劉輝 康文彥

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；學(xué)習(xí)心理；教學(xué)片斷；余弦定理

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B 文章編號：1009-010X（2018）20/23-0121-03

對于教師來說，教育心理學(xué)是教學(xué)設(shè)計的靈魂，以學(xué)生心理為依據(jù)的教學(xué)設(shè)計才會合教與學(xué)的規(guī)律。

一、教育心理學(xué)在教學(xué)活動中的體現(xiàn)

將教育心理學(xué)運用于教學(xué)設(shè)計的最終目的是將其落實于教學(xué)實踐。所以教學(xué)設(shè)計首先應(yīng)該考慮如何將學(xué)情和教學(xué)理論框架應(yīng)用于具體的教學(xué)環(huán)節(jié)當中，數(shù)學(xué)教學(xué)活動一般包含課堂引入、呈現(xiàn)內(nèi)容、師生互動和測評強化四類基本教學(xué)活動。

第一步是課堂引入，數(shù)學(xué)課堂的引入環(huán)節(jié)要喚起和引導(dǎo)學(xué)生的注意，激活相關(guān)原有知識，而且要讓學(xué)生具體了解課堂學(xué)習(xí)的目標；其次是呈現(xiàn)內(nèi)容，教師呈現(xiàn)的新材料或新方法應(yīng)具有鮮明的特征，必須與學(xué)生原有的知識產(chǎn)生穩(wěn)固的聯(lián)系；再次是師生互動，數(shù)學(xué)課堂中師生互動典型的表現(xiàn)為“提問-回答”這一過程，所以教師一定要做好問題的設(shè)計——在課的開始設(shè)計問題的目的是激發(fā)學(xué)生的興趣和注意力，在課的中間設(shè)計問題的目的是促進學(xué)生集中注意力和引導(dǎo)學(xué)生的思維，在課后設(shè)計作業(yè)的目的是用來小結(jié)和評價學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，為學(xué)生布置拓展性任務(wù)；最后是測評強化活動，測評強化活動的目的是促進學(xué)生進一步回憶和鞏固學(xué)習(xí)到的概念、方法和結(jié)論，并逐步形成應(yīng)用所學(xué)知識和技能解決新問題的能力。就知識而言，教師可提供有意義的組織結(jié)構(gòu)，供學(xué)生回憶知識使用；就技能而言，教師可以安排多種練習(xí)機會，讓學(xué)生進行反復(fù)性和間隔性的訓(xùn)練，從而達到知識的鞏固和強化；就激發(fā)學(xué)生興趣而言，教師可以適當運用心理暗示和適度的獎懲，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

二、結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容的分析

例如對于余弦定理這節(jié)課的內(nèi)容來說，推導(dǎo)余弦定理是本節(jié)課的關(guān)鍵和重點，以下將選取余弦定理的推導(dǎo)作為教學(xué)片斷進行內(nèi)容分析。

（一）知識的地位與作用

余弦定理是高中數(shù)學(xué)人教A版必修五的1.1.2節(jié)，學(xué)生初步掌握正弦定理進而即將學(xué)習(xí)實踐應(yīng)用，所以這一小節(jié)內(nèi)容起著很重要的承前啟后作用。在高考中，余弦定理也是必考內(nèi)容之一，因為其綜合性、應(yīng)用性比較強，容易與其他數(shù)學(xué)問題及生活實際相結(jié)合，所以考查頻率很高，所占分值在10分左右。

（二）學(xué)情分析

學(xué)生在初中學(xué)習(xí)過用“邊角邊”和“邊邊邊”證明三角形全等，學(xué)生會用這兩個定理，卻不知道其緣由。學(xué)生也會用“大邊對大角”以及勾股定理等結(jié)論，初步對三角形的邊角關(guān)系有一定的認識。特別是剛學(xué)過正弦定理，這使得學(xué)生對邊角關(guān)系的理解進一步進行了強化，對邊角關(guān)系的研究也更加深入。為本節(jié)課的研究提供了一定的研究基礎(chǔ)，有一些研究方法也可以借鑒。但是本節(jié)課思維量比較大，對學(xué)生的分類討論、歸納推理以及運算能力也有一定的要求，所以學(xué)生對學(xué)習(xí)和探究個別推導(dǎo)方法時可能會有一定的難度。

