黃 帝, 周 泓

(1. 北京交通大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京 100044；2. 北京交通大學(xué)物流管理與技術(shù)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100044；3. 北京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京 100191)

1 引言

再制造是指對(duì)廢舊產(chǎn)品進(jìn)行專業(yè)化修復(fù)或升級(jí)改造，使其質(zhì)量特性達(dá)到或優(yōu)于原有新產(chǎn)品水平的制造過(guò)程[1]。再制造是實(shí)現(xiàn)節(jié)能減排和促進(jìn)經(jīng)濟(jì)可持續(xù)發(fā)展的有效途徑，一方面再制造以廢舊產(chǎn)品為毛坯進(jìn)行生產(chǎn)加工，可以大幅減少原材料和能源消耗，節(jié)約生產(chǎn)成本，降低工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中的二氧化碳排放水平；另一方面再制造實(shí)現(xiàn)了對(duì)廢舊產(chǎn)品的循環(huán)利用，也能夠減少其作為廢棄物而帶來(lái)的環(huán)境污染。近年來(lái)，隨著再制造技術(shù)工藝的進(jìn)步和再制造產(chǎn)品質(zhì)量控制手段的提高，再制造業(yè)得到了蓬勃發(fā)展。美國(guó)國(guó)際貿(mào)易委員會(huì)2012年10月發(fā)布的調(diào)查報(bào)告顯示，2009—2011年間美國(guó)再制造產(chǎn)品生產(chǎn)年均增長(zhǎng)15%，達(dá)到430億美元，涉及航空航天工程、重型越野設(shè)備、汽車零部件、IT產(chǎn)品、醫(yī)療設(shè)備等多個(gè)領(lǐng)域[2]。我國(guó)自1999年徐濱士院士在國(guó)內(nèi)首次提出“再制造”概念以來(lái)，經(jīng)過(guò)近20年的發(fā)展已形成年產(chǎn)值約500億元規(guī)模的再制造產(chǎn)業(yè)，主要集中在廢舊汽車零部件、廢舊電子電器產(chǎn)品、廢舊機(jī)電產(chǎn)品等領(lǐng)域。2015年，大力發(fā)展再制造產(chǎn)業(yè)被列為《中國(guó)制造2025》的重要戰(zhàn)略任務(wù)之一。

與傳統(tǒng)的制造企業(yè)相比，再制造企業(yè)除了需要根據(jù)再制造品銷售市場(chǎng)需求的變化情況制定生產(chǎn)決策以外，還需要根據(jù)廢舊產(chǎn)品的回收情況(如回收質(zhì)量、數(shù)量、價(jià)格等)制定回收決策。此外，廢舊產(chǎn)品往往在損壞程度、質(zhì)量性能等方面存在差異，導(dǎo)致再制造的工藝路線和加工成本也不盡相同，進(jìn)一步增加了管理決策的復(fù)雜度。本文在一個(gè)回收再制造系統(tǒng)中研究存在多種回收質(zhì)量等級(jí)時(shí)再制造商的最優(yōu)回收、生產(chǎn)和定價(jià)決策，分析回收/再制造補(bǔ)貼、再制造品市場(chǎng)需求變化、再制造產(chǎn)出率波動(dòng)等因素對(duì)再制造商決策的影響，著力解決以下幾個(gè)再制造企業(yè)常見(jiàn)的管理運(yùn)營(yíng)問(wèn)題：(1)如何決定不同質(zhì)量等級(jí)廢舊產(chǎn)品的回收數(shù)量？(2)如何安排不同質(zhì)量等級(jí)廢舊產(chǎn)品的再制造生產(chǎn)計(jì)劃？(3)如何決定再制造產(chǎn)品的市場(chǎng)銷售價(jià)格？這些問(wèn)題目前尚未得到系統(tǒng)性的研究和解答，也是當(dāng)前回收再制造領(lǐng)域理論研究和應(yīng)用實(shí)踐的熱點(diǎn)之一。

