周銳

摘要：微積分是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，在數(shù)學(xué)史上占有重要地位。本文根據(jù)時(shí)間進(jìn)程闡述了微積分的發(fā)展史及其簡要應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：微積分;發(fā)展史;牛頓;萊布尼茲

微積分是數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)學(xué)科，也是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的重要基石和起點(diǎn)。它在物理、化學(xué)、生物等自然學(xué)科中被普遍利用，在社會、經(jīng)濟(jì)、人文等范疇也是重要的研究工具之一。

本文將沿著微積分學(xué)的發(fā)展時(shí)間歷程，簡要論述微積分的發(fā)展史。

一、微積分的萌芽之初

微積分學(xué)發(fā)展得最早的是積分學(xué)的思想，可以追溯到古希臘時(shí)期[1]。其中做出重要貢獻(xiàn)的有古希臘數(shù)學(xué)家芝諾提出的四大悖論。古希臘哲學(xué)家德謨克利特斯的原子論則充分體現(xiàn)了近代積分的思想，他認(rèn)為任意事物都是由原子構(gòu)成。古希臘詭辯家安提豐提出的“窮竭法”是極限理論最早的表現(xiàn)形式。古希臘數(shù)學(xué)家歐多克斯進(jìn)一步研究原子論和窮竭法，使這兩個(gè)理論得以穩(wěn)健前進(jìn)。古希臘著名數(shù)學(xué)家阿基米德所提出的“平衡法”實(shí)質(zhì)上是一種較原始的“積分法”。他在著作《拋物線求積法》一書中運(yùn)用窮竭法求出了拋物線構(gòu)成的弓形的面積。

二、微積分創(chuàng)立之前的醞釀

由于種種影響，微積分的概念在15世紀(jì)之前一直處于萌芽階段[2]。推動歐洲崛起的新航路開辟和文藝復(fù)興是15世紀(jì)的大事件。從14世紀(jì)到16世紀(jì)的文藝復(fù)興在意大利各城市興起，之后推廣到西歐各國，帶來了一場關(guān)于科學(xué)與藝術(shù)的革命。隨著文藝復(fù)興的興起，生產(chǎn)的發(fā)展帶動了科學(xué)的發(fā)展。與此同時(shí)希臘的著作大量進(jìn)入歐洲，隨著活板印刷的發(fā)明，知識的傳播更加迅速，自然學(xué)科開始活躍，自然學(xué)科中的數(shù)學(xué)得以有進(jìn)一步發(fā)展的機(jī)會。在時(shí)代背景下，數(shù)學(xué)成為唯一被公認(rèn)的真理得以推廣。

天文學(xué)、光學(xué)、力學(xué)等自然學(xué)科的發(fā)展被生產(chǎn)力的發(fā)展所推動，為數(shù)學(xué)帶來了大量的研究問題[3]，許多學(xué)者開始考慮研究微積分的思想[4]。

開普勒是德國杰出的天文學(xué)家、物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家。他在《測量酒桶的新立體幾何》一書中主要對如何求解旋轉(zhuǎn)體體積的方法進(jìn)行研究。他在研究過程中引入了無窮大和無窮小的概念，把旋轉(zhuǎn)體的體積分成若干極小的部分，得出一種“無限小元素法”，利用這個(gè)方法他求出了近百種旋轉(zhuǎn)體的體積。

笛卡爾是著名的法國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。他將幾何坐標(biāo)這一體系進(jìn)行公式化，大家公認(rèn)為他是解析幾何之父。他在1637年完成的《幾何學(xué)》一書中創(chuàng)建了解析幾何學(xué)，他打破了自古希臘以來代數(shù)和幾何分離的狀態(tài)被改變，他把無關(guān)的“代數(shù)”與“幾何形式”統(tǒng)一起來，使得幾何曲線與代數(shù)方程得以結(jié)合。在書中提到用代數(shù)的方法求切線，這一天馬行空的見解為微積分的創(chuàng)建埋下基礎(chǔ)的種子，等待日后的萌芽成長。他的見解實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)史的飛躍，開拓了變量數(shù)學(xué)的發(fā)展空間。

帕斯卡是法國著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他從無窮小分析的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究不可分原理，由此得到求任一曲線所圍面積及重心的一般方法，利用積分學(xué)的原理解決了困擾已久的擺線問題。費(fèi)馬在他的研究中注意到很小的弧與切線是可以互相代替的。這一觀點(diǎn)對萊布尼茲創(chuàng)立微積分學(xué)有很大啟發(fā)。

