張楠

摘 要 排列組合作為高中數(shù)學(xué)的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容，同時(shí)也是高考必考的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)于高中階段的學(xué)生而言至關(guān)重要。就目前來(lái)看許多學(xué)生在解決排列組合問(wèn)題時(shí)思路不夠開(kāi)闊，無(wú)法及時(shí)解決問(wèn)題，導(dǎo)致教學(xué)效率難以提高。因此，本文分析高中數(shù)學(xué)排列組合常用的解題方法，從而進(jìn)一步提高學(xué)生的解題能力。

關(guān)鍵詞 高中數(shù)學(xué) 排列組合 解題方法

1間接法

即部分符合條件排除法，采用正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)換的策略。為求完成某件事的方法種數(shù)，如果我們分步考慮時(shí)，會(huì)出現(xiàn)某一步的方法種數(shù)不確定或計(jì)數(shù)有重復(fù)，就要考慮用分類法，分類法是解決復(fù)雜問(wèn)題的有效手段，而當(dāng)正面分類情況種數(shù)較多時(shí)，則就考慮用間接法計(jì)數(shù)。

例如 ：從6名男生，5名女生中任選4人參加競(jìng)賽，要求男女至少各1名，有多少種不同的選法？

A.240 B.310 C.720 D.1080 正確答案 ：B

解析 ：此題從正面考慮的話情況比較多，如果采用間接法，男女至少各一人的反面就是分別只選男生或者女生，這樣就可以變化成 C（11，4）-C（6，4）-C（5，4）=310。

2特殊優(yōu)先法

特殊元素，優(yōu)先處理；特殊位置，優(yōu)先考慮。位置分析法和元素分析法是解決排列組合問(wèn)題最常用也是最基本的方法，若以元素分析為主，需先安排特殊元素，再處理其它元素。若以位置分析為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其它位置。若有多個(gè)約束條件，往往是考慮一個(gè)約束條件的同時(shí)還要兼顧其它條件。

例如：從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購(gòu)、保潔四項(xiàng)不同的工作，若其中甲、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，則不同的選派方案共有（ ）。

A.280種 B.96種 C.180種 D.240種 正確答案 ：D

解析：由于甲、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，所以翻譯工作就是“特殊”位置，因此翻譯工作從剩下的四名志愿者中任選一人有 C（4，1）=4種不同的選法，再?gòu)钠溆嗟?人中任選3人從事導(dǎo)游、導(dǎo)購(gòu)、保潔三項(xiàng)不同的工作有 A（5，3）=10種不同的選法，所以不同的選派方案共有 C（4，1）譇（5，3）=240種，所以選 D。

3捆綁法

所謂捆綁法，指在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰的問(wèn)題時(shí)，先整體考慮，將相鄰元素視作一個(gè)整體參與排序，然后再單獨(dú)考慮這個(gè)整體內(nèi)部各元素間的順序。注意 ：要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問(wèn)題，可以用捆綁法來(lái)解決問(wèn)題。即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素，再與其它元素一起作排列，同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也必須排列。

例如：5個(gè)男生和3個(gè)女生排成一排，3個(gè)女生必須排在一起，有多少種不同排法？

A.240 B.320 C.450 D.480 正確答案 ：B

解析：采用捆綁法，把3個(gè)女生視為一個(gè)元素，與5個(gè)男生進(jìn)行排列，共有 A（6，6）=6？？？？種，然后3個(gè)女生內(nèi)部再進(jìn)行排列，有 A（3，3）=6種，兩次是分步完成的，應(yīng)采用乘法，所以排法共有 ：A（6，6）譇（3，3）=320（種）。

4插空法

所謂插空法，指在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求不相鄰的問(wèn)題時(shí)，先將其他元素排好，再將指定的不相鄰的元素插入已排好元素的間隙或兩端位置。注意 ：（1）首要特點(diǎn)是不鄰，其次是插空法，一般應(yīng)用在排序問(wèn)題中 ；（2） 將要求不相鄰元素插入排好元素時(shí)，要注釋是否能夠插入兩端位置 ；（3）對(duì)于捆綁法和插空法的區(qū)別，可簡(jiǎn)單記為“相鄰問(wèn)題捆綁法，不鄰問(wèn)題插空法”。

例如：若有甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)人排隊(duì)，要求甲和乙兩個(gè)人必須不站在一起，且甲和乙不能站在兩端，則有多少種排隊(duì)方法？

A.9 B.15 C.12 D.20 正確答案 ：C

解析：先排好丙、丁、戊三個(gè)人，然后將甲、乙插到丙、丁、戊所形成的兩個(gè)空中，因?yàn)榧住⒁也徽緝啥?，所以只有兩個(gè)空可選，方法總數(shù)為 A（3，3）譇（2，2）=12種。

5插板法

所謂插板法，指在解決若干相同元素分組，要求每組至少一個(gè)元素時(shí)，采用將比所需分組數(shù)目少的板插入元素之間形成分組的解題策略。需要注意的是其首要特點(diǎn)是元素相同，其次是每組至少含有一個(gè)元素，一般用于組合問(wèn)題中。

例如：將8個(gè)完全相同的球放到3個(gè)不同的盒子中，要求每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，一共有多少種方法？

A.28 B.24 C.32 D.48 正確答案 ：A

解析：解決這道問(wèn)題只需要將8個(gè)球分成三組，然后依次將每一組分別放到一個(gè)盒子中即可。因此問(wèn)題只需要把8個(gè)球分成三組即可，于是可以將8個(gè)球排成一排，然后用兩個(gè)板插到8個(gè)球所形成的空里，即可順利的把8個(gè)球分成三組。其中第一個(gè)板前面的球放到第一個(gè)盒子中，第一個(gè)板和第二個(gè)板之間的球放到第二個(gè)盒子中，第二個(gè)板后面的球放到第三個(gè)盒子中去。因?yàn)槊總€(gè)盒子至少放一個(gè)球，因此兩個(gè)板不能放在同一個(gè)空里且板不能放在兩端，于是其放板的方法數(shù)是 C（8，2）=28種。

6總結(jié)

排列組合是高中生數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，雖然總體難度不高，但是對(duì)于學(xué)生的邏輯思維能力與審題能力都提出了較高的要求，學(xué)生容易在解題時(shí)出現(xiàn)問(wèn)題。為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率與質(zhì)量，要重視引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自身學(xué)習(xí)思維理念的認(rèn)識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)分析探討數(shù)學(xué)問(wèn)題，還可以定期實(shí)施針對(duì)性訓(xùn)練、加強(qiáng)學(xué)生思維訓(xùn)練力度、對(duì)概念理解不斷深化、適當(dāng)進(jìn)行課后反思等，為高中數(shù)學(xué)排列組合教學(xué)效果的有效提升奠定重要基礎(chǔ)。