目前關(guān)于回收再制造系統(tǒng)管理決策問(wèn)題的研究文獻(xiàn)有很多，限于篇幅，僅對(duì)與本文研究相關(guān)的文獻(xiàn)進(jìn)行綜述。第一個(gè)相關(guān)的研究方向是考慮回收質(zhì)量等級(jí)差異的回收/再制造系統(tǒng)決策問(wèn)題研究。Guide等[3]研究了多種質(zhì)量等級(jí)的廢舊產(chǎn)品回收定價(jià)和再制造產(chǎn)品銷售定價(jià)問(wèn)題，他們假設(shè)不同質(zhì)量等級(jí)的廢舊產(chǎn)品對(duì)回收價(jià)格的敏感程度也各不相同。Galbreth和Blackburn[4]在回收質(zhì)量不確定的情況下研究了最優(yōu)回收與再制造分類策略。在他們的分類策略中，回收產(chǎn)品經(jīng)檢測(cè)后一般被分為兩類處理：若其單位再制造成本低于最優(yōu)成本水平，則用于再制造生產(chǎn)；否則，直接廢棄。類似地，楊愛(ài)峰等[5]研究了回收質(zhì)量不確定情況下的一個(gè)兩階段決策問(wèn)題：第一階段決策最優(yōu)回收數(shù)量與再制造分類策略，第二階段決策再制造生產(chǎn)批量。王巍[6]將回收產(chǎn)品按重新利用的方式分為直接再利用、修理再利用和再生再制造三類，在一個(gè)兩級(jí)閉環(huán)供應(yīng)鏈中研究了回收產(chǎn)品的分級(jí)定價(jià)問(wèn)題。溫海駿等[7]將回收拆解的汽車零部件按其所需的再制造工藝技術(shù)劃分為直接再利用、修復(fù)后再利用、材料回收和直接廢棄四種類型，使用模糊數(shù)學(xué)規(guī)劃模型研究了擁有多種類型廢舊汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的兩階段回收—再制造生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題。Zhou等[8]研究了一個(gè)含有多種等級(jí)再制造毛坯的多周期隨機(jī)決策問(wèn)題，生產(chǎn)商可以使用原材料或再制造毛坯經(jīng)過(guò)正常生產(chǎn)或再制造生產(chǎn)兩種方式來(lái)滿足隨機(jī)的市場(chǎng)需求。他們給出了最優(yōu)的制造、再制造和毛坯廢棄策略。Tao等[9]在Zhou等[8]的研究基礎(chǔ)上分析了再制造產(chǎn)出率隨機(jī)的情形，他們假設(shè)市場(chǎng)需求可以通過(guò)向外部供應(yīng)商訂貨或內(nèi)部再制造生產(chǎn)兩種途徑來(lái)滿足，給出了生產(chǎn)商最優(yōu)訂貨/再制造策略的一些數(shù)學(xué)性質(zhì)。

第二個(gè)研究方向是再制造閉環(huán)/逆向供應(yīng)鏈的優(yōu)化決策問(wèn)題研究。吳鵬等[10]在需求和再制造數(shù)量均不確定的情況下研究了再制造部件與常規(guī)新部件之間分別為替代、互補(bǔ)關(guān)系時(shí)的最優(yōu)生產(chǎn)決策。李響等[11]研究了需求和再制造產(chǎn)出率均隨機(jī)的情況下的回收定價(jià)、再制造產(chǎn)量和銷售定價(jià)問(wèn)題，并考察了風(fēng)險(xiǎn)偏好對(duì)回收決策的影響。Zhou和Yu Yikun[12]研究了回收再制造系統(tǒng)中的一個(gè)多周期隨機(jī)決策問(wèn)題，其中生產(chǎn)商可以通過(guò)回收努力影響回收數(shù)量、通過(guò)銷售價(jià)格影響再制造品市場(chǎng)需求。他們給出了最優(yōu)的回收努力水平、產(chǎn)成品銷售定價(jià)和再制造毛坯/產(chǎn)成品的庫(kù)存控制策略。王文賓和達(dá)慶利[13]在含有兩個(gè)制造商的競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境下分析了政府的激勵(lì)/懲罰機(jī)制對(duì)不同情形下制造商回收再制造決策的影響效果。王文賓和鄧雯雯[14]在一個(gè)逆向供應(yīng)鏈中對(duì)比分析了政府獎(jiǎng)懲機(jī)制和稅收—補(bǔ)貼機(jī)制對(duì)回收再制造決策的影響。劉慧慧等[15]在一個(gè)雙渠道回收模型中研究了政府補(bǔ)貼對(duì)回收價(jià)格和翻修比例的影響。聶佳佳[16]研究了壟斷和競(jìng)爭(zhēng)兩種情形下再制造商需求信息預(yù)測(cè)對(duì)回收再制造決策的影響。此外，吳鵬[17]研究了回收數(shù)量不確定的情況下單回收商、單供應(yīng)商的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)問(wèn)題，設(shè)計(jì)了成本分擔(dān)和余額補(bǔ)償兩種協(xié)調(diào)契約。孫浩和達(dá)慶利[18]對(duì)比分析了四種不同供應(yīng)鏈權(quán)力結(jié)構(gòu)下的回收再制造最優(yōu)決策，討論了費(fèi)用共享契約和二部定價(jià)契約的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)效果。史成東等[19]在一個(gè)由第三方負(fù)責(zé)回收的閉環(huán)供應(yīng)鏈中研究了風(fēng)險(xiǎn)偏好、政府補(bǔ)貼、回收競(jìng)爭(zhēng)對(duì)供應(yīng)鏈各方?jīng)Q策的影響，分析了收益費(fèi)用共享契約的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)效果。