三、微積分理論的創(chuàng)立

牛頓用物理學(xué)的角度研究微積分。1665年5月，首次提出了“流數(shù)術(shù)”的概念。流數(shù)即微商。牛頓認(rèn)為任何運(yùn)動都在空間中進(jìn)行，且與時(shí)間緊密相關(guān)。他將連續(xù)變量稱為“流動量”，那么流動量的導(dǎo)數(shù)是“流動率”。他在《流數(shù)術(shù)》一書中研究的問題是：“已知某些量之間的關(guān)系，算出它們的流數(shù)，以及反過來的計(jì)算;已知物體做連續(xù)運(yùn)動的路程，確定某一時(shí)間的速度;已知物體運(yùn)動的速度，確定某一時(shí)間段內(nèi)的路程。”這一問題的研究使牛頓超過了所有的微積分先驅(qū)者。其中他在流數(shù)術(shù)中的他完整地指出微分與積分互為逆運(yùn)算，并把求切線和求面積之間的互逆關(guān)系從巴羅提出的純幾何形式推廣到代數(shù)形式，這個(gè)公式現(xiàn)在成為微積分基本定理。萊布尼茲不同于牛頓從運(yùn)動學(xué)的角度研究微積分，他是從幾何學(xué)的角度去思考，他創(chuàng)造的微積分符號要優(yōu)于牛頓，促進(jìn)了微積分的發(fā)展。

四、微積分理論的完善

自十七世紀(jì)以來，微積分的概念被廣泛用于解決天文學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)中各種實(shí)際問題。牛頓和萊布尼茲在無窮和無窮小量的問題上十分含糊，因此就微積分的基礎(chǔ)是否穩(wěn)固爆發(fā)了一場大爭論。許多數(shù)學(xué)家在微積分基礎(chǔ)不嚴(yán)密的情況下創(chuàng)立了許多輝煌成就。

歐拉用微積分的概念和技巧解決了大量天文學(xué)、物理學(xué)、力學(xué)等問題，開創(chuàng)了無窮級數(shù)、微分方程、變分學(xué)等諸多學(xué)科。他出版的《無限小分析引論》以及緊接著發(fā)表的《微分學(xué)》和《積分學(xué)》中都引進(jìn)了一類標(biāo)準(zhǔn)符號。例如：函數(shù)符號、求和符號、自然對數(shù)底數(shù)、虛數(shù)符號等等。對微積分的分析表達(dá)的規(guī)范起重要作用。

勒讓德提出的橢圓函數(shù)論，是在麥克勞林和達(dá)朗貝爾研究過的可以用橢圓和雙曲線的弧表示的積分的基礎(chǔ)上。還有拉普拉斯、傅里葉等許多大數(shù)學(xué)家在分析學(xué)上都有巨大貢獻(xiàn)，但微積分學(xué)的基礎(chǔ)問題卻沒有找到解決辦法。對于數(shù)學(xué)分析是否嚴(yán)密的問題一直留在那里。

為了微積分自身的發(fā)展和完善，在十九世紀(jì)許多數(shù)學(xué)家開始重新考慮微積分的邏輯基礎(chǔ)和嚴(yán)密性，取得了重要成果。例如波爾查諾將連續(xù)函數(shù)的意義建立在極限概念上，并舉出了處處不可微函數(shù)的例子。

法國著名的數(shù)學(xué)家柯西在分析基礎(chǔ)、常微分方程、單復(fù)變函數(shù)等方面有卓越成就，他是極限理論即微積分的真正理論基礎(chǔ)的創(chuàng)建者。他在《分析教程》和《無限小計(jì)算教程概論》中，將嚴(yán)格化作為目標(biāo)，給出了微積分基本概念例如變量、極限、連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、微分等的明確定義以及相關(guān)證明，建立了極限理論。

維爾斯特拉斯使極限理論成為微積分的基礎(chǔ)。從而使微積分進(jìn)一步發(fā)展。黎曼認(rèn)為可積函數(shù)不一定是連續(xù)的，還指出了不連續(xù)函數(shù)的積分。他建立了黎曼積分的概念，給出了它存在的充要條件。法國數(shù)學(xué)家勒貝格在定義積分的時(shí)候采取劃分值域的辦法，使積分歸結(jié)為測度，從而突破黎曼積分的局限性，進(jìn)一步發(fā)展積分理論。

參考文獻(xiàn)：

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[2]李濤，漫談微積分的產(chǎn)生與發(fā)展[J].數(shù)學(xué)史話，2006.2.40-41

[3]劉和義、劉旭浩，微積分發(fā)展簡史[J].衡水學(xué)院學(xué)報(bào)，2005.7（1）.7-9

[4]朱燕麟，微積分歷史上的兩個(gè)重要發(fā)展階段[J].江蘇教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2010.26（12）.26-27