康憲剛 劉宇晟

摘 要：對(duì)于概念課教學(xué)授課教師如何突破零散講授的慣性思維，突出學(xué)生的主體地位，以北師大版九下第三章第一節(jié)圓的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，從學(xué)生活動(dòng)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)明線、思維訓(xùn)練鋪設(shè)暗線、關(guān)注課堂生成資源三個(gè)方面介紹凸顯學(xué)生主體地位的具體做法，進(jìn)而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的目的。

關(guān)鍵詞：教學(xué)設(shè)計(jì)；學(xué)生主體；思維潛質(zhì)

正如古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派所言，在一切平面圖形中，圓是最美的！義務(wù)教育九年級(jí)北師大版數(shù)學(xué)的最后一章（九下第三章）也是圓，希望即將畢業(yè)的初中學(xué)生圓滿地完成學(xué)業(yè)！

九下第三章的第一節(jié)是圓，主要內(nèi)容是圓的概念、與圓有關(guān)的概念（弧、弦、半圓、等圓等）、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系。絕大多數(shù)的老師在教學(xué)此課時(shí)，常常忽略以下三點(diǎn)：

忽略一：只注重點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，忽略圓的概念的生成過程，不注重從集合的觀點(diǎn)研究圓的概念。究其原因，教師想當(dāng)然地認(rèn)為學(xué)生從小學(xué)到初中對(duì)圓很熟悉了，不需要細(xì)致琢磨。忽略二：不深挖教材，沒有從集合的數(shù)學(xué)思想出發(fā)，把圓的概念、圓的有關(guān)概念、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系進(jìn)行統(tǒng)一整合，統(tǒng)整到集合的數(shù)學(xué)思想上。常常是分散地，一個(gè)一個(gè)地講解概念。忽略三：探究活動(dòng)不深入。對(duì)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系進(jìn)行探究，也由于圖形的形象直觀，沒有用心設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，沒有深挖為什么要用點(diǎn)到圓心的距離d，同樣的研究方法在前后的知識(shí)點(diǎn)（點(diǎn)與直線的位置關(guān)系）中有沒有鋪墊？

對(duì)于這樣的概念課、知識(shí)點(diǎn)簡(jiǎn)單的課（從老師的角度而言），如何進(jìn)行有深度的教學(xué)，如何擺脫教師以講為主的傳統(tǒng)形式，如何在課堂教學(xué)中凸顯學(xué)生的主體地位？我們嘗試從明暗兩線設(shè)計(jì)，突出學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，凸顯學(xué)生的主體地位。即：明線為從學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的環(huán)節(jié)安排上設(shè)計(jì)了六個(gè)環(huán)節(jié)；暗線為從學(xué)生思維的訓(xùn)練梯度上設(shè)計(jì)了四道習(xí)題（共9個(gè)小題）。

一、設(shè)計(jì)學(xué)生活動(dòng)明線，循序漸進(jìn)，滲透學(xué)習(xí)方法

學(xué)生在課堂上學(xué)習(xí)，主要途徑有動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦、傾聽、互助與合作，教師設(shè)計(jì)的教學(xué)活動(dòng)如果能盡可能多地包含這些學(xué)習(xí)行為，則學(xué)生的主體地位很明顯地就表現(xiàn)出來了。這其中自然而然地包含了學(xué)習(xí)方法的滲透。為此，我們?cè)O(shè)計(jì)了如下六個(gè)環(huán)節(jié)：

活動(dòng)一：實(shí)踐操作（畫圓和說圓）。請(qǐng)大家在紙上用圓規(guī)畫一個(gè)圓。說一說你對(duì)圓的認(rèn)識(shí)（至少寫出三點(diǎn)）。設(shè)計(jì)意圖：與學(xué)生重溫圓規(guī)畫圓的過程，圓的相關(guān)知識(shí)，如半徑、直徑、軸對(duì)稱、面積等。

活動(dòng)二：觀察思考（定義圓）。如何確定一個(gè)圓的位置和大小？請(qǐng)嘗試給出圓的定義。設(shè)計(jì)意圖：與學(xué)生聚集圓的兩個(gè)核心要素，定點(diǎn)圓心、定長(zhǎng)半徑。從畫圓的操作過程來定義圓，初步感受滿足集合條件的定義方法。

活動(dòng)三：閱讀理解（識(shí)圓一，了解圓的有關(guān)概念）。請(qǐng)同學(xué)們閱讀課本第65頁，完成下列問題。

1.圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做________，簡(jiǎn)稱弧。

2.以A，B兩點(diǎn)為端點(diǎn)的弧，記作________，讀作“弧AB”。

3.小于半圓的弧叫劣弧，如記作__________。（用兩個(gè)字母）

4.大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，如記作_________。（用三個(gè)字母）