本文與前述文獻(xiàn)的主要區(qū)別在于：1)考慮回收質(zhì)量等級(jí)差異引起的單位回收、再制造成本差異。而已有的大多數(shù)文獻(xiàn)或者不考慮回收質(zhì)量等級(jí)差異[10-19]，或者只考慮單位回收成本差異[6]，或者只考慮單位再制造成本差異[4-5,8-9]；2)在需求和再制造產(chǎn)出率隨機(jī)環(huán)境下，研究回收數(shù)量、生產(chǎn)和再制造產(chǎn)品定價(jià)聯(lián)合優(yōu)化決策。而多數(shù)研究文獻(xiàn)或者不考慮回收再制造過(guò)程中的隨機(jī)性因素[6, 13-14, 18]，或者不考慮再制造產(chǎn)品需求的隨機(jī)性[3, 15-17]，或者不考慮再制造產(chǎn)出率的隨機(jī)性[4-5, 8, 12, 19]。

因此，本文在一個(gè)回收再制造系統(tǒng)中研究了存在多種回收質(zhì)量等級(jí)時(shí)的兩階段回收再制造聯(lián)合優(yōu)化決策問(wèn)題，并擴(kuò)展到需求與價(jià)格相關(guān)和再制造產(chǎn)出率隨機(jī)兩種情形。給出了有效回收質(zhì)量等級(jí)的識(shí)別方法，并構(gòu)造出回收再制造系統(tǒng)的有效生產(chǎn)前沿面，得出了不同決策情形下再制造商最優(yōu)回收數(shù)量、銷售定價(jià)的解析解，并且通過(guò)算例實(shí)驗(yàn)分析了一些主要的參數(shù)對(duì)最優(yōu)決策的影響。本文得到了一些與已有的研究文獻(xiàn)不同的研究結(jié)論：(1)在多種回收質(zhì)量等級(jí)的情形下基于每種質(zhì)量等級(jí)的單位回收和再制造成本參數(shù)構(gòu)造出了有效生產(chǎn)前沿面，不屬于該前沿面的任何回收質(zhì)量等級(jí)的廢舊產(chǎn)品將被棄用，完善了Galbreth等[4]和楊愛(ài)峰等[5]提出的僅基于單位再制造成本的再制造分類策略；(2)明確給出了再制造產(chǎn)出率確定和不確定兩種情形下再制造產(chǎn)品銷售價(jià)格與有效回收質(zhì)量等級(jí)的回收和再制造成本參數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，豐富了回收再制造定價(jià)決策的研究；(3)在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中對(duì)比分析了不同的補(bǔ)貼方式、不同的補(bǔ)貼對(duì)象對(duì)再制造商決策的效果，研究發(fā)現(xiàn)即使只對(duì)再制造成本低的回收質(zhì)量等級(jí)(質(zhì)量等級(jí)1)進(jìn)行補(bǔ)貼，隨著補(bǔ)貼額度的增加，再制造商的回收總數(shù)量最終也會(huì)逐漸增加，修正了Drake等[20]關(guān)于政府補(bǔ)貼的分析結(jié)論——根據(jù)他們的結(jié)論，若只對(duì)再制造成本較低的回收質(zhì)量等級(jí)1進(jìn)行補(bǔ)貼將不會(huì)對(duì)再制造商的回收總數(shù)量產(chǎn)生任何效果。此外，本文在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中還揭示了一些已有研究文獻(xiàn)尚未涉及的結(jié)論：(1)不同的回收質(zhì)量等級(jí)之間存在替代效應(yīng)或互補(bǔ)效應(yīng)，由其成本差異決定；(2)再制造產(chǎn)出率的不確定性和需求的不確定性之間存在對(duì)沖效應(yīng)，隨著再制造產(chǎn)出率不確定性的降低而減弱。