（三）教學(xué)目標

知識與技能：會用多種方法進行余弦定理的推導(dǎo)。

過程與方法：引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識基礎(chǔ)出發(fā)，展開思維，用多種可能的方法推導(dǎo)余弦定理。

情感、態(tài)度與價值觀：在探索和證明的過程中，鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維能力，讓學(xué)生感受定理發(fā)現(xiàn)的過程以及培養(yǎng)學(xué)生善于思考、勇于探索的學(xué)習(xí)精神。

（四）重點和難點

重點：用向量法進行余弦定理的推導(dǎo)。

難點：多種方法對余弦定理的推導(dǎo)過程。

（五）教學(xué)方法

重視認知的發(fā)生過程，在知識的獲取過程中激發(fā)學(xué)生的思維。利用問題串的形式引導(dǎo)和激勵學(xué)生用多種已學(xué)知識進行問題的解決。

三、對課堂教學(xué)的設(shè)計

（一）導(dǎo)入

問題1：在初中我們證明兩個三角形全等有哪些方法？

問題2：那你知道為什么兩個三角形中兩條邊以及其夾角對應(yīng)相等，第三條邊就會相等？為什么兩個三角形中三條邊都對應(yīng)相等，兩個三角形就會全等？

【設(shè)計意圖】緊密聯(lián)系教材，結(jié)合初中學(xué)生熟知的、應(yīng)用非常頻繁的兩個定理，究其原因、引出學(xué)生的疑惑。

問題3：在一個湖中有兩個與陸地相接但彼此不相接的半島，如何求這兩個半島間的直線距離？

【設(shè)計意圖】創(chuàng)設(shè)一個實際情境，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建三角形，將實際問題轉(zhuǎn)化為已知三角形中的兩條邊及其夾角，如何求另外一條邊的問題。

通過以上三個問題的引導(dǎo)，使得學(xué)生對熟知的定理產(chǎn)生質(zhì)疑，并結(jié)合實際情境以及學(xué)生已有知識將實際問題轉(zhuǎn)化成需要用余弦定理解決的數(shù)學(xué)問題，這可以激發(fā)學(xué)生的疑點，吸引學(xué)生注意力，使其積極投入到思考和試圖解決問題的過程中。

（二）學(xué)生自主思考

問題4：同學(xué)們是否能將問題3中的情景進行數(shù)學(xué)抽象呢？

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生將實際問題進行數(shù)學(xué)抽象，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)抽象可以簡化情境，將學(xué)生的注意力回歸到數(shù)學(xué)問題上來。

這個問題學(xué)生容易解決，即轉(zhuǎn)化為：在△ABC中已知AC=b，AB=c和A，求a.

問題5：回顧一下你所學(xué)的知識，如何解決這個問題？

【設(shè)計意圖】學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)過正弦定理，所以學(xué)生比較容易想到用正弦定理解決該問題。但這種方法的運算過程很復(fù)雜，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進行思路的分析，讓學(xué)生體會到其繁雜性，具體推導(dǎo)過程可以放在課后，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。在這個過程中，學(xué)生雖然想到了解決問題的辦法，但是其運算過程繁雜，所以乘機鼓勵學(xué)生繼續(xù)思考。

問題6：還有沒有其他方法？

【設(shè)計意圖】用正弦定理的方法難以解決，那么學(xué)生還可能想到做高，構(gòu)建直角三角形。但是，構(gòu)建直角三角形需要進行分類討論，即以為銳角、鈍角和直角分類進行推導(dǎo)，可行性較強，稍顯繁雜。在此過程中也可以幫助學(xué)生回顧三角函數(shù)知識以及培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。相對上邊的方法，該方法較為簡單，所以學(xué)生可以成功進行求解，內(nèi)心獲得一定的成就感，但分類討論使得該法的運算量較大，仍有改進的余地。

