李曉龍，張順家，李 勇，畢 鵬，尹 航

（上海機電工程研究所，上海，201109）

0 引 言

在現(xiàn)代戰(zhàn)爭條件下，精確制導的巡航導彈已經成為進攻和打擊敵方目標的重要手段［1］，其具有突防能力強、射程遠、飛行軌跡靈活和命中精度高的特點。為實現(xiàn)上述打擊能力，通常采用航跡規(guī)劃的方法，跟蹤預先制定好的飛行規(guī)律實現(xiàn)自主式飛行。為了提升導彈攻擊距離，彈道中段往往采用預設高度規(guī)律的巡飛彈道飛行；考慮到巡航導彈的突防高度和巡航導彈作戰(zhàn)效能大小密切相關［2］，在進入敵方防空體系范圍后，為了提高作戰(zhàn)效能，首先采用超低空飛行的彈道方案，充分利用地球曲率帶來的視距限制減小被敵防空雷達發(fā)現(xiàn)的距離，并在彈道末端采用“躍升俯沖”的方式攻擊目標。在以上飛行彈道方案中，導彈的飛行高度均需按照高度指令變化。為保證導彈在不同飛行階段均能按照設定的高度規(guī)律飛行，需要設計相應的控制指令，實現(xiàn)導彈飛行高度的精確控制。改變導彈的飛行軌跡通常通過控制導彈產生相應的過載來實現(xiàn)。

文獻［3］提出了自抗擾高度控制規(guī)律設計方法，文獻［4］采用魯棒伺服最優(yōu)控制方法設計了基于角速率的高度控制律，文獻［5］采用有限時間控制方法設計了高度控制模型。本文首先建立導彈運動模型，在此基礎上分別推導了兩種實現(xiàn)導彈高度跟蹤的制導律，將期望的飛行高度轉換為過載指令，并利用階躍和正弦兩種形式的高度指令開展了數(shù)值仿真對比分析，結果表明兩種制導律均具有良好的響應快速性和穩(wěn)態(tài)跟蹤精度。目前，所設計的制導律已得到工程應用的驗證。

1 導彈運動學模型

導彈在三維空間的運動可以用式（1）方程組［6］表示為

為分析方便，只研究導彈在縱向平面內的運動。導彈在縱向平面內的運動可在彈道坐標系中表示為

2 高度控制指令模型

2.1 基于二階無靜差系統(tǒng)的制導律

導彈預定的飛行高度規(guī)律為

導彈實際飛行高度為H（t），則高度誤差為

對式（2）中第二、三式及式（3）分別求兩階導數(shù)，可得

則

則可得到關于高度跟蹤誤差的二階無靜差系統(tǒng)為

變形后為

通過選取合適的阻尼比ξ和自然頻率ωn，即可調節(jié)式（9）所描述二階系統(tǒng)的動態(tài)響應性能，使系統(tǒng)具有適度的阻尼特性、較快的響應速度和較短的調節(jié)時間，從而實現(xiàn)滿足某一性能要求的飛行高度跟蹤控制［7］。

高度控制指令最終形式為

若導彈等速巡航飛行，則可對上述制導律進行簡化，可得

2.2 基于速度補償?shù)闹茖?/h2>

基于速度補償?shù)闹茖稍O計思路如圖1所示。圖1中M為導彈當前時刻的位置，速度為V，彈道傾角為θ；虛線為導彈期望飛行高度Hf，變化規(guī)律為Hf＝H＊（t）。為控制導彈按照期望高度規(guī)律飛行，首先需要消除高度誤差ΔH，可將高度誤差轉化為對飛行彈道傾角的需求θc1；同時為實現(xiàn)穩(wěn)定跟蹤，可將由于期望高度變化率引起的飛行彈道傾角的需求θc2補償至θc1，最終實現(xiàn)高度誤差的消除和高度的跟蹤。

實際飛行過程中，導彈的飛行高度與期望高度會存在一個偏差ΔH，可通過控制此偏差至零或小量實現(xiàn)高度的跟蹤。高度偏差控制過程為長周期過程，可在tΔH時間內按照線性規(guī)律控制高度偏差ΔH至零，則可得到其平均速度需求為