2 基本問(wèn)題描述和建模

2.1 問(wèn)題描述和數(shù)學(xué)表示

再制造商的決策過(guò)程被劃分為兩個(gè)階段。在第一階段，再制造品的市場(chǎng)需求是未知的，再制造商需要制定回收決策，即每種質(zhì)量等級(jí)的廢舊產(chǎn)品的回收數(shù)量Qi，并完成廢舊產(chǎn)品的回收工作。在第二階段，再制造商需要根據(jù)觀察到的市場(chǎng)需求d制定生產(chǎn)決策，即使用每種質(zhì)量等級(jí)的廢舊產(chǎn)品進(jìn)行再制造的數(shù)量qi(0 ≤qi≤Qi)，完成再制造產(chǎn)品生產(chǎn)，投放市場(chǎng)滿足需求。

再制造商的回收、生產(chǎn)聯(lián)合決策問(wèn)題的數(shù)學(xué)表示如下：

(1)

s.t. 0≤qi≤Qi,i=1, …,n

(2)

q1+q2+ … +qn≤d

(3)

目標(biāo)函數(shù)(1)中第一部分是再制造商在第一階段的廢舊產(chǎn)品回收成本；第二部分是再制造商在第二階段關(guān)于需求的期望利潤(rùn)，其中第一項(xiàng)是再制造商的銷售收入，第二項(xiàng)是再制造成本，第三項(xiàng)是缺貨成本。約束條件(2)表示每種質(zhì)量等級(jí)的廢舊產(chǎn)品再制造數(shù)量不超過(guò)其回收的數(shù)量。約束條件(3)表示再制造產(chǎn)品的生產(chǎn)總量不超過(guò)其市場(chǎng)需求。

2.2 最優(yōu)回收再制造決策

再制造商的回收、生產(chǎn)聯(lián)合決策問(wèn)題(1)是一個(gè)兩階段的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題，采用逆序求解法首先分析第二階段再制造商的最優(yōu)生產(chǎn)決策。在第二階段，當(dāng)再制造商的回收決策(Q1,Q2, …,Qn)已經(jīng)確定并且觀察到市場(chǎng)需求為d時(shí)，再制造商的生產(chǎn)決策問(wèn)題就變成了一個(gè)確定型的產(chǎn)能分配問(wèn)題。根據(jù)貪婪策略，再制造商會(huì)優(yōu)先選擇單位再制造成本最低的回收品進(jìn)行生產(chǎn)，當(dāng)該類回收品消耗完畢后，接著在剩下的回收品中繼續(xù)選擇單位再制造成本最低的進(jìn)行生產(chǎn)，依次類推，直到市場(chǎng)需求被滿足或者所有回收品被消耗完畢。因此，第二階段每種質(zhì)量等級(jí)i的廢舊產(chǎn)品進(jìn)行再制造的數(shù)量qi為：

(4)

定義1 若回收數(shù)量Qi> 0, 則稱質(zhì)量等級(jí)i為有效的質(zhì)量等級(jí)。給定任意兩個(gè)有效的質(zhì)量等級(jí)i和j，若對(duì)于所有滿足i

令集合S={s1,s2,…,sl}表示所有l(wèi)個(gè)從高到低排列的有效質(zhì)量等級(jí)集合，其中1≤l≤n。不屬于集合S的任何質(zhì)量等級(jí)的廢舊產(chǎn)品將不會(huì)被再制造商回收，最優(yōu)回收數(shù)量為0。定理1給出了有效質(zhì)量等級(jí)的廢舊產(chǎn)品回收數(shù)量的最優(yōu)性質(zhì)。

定理1對(duì)于任意兩個(gè)連續(xù)的有效質(zhì)量等級(jí)si和si+1(1≤i≤l-1)，最優(yōu)的回收數(shù)量滿足：

(5)

對(duì)于最末有效的質(zhì)量等級(jí)sl，最優(yōu)的回收數(shù)量滿足：

(6)

證明：將式(4)代入(1)，求關(guān)于Qsi(1≤i≤l)的一階導(dǎo)數(shù)，則有:

(7)

令式(7)等于0，重新整理可得:

(8)