5.連接圓上任意兩點(diǎn)間的線段叫做_________。（如弦AB）。

6.經(jīng)過圓心弦叫做___________。（如直徑AC）。

7.直徑將圓分成兩部分，每一部分都叫_________。

8.能夠重合的兩個(gè)圓叫做__________。

9.在__________________中，能夠互相重合的弧叫做等弧。

設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)規(guī)定性概念的閱讀理解，能在具體的圖形中舉例，滲透動(dòng)點(diǎn)變化、動(dòng)靜結(jié)合的抽象思維方法。

活動(dòng)四：辨別分析（識(shí)圓二，辨別易混淆的概念）。弦與直徑的區(qū)別是什么？弧和半圓的區(qū)別是什么？設(shè)計(jì)意圖：明確強(qiáng)調(diào)弦、弧通過運(yùn)動(dòng)變化分別能轉(zhuǎn)化成直徑、半圓。

活動(dòng)五：數(shù)形結(jié)合（研圓，探究點(diǎn)與圓的位置關(guān)系）。請(qǐng)同學(xué)們類比“點(diǎn)與直線的關(guān)系”研究點(diǎn)與圓的位置關(guān)系?！袿是一個(gè)半徑為r的圓，在圓內(nèi)、圓上、圓外分別取一點(diǎn)A、B、C，點(diǎn)到圓心的距離為d，請(qǐng)你用r和d的大小關(guān)系刻畫點(diǎn)的位置特征。

點(diǎn)A在⊙O內(nèi)？圳d_____r 點(diǎn)B在⊙O上？圳d_____r

點(diǎn)C在⊙O外？圳d_______r

設(shè)計(jì)意圖：通過類比的方法，探究點(diǎn)與圓的三種位置關(guān)系，滲透類比的學(xué)習(xí)方法，為后續(xù)學(xué)習(xí)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系做方法上的鋪墊。

活動(dòng)六：鞏固提升（分為基礎(chǔ)訓(xùn)練與拓展延伸）。基礎(chǔ)訓(xùn)練1、2、3小題，拓展延伸4小題。習(xí)題見下文。

二、鋪設(shè)思維訓(xùn)練暗線，層層推進(jìn)，提高思維能力

現(xiàn)代心理學(xué)研究表明，初中段學(xué)生的思維，正處于從形象思維向抽象思維過渡，由感性向理性升華的過程。老師在課堂教學(xué)中要抓住這一規(guī)律，設(shè)計(jì)好思維訓(xùn)練題，要有思維深度，不能只停留在淺層次的思維上。盡管有較大深度的思維訓(xùn)練題不是全體學(xué)生都能掌握，但應(yīng)該讓全體學(xué)生了解此類知識(shí)點(diǎn)可以綜合到什么深度的思維訓(xùn)練題。為此，我們?cè)O(shè)計(jì)了如下四道層層推進(jìn)思維的習(xí)題。

1.作圖

（1）已知A點(diǎn)，找出到A點(diǎn)的距離等于2厘米的所有點(diǎn)組成的圖形。

（2）已知B點(diǎn)，找出到B點(diǎn)的距離小于2厘米的所有點(diǎn)組成的圖形。

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步加深用集合的觀念去分析點(diǎn)的分類特征，區(qū)別圓和圓面。

2.已知⊙O的面積為9π，判斷點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系。

（1）若PO=4.5，則點(diǎn)P在__________；

（2）若PO=2，則點(diǎn)P在___________；

（3）若PO=_______，則點(diǎn)P在圓上。

設(shè)計(jì)意圖：靈活運(yùn)用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的知識(shí)點(diǎn)。

3.如圖，已知矩形ABCD的邊AB=3，AD=4。

（1）以點(diǎn)A為圓心，4為半徑作圓A，則點(diǎn)B、C、D與圓A的位置關(guān)系如何？

（2）若以A點(diǎn)為圓心作圓A，使B、C、D三點(diǎn)中至少有一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一個(gè)點(diǎn)在圓外，則圓A的半徑r的取值范圍是什么？

設(shè)計(jì)意圖：綜合圓的概念與點(diǎn)與圓的位置關(guān)系知識(shí)，進(jìn)行簡(jiǎn)單的綜合運(yùn)用，鞏固勾股定理、不等式的相關(guān)知識(shí)。

4.如圖所示，在A地正北300m的B處有一變電設(shè)施，正西400m的C處有一幢民房，在BC的中點(diǎn)D處是一古建筑。

（1）因施工需要，必須在A處進(jìn)行一次爆破。為使民房、變電設(shè)施、古建筑都不遭到破壞，問爆破影響面的半徑應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

設(shè)計(jì)意圖：綜合運(yùn)用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、勾股定理、中線等知識(shí)。

（2）若BC是一條馬路，且馬路上有行人和車輛，在爆破時(shí)也不能影響到馬路的行人和車輛，那爆破影響面的半徑應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)呢？

