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一個函數(shù)問題的對稱性的發(fā)現(xiàn)與推廣*

2018-10-22 01:12四川省內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院胡生兵趙思林
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2018年19期
關(guān)鍵詞:中心對稱定義域對稱性

☉四川省內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 胡生兵 趙思林

發(fā)現(xiàn)教學(xué)法是指在教師的啟發(fā)下,使學(xué)生主動地探索數(shù)學(xué)知識和解決數(shù)學(xué)問題的一種教學(xué)方法.發(fā)現(xiàn)教學(xué)法應(yīng)用到數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,教師不是將問題的結(jié)論直接告訴給學(xué)生,而是向?qū)W生提供一系列問題,讓學(xué)生積極思考,獨(dú)立探索,自行發(fā)現(xiàn)這些問題的結(jié)論.解題思路的探索與發(fā)現(xiàn)是數(shù)學(xué)問題解決的關(guān)鍵,數(shù)學(xué)解題思路的發(fā)現(xiàn)常常需要敏銳的觀察,廣泛的聯(lián)想,大膽的猜想,也需要嘗試與預(yù)估、經(jīng)驗(yàn)與頓悟、機(jī)遇與靈感[1].發(fā)現(xiàn)教學(xué)法是培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的重要方式,發(fā)現(xiàn)教學(xué)法的關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生思考與發(fā)現(xiàn).2016年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅱ理科第12題是一個適合發(fā)現(xiàn)教學(xué)的好問題,也是數(shù)學(xué)探究的好問題.下面對該題從對稱性的發(fā)現(xiàn)、結(jié)論的證明、問題的推廣等角度作了探究.

題目 (2016年全國卷Ⅱ理科第12題)已知函數(shù)(fx)(x∈R)滿足(f-x)=2-(fx),若函數(shù)圖像的交點(diǎn)為(x1,y)1,(x2,y)2,…,(xm,ym),則

A.0 B.m C.2m D.3m

解析:根據(jù)題意可知,(f-x)+(fx)=2,所以函數(shù)(fx)的圖像關(guān)于點(diǎn)(0,1)成中心對稱.

此題情境新穎、內(nèi)涵深刻、富含思考價值和數(shù)學(xué)探究價值.解答本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)函數(shù)方程f(-x)=2-f(x)的對稱性.據(jù)統(tǒng)計,本題的得分率為0.44,大部分同學(xué)無法解決此題的原因在于不能發(fā)現(xiàn)原函數(shù)的對稱性.本文擬從探索和發(fā)現(xiàn)函數(shù)方程f(-x)=2-f(x)的對稱性出發(fā),對這個函數(shù)方程的對稱性的思路探索、結(jié)論發(fā)現(xiàn)、證明、推廣等角度作一些探究.

一、對稱性的發(fā)現(xiàn)

思路1.退中求進(jìn)

在解決問題過程中,有時退一步,將原問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題,再通過類比就很容易發(fā)現(xiàn)解題思路,找到問題的解決策略.而聯(lián)想與猜想是引導(dǎo)我們?nèi)绾无D(zhuǎn)化的關(guān)鍵.無論是在教學(xué)中,還是在解決問題過程中,最近發(fā)展區(qū)都可以幫助我們學(xué)習(xí)知識和解決問題.

首先對原方程進(jìn)行移項(xiàng),得到f(x)+f(-x)=2,通過聯(lián)想把“2”變?yōu)椤?”從而得到f(x)+f(-x)=0,通過回顧發(fā)現(xiàn)這個方程是奇函數(shù)的表達(dá)式,奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,函數(shù)圖像也關(guān)于原點(diǎn)對稱.此時通過猜想,原來函數(shù)f(x)的圖像可能也關(guān)于某個點(diǎn)對稱.

評注:在此探究思路過程中,通過退一步將“2”變?yōu)椤?”,從而得到學(xué)生熟悉的表達(dá)式,學(xué)生運(yùn)用已有知識很容易想到奇函數(shù)的表達(dá)式,通過大膽的猜想與類比很快就可以想到原函數(shù)f(x)可能也關(guān)于點(diǎn)對稱.

思路2.構(gòu)造函數(shù)

根據(jù)原方程f(-x)=2-f(x),原方程兩邊同時減去1可以得到f(-x)-1=1-f(x).