在式(8)中分別令i=1, 2, …,l，聯(lián)立化簡(jiǎn)即可得到式(5)和式(6)。證畢。

由定理1可以看出，再制造商累積到某個(gè)有效質(zhì)量等級(jí)si的最優(yōu)回收總量的解析式類似于報(bào)童問(wèn)題的最優(yōu)解，并且由該有效質(zhì)量等級(jí)si及其后連續(xù)的有效質(zhì)量等級(jí)si+1(若存在)的單位回收和再制造成本參數(shù)決定。定理1說(shuō)明，再制造商的最優(yōu)回收決策是使得在再制造生產(chǎn)中選擇使用有效質(zhì)量等級(jí)si的廢舊產(chǎn)品時(shí)，與選擇使用其后連續(xù)的有效質(zhì)量等級(jí)si+1(若存在)的廢舊產(chǎn)品相比，節(jié)約的期望邊際再制造成本等于增加的邊際回收成本。

推論1有效質(zhì)量等級(jí)的最優(yōu)回收數(shù)量為：

(9)

(10)

(11)

證明：對(duì)式(5)和式(6)進(jìn)行重新整理即可得到式(9)～(11)。證畢。

推論2有效質(zhì)量等級(jí)的單位回收成本和再制造成本滿足如下條件：

rs1+cs1

(12)

且

(13)

證明：對(duì)于任意兩個(gè)連續(xù)的有效質(zhì)量等級(jí)si和si+1(1≤i≤l-1)，均有:

(14)

將式(5)和式(6)代入式(14)，重新整理即可得到式(12)和式(13)。證畢。

推論2說(shuō)明如果將有效質(zhì)量等級(jí)si(1≤i≤l)用其單位再制造成本和回收成本組成的點(diǎn)(csi,rsi)表示，依次連結(jié)起來(lái)，可以發(fā)現(xiàn)：(1)每條連線的斜率都大于-1且依次遞增；(2)每條連線的斜率都小于點(diǎn)(csl,rsl)與點(diǎn)(p+f,0)之間連線的斜率。推論2也給出了識(shí)別有效質(zhì)量等級(jí)的具體方法：對(duì)于任意兩個(gè)質(zhì)量等級(jí)i和j(1≤i

圖1 多種回收質(zhì)量等級(jí)下的有效生產(chǎn)前沿面

3 模型綜合擴(kuò)展

隨著回收再制造產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，一些品牌生產(chǎn)商也參與到其自身品牌廢舊產(chǎn)品的再制造活動(dòng)中，如大眾汽車的再制造發(fā)動(dòng)機(jī)項(xiàng)目。這類再制造商在市場(chǎng)上往往占據(jù)壟斷地位，此時(shí)再制造品的銷售價(jià)格就成為再制造商一個(gè)內(nèi)生的決策變量。此外，由于回收的再制造毛坯存在質(zhì)量差異，再制造工藝路線也存在一定的不確定性，因而再制造品的產(chǎn)出率往往具有一定程度的隨機(jī)性。針對(duì)企業(yè)回收再制造活動(dòng)中的上述兩個(gè)特點(diǎn)，本節(jié)討論了多種回收質(zhì)量等級(jí)的再制造商決策問(wèn)題的兩類模型擴(kuò)展：(1)考慮再制造品定價(jià)決策的模型擴(kuò)展；(2)考慮隨機(jī)產(chǎn)出率的模型擴(kuò)展。

3.1 模型擴(kuò)展1：價(jià)格相關(guān)的再制造品需求

當(dāng)再制造商具有市場(chǎng)主導(dǎo)權(quán)時(shí)，他往往會(huì)通過(guò)價(jià)格來(lái)調(diào)節(jié)再制造品的市場(chǎng)需求，以實(shí)現(xiàn)企業(yè)利潤(rùn)最大化?？紤]加法形式的再制造品市場(chǎng)需求-價(jià)格函數(shù)：D(p,u)=y(p)+u，其中，y(p)是關(guān)于p的減函數(shù)，u為隨機(jī)變量。將再制造品需求的價(jià)格敏感因子記為dD(p,u)/dp=dy(p)/dp=-b，則有b>0。再制造商在第一階段確定廢舊產(chǎn)品的回收決策，在第二階段確定再制造品的生產(chǎn)和定價(jià)決策，其回收、生產(chǎn)和定價(jià)聯(lián)合決策問(wèn)題的數(shù)學(xué)表示如下：