同時期望高度Hf為時間的函數(shù)，將式（3）求導，令

圖1 基于速度補償?shù)母叨雀欀茖蒄ig.1 Guidance law based on velocity compensation

平均速度需求Vyc可轉化為對飛行彈道傾角的需求θc，則速度補償后的彈道傾角需求θc為

則導彈實際飛行彈道傾角與期望彈道傾角的偏差為

令期望彈道傾角變化率與Δθ成比例關系，則有

式中：kΔθ為比例系數(shù)。

將式（2）中第二式變形，可得指令模型計算方法為

綜合式（12）～（18），基于速度補償?shù)闹茖煽杀硎緸?/p>

3 數(shù)字仿真分析

本章對前文所設計的兩種高度跟蹤制導律進行數(shù)值仿真，對比分析在階躍和正弦曲線兩種典型的高度指令作用下，所設計制導律的響應快速性、穩(wěn)態(tài)誤差、過載需求等性能。

3.1 階躍高度指令

仿真條件：導彈初始飛行狀態(tài)為保持6 000 m高度平飛，隨后按照階躍高度指令飛行至3 000 m高度并保持，導彈縱向合成過載限幅值為10 g。

數(shù)值仿真分析結果見圖2～6所示，其中制導律1為基于二階無靜差系統(tǒng)的制導律，表達式見式（11）。制導律2為基于速度補償?shù)闹茖?，表達式見式（19）。

圖2 導彈高度（階躍高度指令）Fig.2 Missile height（step height instruction）

圖3 導彈高度跟蹤誤差（階躍高度指令）Fig.3 Tracking error of missile height（step height instruction）

圖4 導彈高度變化率（階躍高度指令）Fig.4 Changing ratio of missile height（step height instruction）

圖5 導彈高度變化率跟蹤誤差（階躍高度指令）Fig.5 Changing ratio of missile height tracking error（step height instruction）

圖6 導彈過載（階躍高度指令）Fig.6 Missile overload（step height instruction）

由圖2～6可知，在階躍高度指令條件下，兩種制導律均能實現(xiàn)高度的快速調整并穩(wěn)定跟蹤，高度跟蹤誤差和高度變化率追蹤誤差均能在較快時間內收斂至零值附近；制導律1調節(jié)時間ts為13.95 s，制導律2調節(jié)時間ts為14.77 s，基于二階無靜差系統(tǒng)設計的制導律響應更快；在高度調整過程中，制導律1需用過載變化較為劇烈，對導彈過載響應快速性要求較高。

3.2 正弦高度指令

仿真條件：導彈初始飛行狀態(tài)為保持3 000 m高度平飛，隨后按照正弦高度指令飛行，導彈高度指令為 H＊（t）＝3 000＋1 000×sin（98π／180×t）。

數(shù)值仿真分析結果見圖7～11所示，其中制導律1為基于二階無靜差系統(tǒng)的制導律，制導律2為基于速度補償?shù)闹茖伞?/p>

由圖7～11可知，在正弦高度指令條件下，兩種制導律均能夠實現(xiàn)穩(wěn)定跟蹤，但存在一定的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差。制導律1在其調節(jié)時間后出現(xiàn)的最大高度跟蹤誤差為0.5 m，最大高度變化率跟蹤誤差為0.2 m／s；制導律2在其調節(jié)時間后出現(xiàn)的最大高度跟蹤誤差為106.5 m，最大高度變化率跟蹤誤差為14.5 m／s，基于二階無靜差系統(tǒng)設計的制導律穩(wěn)定跟蹤誤差較??；在飛行全過程中，兩種制導律需用過載相當。

通過上述對比分析可以看出，本文所設計的兩種高度跟蹤規(guī)律均能夠穩(wěn)定跟蹤階躍和正弦形式高度指令，但兩者在過載需求、響應時間及穩(wěn)態(tài)誤差控制等方面存在一定的差異。此外，與制導律2相比，制導律1解算過程中還需要高度指令的二階微分項信息，而在地勢跟蹤等應用場景中上述信息往往難以直接且準確地獲取。