觀察此方程發(fā)現(xiàn),將-x代入等式的右邊得1-f(-x),剛好與左邊相差一個負(fù)號,所以令g(x)=1-f(x),則有g(shù)(x)=1-f(x)=f(-x)-1.

因?yàn)間(-x)=1-f(-x),所以g(-x)=-g(x),從而g(x)是奇函數(shù),所以g(x)關(guān)于原點(diǎn)對稱.

通過解題回顧知,函數(shù)g(x)是由函數(shù)f(x)作x軸的對稱曲線再向上平移1個單位得到的,而函數(shù)g(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱,平移不改變函數(shù)的對稱性,所以可以得到函數(shù)f(x)的圖像也關(guān)于某個點(diǎn)對稱.

評注:此思路的發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵在于觀察,通過觀察很容易發(fā)現(xiàn)等式兩邊的關(guān)系,從而快捷地想到構(gòu)造函數(shù).此思路發(fā)現(xiàn)過程中充分展示了觀察聯(lián)想的重要性,充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)美、對稱美.

二、對稱中心的發(fā)現(xiàn)

1.由思路1發(fā)現(xiàn)對稱中心

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是一個抽象函數(shù),為了簡化解題思路,所以將f(x)令成熟悉的具體函數(shù).令f(x)=kx+b,因?yàn)閒(x)+f(-x)=2,所以kx+b+(-kx)+b=2,即2b=2,故b=1.所以f(x)=kx+1(k∈R),該函數(shù)圖像是一條經(jīng)過定點(diǎn)(0,1)的直線.再作具體化處理,取k=1,得f1(x)=x+1,而直線是關(guān)于在直線上的任意一點(diǎn)對稱,所以一個函數(shù)無法確定對稱點(diǎn).再取k=-1,得f2(x)=-x+1.f1(x),f2(x)都滿足抽象函數(shù)f(x)的對稱性,而f1(x)與f2(x)有且只有一個公共點(diǎn)(0,1),所以函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱.

評注:在此探索過程中運(yùn)用了解決函數(shù)問題的一種常用方法——“特殊化”.在特殊化的過程中體現(xiàn)了化抽象為具體的思想.此過程中是將原函數(shù)特殊化為一次函數(shù),其實(shí)也可以將原函數(shù)特殊化為三次函數(shù)、正弦函數(shù)等.具體能化為哪種特殊函數(shù)可以根據(jù)學(xué)生對知識點(diǎn)的熟悉程度來確定.

2.由思路2發(fā)現(xiàn)對稱中心

根據(jù)函數(shù)g(x)=1-f(x),可以得到f(x)=1-g(x).由f(x)=1-g(x)可知,g(x)先作關(guān)于x軸的對稱曲線,再向上平移一個單位長度可以得到f(x).因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(0,0)對稱,所以函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于(0,1)對稱.因?yàn)槠揭坪蛯ΨQ變換不改變函數(shù)圖像的對稱性的,所以此過程也即是證明過程.

評注:此過程充分運(yùn)用了函數(shù)的表達(dá)式和函數(shù)圖像變換的性質(zhì).運(yùn)用直觀想象讓解題思路變得簡捷,計算過程簡單,同時培養(yǎng)了學(xué)生的直觀想象能力.

三、結(jié)論的證明

結(jié)論:函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(-x)=2-f(x),則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱.

證明:設(shè)點(diǎn)(m,n)在函數(shù)y=f(x)的圖像上,則f(m)=n.

因?yàn)閒(-x)=2-f(x),所以f(-m)=2-f(m),即2-m=f(-m),故點(diǎn)(-m,2-n)也在函數(shù)f(x)的圖像上.

而點(diǎn)(m,n)與點(diǎn)(-m,2-n)恒關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱,所以f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱.

四、問題的推廣

推廣是指對結(jié)論進(jìn)行拓展、加強(qiáng)與深化.對結(jié)論的推廣,有利于學(xué)生知識的拓展,開拓學(xué)生的思維視野,并能培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力,還能培養(yǎng)學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)的能力.

下面我們對對稱點(diǎn)進(jìn)行推廣.

