(shù)學(xué)典型教學(xué)內(nèi)容的解讀與實(shí)踐[M].上海教育出版社，2013-01.

編輯 溫雪蓮