在實際工程應用中，可以結合導彈自身的特點靈活選擇上述兩種規(guī)律：若導彈響應快速性好且對飛行高度控制的快速性和跟蹤精度要求較高，則優(yōu)先選擇制導律1，否則可以選擇制導律2。

圖7 導彈高度（正弦高度指令）Fig.7 Missile height（sine height instruction）

圖8 導彈高度跟蹤誤差（正弦高度指令）Fig.8 Tracking error of missile height（sine height instruction）

圖9 導彈高度變化率（正弦高度指令）Fig.9 Changing ratio of missile height（sine height instruction）

圖10 導彈高度變化率跟蹤誤差（正弦高度指令）Fig.10 Changing ratio of missile height tracking error（sine height instruction）

圖11 導彈過載（正弦高度指令）Fig.11 Missile overload（sine height instruction）

4 工程應用算例驗證

首先分析在階躍和正弦形式的高度指令作用下兩者的性能特點，隨后通過兩個型號工程應用算例進一步驗證其有效性和實用性。

4.1 算例1－基于二階無靜差系統(tǒng)的制導律應用

某型導彈為空中發(fā)射對地攻擊的遠距巡航導彈，導彈全過程可用過載大于20 g，且導彈具備快速過載響應

圖12 導彈飛行高度（算例1）Fig.12 Missile flying height（example 1）

可以看出，基于二階無靜差系統(tǒng)的制導律能夠快速實現(xiàn)導彈飛行高度的大范圍調節(jié)，跟蹤誤差小，全程最大需用過載不超過20 g。

4.2 算例2－基于速度補償?shù)闹茖蓱?/h2>

假設某型導彈可用過載不大于4 g，可用攻角不大于10°，導彈過載響應較慢，按照飛行彈道要求，其需能力。其典型飛行彈道為：導彈發(fā)射后，迅速爬升至最優(yōu)巡航高度，保持巡航飛行；進入預定空域后，快速完成飛行高度下降，保持低空巡航飛行；在接近目標后拉起彈道，之后進入末制導俯沖攻擊段。仿真中導彈的實際飛行高度通過文獻［8］提供的算法進行解算。

依據(jù)上述彈道需求可知，導彈飛行過程中高度調整范圍大，調整時間短，而導彈具備快速過載響應能力，因此采用基于二階無靜差制導律實現(xiàn)導彈飛行高度的控制。

圖13 導彈過載（算例1）Fig.13 Missile overload（example 1）

仿真計算結果如圖12～13所示。在完成初始彈道調整后，以指數(shù)形式高度指令爬升至預定高度，隨后按照設定高度巡航飛行，接近巡航段末端后進行了一次向下機動，之后繼續(xù)回到巡航高度。

按照上述飛行彈道需求，導彈在飛行過程中高度將經歷多次變化，考慮到導彈過載響應較慢，故采用基于速度補償?shù)母叨雀欀茖蓪崿F(xiàn)導彈高度控制。

最終仿真結果如圖14～15所示。

圖14 導彈飛行高度（算例2）Fig.14 Missile flying height（example 2）

圖15 導彈過載（算例2）Fig.15 Missile overload（example 2）

可以看出，利用本文設計的基于速度補償?shù)母叨雀欀茖?，導彈能夠快速準確響應指數(shù)、階躍等不同形式的組合高度指令，很好地實現(xiàn)了飛行全過程的高度控制。

5 結束語

本文設計了兩種實現(xiàn)巡航導彈高度跟蹤控制的制導律，利用數(shù)值仿真對比分析了兩者對典型高度指令的響應特點，并給出了其在工程研制中的實際應用算例。結果表明兩種方法均能快速、穩(wěn)定地實現(xiàn)對導彈飛行高度的跟蹤控制，且實現(xiàn)簡單，具有良好的工程應用價值。

此外，本文所提出的方法可以方便地擴展到橫向平面內運動軌跡的跟蹤控制，從而實現(xiàn)對導彈三維飛行軌跡的跟蹤控制。