推廣1:設(shè)函數(shù)(fx)的定義域?yàn)镽,函數(shù)(fx)滿足(fx)+(fb-x)=2,則函數(shù)(fx)的圖像關(guān)于點(diǎn), 1)對稱.

推廣2:設(shè)函數(shù)(fx)的定義域?yàn)镽,函數(shù)(fx)滿足(fx)+(fb-x)=0,則函數(shù)(fx)的圖像關(guān)于點(diǎn), 0)對稱.

推廣3:設(shè)函數(shù)(fx)的定義域?yàn)镽,函數(shù)(fx)滿足(fx)+(f-x)=m,則函數(shù)(fx)的圖像關(guān)于點(diǎn)(0)對稱.

推廣4:設(shè)函數(shù)(fx)的定義域?yàn)镽,函數(shù)(fx)滿足(fx)+(fb-x)=m,則函數(shù)(fx)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱.

推廣5:設(shè)函數(shù)(fx)的定義域?yàn)镽,函數(shù)(fx)滿足(fa+x)+(fb-x)=0,則函數(shù)(fx)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱.

推廣6:設(shè)函數(shù)(fx)的定義域?yàn)镽,函數(shù)(fx)滿足(fa+x)+(fb-x)=m,則函數(shù)(fx)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱.

證明:設(shè)點(diǎn)(x0,y0)在函數(shù)(fx)的圖像上,則有(fx)0=y0.

因?yàn)椋╢a+x)+(fb-x)=m,所以(fa+x0)+(fb-x0)=m.

從而(fb-x0)=m-(fa+x0),所以點(diǎn)(a+x0,(fa+x0))和點(diǎn)(b-x0,(fb-x0))都在函數(shù)(fx)的圖像上.又點(diǎn)(a+x0,(fa+x0))和點(diǎn)(b-x0,(fb-x0))關(guān)于點(diǎn)對稱,所以函數(shù)(fx)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱.

推廣7:設(shè)函數(shù)(fx)的定義域?yàn)镽,函數(shù)(fx)滿足(fa+x)-(fb-x)=0,則函數(shù)(fx)的圖像關(guān)于直線對稱.

證明:設(shè)點(diǎn)(x1,y1)在函數(shù)(fx)的圖像上,則(fx1)=y1.

因?yàn)椋╢a+x)-(fb-x)=0,所以(fa+x1)-(fb-x1)=0.

所以(fa+x1)=(fb-x1),而點(diǎn)(a+x1,(fa+x1))和點(diǎn)(bx1,(fb-x1))關(guān)于,所以函數(shù)(fx)的圖像關(guān)于直線對稱.

推廣8:設(shè)函數(shù)(fx)的定義域?yàn)镽,函數(shù)y=(fx)與函數(shù)y=-(f-x)關(guān)于點(diǎn)(0,0)中心對稱.

推廣9:設(shè)函數(shù)(fx)的定義域?yàn)镽,函數(shù)y=(fx)與函數(shù)y=-(fm-x)關(guān)于點(diǎn)中心對稱.

推廣10:設(shè)a,b,c為常數(shù),函數(shù)y=(fx)與函數(shù)y=g(x)的定義域?yàn)镽,對?x∈R,均有(fc+x)+g(a-x)=b,則函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱.

證明:設(shè)點(diǎn)P(c+x0,(fc+x0))是函數(shù)y=(fx)圖像上的任意一點(diǎn),則點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為Q(a-x,

0b-(fc+x0)),且(fc+x0)+g(a-x0)=b,所以g(a-x0)=b-(fc+x0),故點(diǎn)Q(a-x0,b-(fc+x0))是函數(shù)圖像上的一點(diǎn),也即函數(shù)y=(fx)圖像上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)都在函數(shù)y=g(x)的圖像上,所以函數(shù)y=(fx)與函數(shù)y=g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱.

評注:前面幾個推廣是經(jīng)??嫉降?,而最后三個有一定的難度,比較少用.函數(shù)在高考中占有較大比例,同時函數(shù)對稱性是高考的熱點(diǎn),通過對這些推廣的理解與記憶,能夠深化學(xué)生對函數(shù)的理解,能夠快捷、準(zhǔn)確地解決高考中的函數(shù)對稱問題.

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