(15)

其中

重復(fù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃逆序求解過(guò)程可知，對(duì)于任意給定的再制造品價(jià)格p，再制造商的最優(yōu)回收決策仍可由定理1得出：

對(duì)于任意兩個(gè)連續(xù)的有效質(zhì)量等級(jí)si和si+1(1≤i≤l- 1)，最優(yōu)的回收數(shù)量滿足：

rsi-rsi+1=

(16)

對(duì)于最末有效的質(zhì)量等級(jí)sl，最優(yōu)的回收數(shù)量滿足：

rsl=(p+f-csl)

(17)

而再制造商的最優(yōu)定價(jià)決策則由如下定理給出。

定理2再制造商的最優(yōu)定價(jià)決策為：

(18)

證明：對(duì)式(15)求關(guān)于p的一階導(dǎo)數(shù)，則有:

(19)

令式(19)等于0，重新整理可得:

(20)

將式(16)和式(17)代入式(20)，重新整理即可得到式(18)。證畢。

值得注意的是，由于再制造品的銷售價(jià)格p變成了待求解的決策變量，此時(shí)無(wú)法直接使用式(13)進(jìn)行有效質(zhì)量等級(jí)的判定，需要通過(guò)以下迭代過(guò)程來(lái)識(shí)別有效的質(zhì)量等級(jí)：

步驟1：首先找出滿足式(12)的所有質(zhì)量等級(jí)的集合(初始集合)，將上述集合中各種質(zhì)量等級(jí)的成本參數(shù)代入式(18)得到再制造品的價(jià)格(初始價(jià)格)。

步驟2：利用上一步得到的價(jià)格在上一步得到的質(zhì)量等級(jí)集合中找出滿足式(13)的所有質(zhì)量等級(jí)，形成新的質(zhì)量等級(jí)集合；將新的質(zhì)量等級(jí)集合的相關(guān)成本參數(shù)代入式(18)，得到新的再制造品價(jià)格。

步驟3：重復(fù)步驟2，直到再制造品價(jià)格和質(zhì)量等級(jí)集合均不再變化為止。

3.2 模型擴(kuò)展2：隨機(jī)的再制造產(chǎn)出率

回收的廢舊產(chǎn)品因其質(zhì)量等級(jí)差異使得再制造工藝時(shí)間存在較大的不確定性，導(dǎo)致其在給定的生產(chǎn)周期內(nèi)的再制造產(chǎn)量也具有隨機(jī)性。因此，一般認(rèn)為再制造單位產(chǎn)出率是[0,1]區(qū)間上的一個(gè)連續(xù)分布的隨機(jī)變量，將其記為θ，其均值記為μθ，其累積分布函數(shù)記為G(·)，概率密度函數(shù)記為g(·)，并且與再制造品市場(chǎng)需求D相互獨(dú)立。

再制造商的回收、生產(chǎn)聯(lián)合決策問(wèn)題的數(shù)學(xué)表示如下：

(21)

其中

再制造商在第二階段的生產(chǎn)決策變成一個(gè)考慮隨機(jī)產(chǎn)出的產(chǎn)能分配問(wèn)題，需要根據(jù)使用每種質(zhì)量等級(jí)的廢舊產(chǎn)品進(jìn)行再制造時(shí)的實(shí)際產(chǎn)出率來(lái)安排生產(chǎn)計(jì)劃。此外，在再制造產(chǎn)出率隨機(jī)的情況下，生產(chǎn)單位再制造品時(shí)消耗的廢舊產(chǎn)品數(shù)量增加，實(shí)際所需的回收成本相應(yīng)地也在增加，從而影響再制造商在第一階段的回收決策。定理3給出了再制造產(chǎn)出率隨機(jī)時(shí)的最優(yōu)回收決策。

定理3再制造產(chǎn)出率隨機(jī)時(shí)，對(duì)于任意兩個(gè)連續(xù)的有效質(zhì)量等級(jí)si和si+1(1≤i≤l-1)，最優(yōu)的回收數(shù)量滿足：

rsi-rsi+1=

(22)

對(duì)于最末有效的質(zhì)量等級(jí)sl，最優(yōu)的回收數(shù)量滿足：

rsl=(p+f-csl)

(23)

證明：對(duì)式(21)求關(guān)于Qsi(1≤i≤l)的一階導(dǎo)數(shù)，則有:

(24)

令式(24)等于0，重新整理可得

(25)