（三）教師引導(dǎo)

問題7：從三角形上看，已知條件都集中在角附近，知道兩條邊及其夾角，我們在哪兒見過類似的情景？

問題8：用向量方法如何用已知量表示未知量？

【設(shè)計意圖】用類比的方法讓學(xué)生回憶平面向量基本定理中類似的情景，從而想到用向量解決問題。 利用向量具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化成代數(shù)關(guān)系。本節(jié)課的生成點和切入點就在于此。向量法是本節(jié)課的重點內(nèi)容，一方面讓學(xué)生回顧向量知識，另一方面應(yīng)用向量根據(jù)解決數(shù)量問題，體會向量解決問題的簡潔性，從而體會數(shù)學(xué)工具的妙用。用向量法學(xué)生能獲得極大的滿足感，從簡潔的推導(dǎo)過程中獲得驚喜。

（四）知識拓展

問題9：向量法可以將數(shù)與形結(jié)合起來，那結(jié)合數(shù)形關(guān)系的方法還有什么？

問題10：用解析法解決該問題的過程中如何表示三角形各個頂點的坐標？

【設(shè)計意圖】用數(shù)形關(guān)系的特點，讓學(xué)生回顧解析法，將三角形置于平面直角坐標系中，用三角函數(shù)的定義表示三角形頂點的坐標，在坐標系中求線段的長度。這種方法比向量法稍顯繁雜，但不需做高法中的分類討論，而且可以很好地回顧三角函數(shù)的知識以及鍛煉學(xué)生的運算能力。解析法的思考和推導(dǎo)是對學(xué)生思維的升華。

（五）小結(jié)

問題11：我們用了哪些方法進行余弦定理的推導(dǎo)？這些方法各自有什么特點？

問題12：有沒有其他可以推導(dǎo)余弦定理的方法？

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生對所學(xué)的四種方法進行小結(jié)，及時對所學(xué)知識進行鞏固和強化。在分析各個方法的特點時，體會用幾何方法解決代數(shù)問題的優(yōu)點。另外，有的學(xué)生還可能會有其他推導(dǎo)思路，教師可以進行簡單的評析，或者將其留作開放性作業(yè)，讓學(xué)生課后進行探究和整理。通過小結(jié)，學(xué)生整理和鞏固了所學(xué)的方法，并激發(fā)了學(xué)生尋求其他方法的欲望，為學(xué)生的拓展性和深入性學(xué)習(xí)提供了可能。

四、設(shè)計反思

在教學(xué)設(shè)計中首先用學(xué)生熟悉的定理和情境進行引入，激發(fā)學(xué)生的疑惑和求知欲。用問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生進行思考，問題解決的魅力不只是讓學(xué)生獲得具體問題的答案，更多的是學(xué)生在問題解決過程中獲得能力的提高。

教學(xué)設(shè)計要依據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的心理過程設(shè)計，為發(fā)展學(xué)生的思維而設(shè)計，而不是為獲得某個結(jié)論而設(shè)計。呈現(xiàn)形式的精煉，并不一定代表思維過程的簡單，只有學(xué)生充分探索了、經(jīng)歷了，才能更好地感悟教材呈現(xiàn)方式中經(jīng)典數(shù)學(xué)思維的簡潔美。本小節(jié)片斷課的設(shè)計充分考慮了學(xué)生的知識基礎(chǔ)以及學(xué)習(xí)心理特點，將問題設(shè)置在最近發(fā)展區(qū)，逐步引導(dǎo)學(xué)生進行思路的拓展和問題的深入探究，符合學(xué)生對該部分知識的認知特點。而且在設(shè)計過程中，體現(xiàn)出培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)的教學(xué)環(huán)節(jié)，可以為基于核心素養(yǎng)提升的高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計提供參考。