設(shè)計(jì)意圖：綜合運(yùn)用點(diǎn)與直線、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、勾股定理、高線等知識(shí)。

三、關(guān)注課堂生成資源，即時(shí)互動(dòng)，挖掘?qū)W生思維潛質(zhì)

做好教學(xué)設(shè)計(jì)工作后，我們把教學(xué)設(shè)計(jì)付諸實(shí)踐，并且在課堂教學(xué)過程中，時(shí)刻關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，處理好預(yù)設(shè)與生成的關(guān)系。

（一）用教師的激情點(diǎn)燃學(xué)生的激情

教師用自己對(duì)知識(shí)與能力的自信，喚醒學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣；用充滿激情的語言調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。如：學(xué)生用圓規(guī)畫完圓以后，老師拋出思考問題，為什么同學(xué)們紙上的圓有大有小？學(xué)生立刻想到了半徑不同。你知道圓的哪些知識(shí)？要大聲地說出來！在閱讀教材環(huán)節(jié)，授課教師發(fā)現(xiàn)好多學(xué)生沒有在學(xué)案紙上立刻書寫，就用鼓勵(lì)的語言對(duì)學(xué)生說：“要對(duì)自己的閱讀理解能力充滿自信，大膽書寫！如果有疑問，可以同桌互相交流。”在探究點(diǎn)與圓的位置關(guān)系時(shí)，學(xué)生很快類比出點(diǎn)與圓有三種位置關(guān)系時(shí)，授課教師鼓勵(lì)學(xué)生舉手回答，但好多學(xué)生沒有舉手。授課教師再次鼓勵(lì)學(xué)生，要在公眾場(chǎng)合勇敢地、自信地表達(dá)自己觀點(diǎn)或建議。

（二）敏銳地抓住課堂生成的教學(xué)資源培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確提出：數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。教師要善于挖掘課堂生成資源的教育價(jià)值，要在教學(xué)實(shí)踐中分析各種現(xiàn)象，恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行養(yǎng)成教育。在基礎(chǔ)訓(xùn)練1題（2）小題的作圓時(shí)，學(xué)生圓出了圓，但沒有用陰影表示出“到B點(diǎn)的距離小于2厘米的所有點(diǎn)組成的圖形”。授課教師發(fā)現(xiàn)問題后，及時(shí)拋出思考問題，“本題中的兩個(gè)小題答案相同嗎？若不同怎樣區(qū)別？（2）小題正是我們辨別過的圓面，包含不包含圓（邊線）”。學(xué)生齊聲答：“不包含！”在做基礎(chǔ)訓(xùn)練3題時(shí)，授課老師發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生讀題有困難，就安排一位學(xué)生（數(shù)學(xué)成績(jī)中下）在黑板上板演做題過程。老師耐心地指導(dǎo)學(xué)生確定圓心，明確半徑為AD。最終，這位學(xué)生成功地完成了板演，得到了全班同學(xué)和全體聽課教師的掌聲鼓勵(lì)！

（三）熟練運(yùn)用變式練習(xí)激活學(xué)生思維

眾所周知，數(shù)學(xué)課程在培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和推理能力方面具有不可替代的作用，而變式練習(xí)是激活思維的最佳方法之一。在做拓展延伸4題時(shí)，發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生有遲疑，授課教師及時(shí)給予充足的時(shí)間讓學(xué)生同桌討論或前后四位同學(xué)討論，并邀請(qǐng)小組代表板演了（1）（2）小題的解題過程。當(dāng)大家沉浸在解決了有深度思考問題的喜悅之中時(shí)，授課教師即時(shí)抓住時(shí)機(jī)，把題干中的數(shù)量變了一下，如圖所示，在A地正北70m的B處有一變電設(shè)施，正西240m的C處有一幢民房，在BC的中點(diǎn)D處是一古建筑。讓學(xué)生再次做（1）小題。因施工需要，必須在A處進(jìn)行一次爆破。為使民房、變電設(shè)施、古建筑都不遭到破壞，問爆破影響面的半徑應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？結(jié)果很多學(xué)生都落入了套用中線解法的陷阱中，沒有抓住問題的本質(zhì)是比較點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，要關(guān)注誰的距離更短的問題。當(dāng)老師質(zhì)疑學(xué)生的答案時(shí)，持正確答案的聲音逐漸由小到大，并肯定地說出答案是70米，而不是125米。這時(shí)，落入陷阱中的學(xué)生不由地發(fā)出了“哦！”茅塞頓開，豁然開朗！

參考文獻(xiàn)：

楊慶.初中數(shù)學(xué)關(guān)于圓的相關(guān)概念教學(xué)實(shí)踐研究[J].數(shù)學(xué)大世界，2017（9）.