在式(25)中分別令i= 1, 2, …,l，聯(lián)立化簡(jiǎn)即可得到式(22)和式(23)。證畢。

隨機(jī)的再制造產(chǎn)出率增加了單位再制造品所需的邊際回收成本，也導(dǎo)致有效質(zhì)量等級(jí)的識(shí)別條件產(chǎn)生了一定的變化。推論4給出了在再制造產(chǎn)出率隨機(jī)的情況下，有效質(zhì)量等級(jí)的回收和再制造成本參數(shù)需要滿足的條件。

推論4再制造產(chǎn)出率隨機(jī)時(shí)有效質(zhì)量等級(jí)的單位回收成本和再制造成本滿足如下條件：

cs1+rs1/μθ

(26)

且

(27)

證明：對(duì)于任意兩個(gè)連續(xù)的有效質(zhì)量等級(jí)si和si+1(1≤i≤l-1)，均有

(28)

將式(22)和式(23)代入式(28)，重新整理即可得到式(26)和式(27)。證畢。

類似地，對(duì)于任意兩個(gè)質(zhì)量等級(jí)i和j(1≤i

在再制造產(chǎn)出率隨機(jī)的情況下，若同時(shí)考慮再制造商的定價(jià)策略，則有如下結(jié)論。

定理4再制造產(chǎn)出率隨機(jī)時(shí)的最優(yōu)定價(jià)策略為：

(29)

證明：在式(21)中令D=D(p,u)=y(p)+u，求關(guān)于p的一階導(dǎo)數(shù)，則有：

(30)

令式(30)等于0，重新整理可得：

(31)

將式(22)和式(23)代入式(31)，重新整理即可得到式(29)。證畢。

4 數(shù)值試驗(yàn)

本節(jié)在一個(gè)含有兩種有效回收質(zhì)量等級(jí)的算例中首先分析政府提供回收/再制造補(bǔ)貼、再制造品市場(chǎng)需求的不確定性等因素對(duì)再制造商最優(yōu)回收決策的影響。數(shù)值實(shí)驗(yàn)參數(shù)的基礎(chǔ)取值如下：再制造品市場(chǎng)需求D～N(200,602)，不同質(zhì)量等級(jí)廢舊產(chǎn)品的單位回收、再制成本r1=15，r2=10，c1=12，c2=20，再制造品的單位售價(jià)p=50，單位缺貨成本f=0。本節(jié)接著考察了再制造品需求-價(jià)格敏感因子、再制造產(chǎn)出率的不確定性等參數(shù)對(duì)再制造商回收、生產(chǎn)和定價(jià)決策的影響。在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中使用如下形式的需求函數(shù)：D(p,u)=a-bp+u，需求參數(shù)和再制造產(chǎn)出率的基礎(chǔ)取值為：a=200，b=2.5，u～N(30, 102)，θ～U(0.6, 1)。

4.1 政府回收/再制造補(bǔ)貼的影響

對(duì)于從事廢舊產(chǎn)品回收再制造的企業(yè)，政府一般會(huì)提供兩類補(bǔ)貼：回收補(bǔ)貼和再制造補(bǔ)貼?；厥昭a(bǔ)貼是政府對(duì)廢舊產(chǎn)品的回收提供的單位經(jīng)濟(jì)補(bǔ)貼，如我國(guó)提供的廢舊電子電器產(chǎn)品回收補(bǔ)貼，而再制造補(bǔ)貼是政府對(duì)再制造品的生產(chǎn)提供的單位經(jīng)濟(jì)補(bǔ)貼。本節(jié)討論三種政府回收/再制造補(bǔ)貼方式：(1)對(duì)所有質(zhì)量等級(jí)的廢舊產(chǎn)品回收/再制造進(jìn)行補(bǔ)貼；(2)只補(bǔ)貼較高質(zhì)量等級(jí)的廢舊產(chǎn)品回收/再制造；(3)只補(bǔ)貼較低質(zhì)量等級(jí)的廢舊產(chǎn)品回收/再制造。用Δr和Δc分別表示單位回收補(bǔ)貼和單位再制造補(bǔ)貼，在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中令其取不同的值：Δr, Δc∈{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，觀察再制造商在三種回收/再制造補(bǔ)貼方式下最優(yōu)決策的變化情況，得出如下結(jié)論：

圖2 全補(bǔ)貼方式下再制造商的回收決策

(1)與政府不提供任何補(bǔ)貼的情況(單位補(bǔ)貼額度為0)相比，全補(bǔ)貼方式能夠增加再制造商的回收總數(shù)量，但是只能增加質(zhì)量等級(jí)2(最末有效質(zhì)量等級(jí))的廢舊產(chǎn)品回收數(shù)量，質(zhì)量等級(jí)1的廢舊產(chǎn)品回收數(shù)量不變。此外，在同等補(bǔ)貼額度下，回收補(bǔ)貼方式對(duì)再制造商決策的影響程度大于再制造補(bǔ)貼方式。

圖3 僅補(bǔ)貼質(zhì)量等級(jí)1的廢舊產(chǎn)品回收/再制造時(shí)再制造商的回收決策

(2)只對(duì)質(zhì)量等級(jí)1的廢舊產(chǎn)品回收/再制造進(jìn)行補(bǔ)貼時(shí)，隨著補(bǔ)貼額度的增加，質(zhì)量等級(jí)1的廢舊產(chǎn)品回收數(shù)量增加，質(zhì)量等級(jí)2的回收數(shù)量逐漸減少，直至為0。此外，當(dāng)補(bǔ)貼額度較低時(shí)，再制造商的回收總數(shù)量保持不變。

圖4 僅補(bǔ)貼質(zhì)量等級(jí)2的廢舊產(chǎn)品回收/再制造時(shí)再制造商的回收決策

(3)只對(duì)質(zhì)量等級(jí)2的廢舊產(chǎn)品回收/再制造進(jìn)行補(bǔ)貼時(shí)，隨著補(bǔ)貼額度的增加，再制造商的回收總數(shù)量增加，質(zhì)量等級(jí)2的廢舊產(chǎn)品回收數(shù)量增加，質(zhì)量等級(jí)1的回收數(shù)量逐漸減少為0。

4.2 再制造品需求不確定性的影響

本節(jié)使用變異系數(shù)(coefficient of variance)來(lái)衡量再制造品市場(chǎng)需求D的不確定性，將其記為cv，cv=σD/μD，其中μD為均值，σD為標(biāo)準(zhǔn)差。類似報(bào)童問(wèn)題，本節(jié)使用PRi=1-ri/(p+f-ci)，i=1, 2來(lái)表示每種回收質(zhì)量等級(jí)的再制造利潤(rùn)水平，使用DR=1-(r1-r2)/(c2-c1)來(lái)表示兩種回收質(zhì)量等級(jí)之間的成本差異水平，其中，PRi> 0.5表示利潤(rùn)水平較高，PRi< 0.5表示利潤(rùn)水平較低；DR> 0.5表示成本差異較高，DR< 0.5表示成本差異較低。

在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，固定需求的均值為μD=200，改變其標(biāo)準(zhǔn)差σD的取值，使變異系數(shù)cv取不同的值：cv∈{0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0}。此外，固定其它成本參數(shù)不變，通過(guò)改變?cè)僦圃炱穬r(jià)格p的取值考慮兩種再制造利潤(rùn)水平：p= 38(低利潤(rùn)水平)，p= 50(高利潤(rùn)水平)；通過(guò)改變質(zhì)量等級(jí)2的廢舊產(chǎn)品回收成本r2的取值考慮兩種成本差異水平：r2= 10(低成本差異)，r2= 11.5(高成本差異)。圖5和圖6分別給出了不同再制造利潤(rùn)水平和不同成本差異水平下再制造商的最優(yōu)回收決策。

圖5 再制造利潤(rùn)水平較高時(shí)不同需求波動(dòng)水平下再制造商的回收決策

圖6 再制造利潤(rùn)水平較低時(shí)不同需求波動(dòng)水平下再制造商的回收決策

當(dāng)廢舊產(chǎn)品的回收再制造利潤(rùn)水平較高(即p=50)時(shí)，再制造品市場(chǎng)需求不確定性的增加會(huì)導(dǎo)致再制造商加大廢舊產(chǎn)品的回收總數(shù)量。在再制造生產(chǎn)中作為備用和補(bǔ)充的質(zhì)量等級(jí)2(最末有效質(zhì)量等級(jí))的廢舊產(chǎn)品，其回收數(shù)量也隨之增加。而對(duì)于質(zhì)量等級(jí)1的廢舊產(chǎn)品，若其與質(zhì)量等級(jí)2的廢舊產(chǎn)品存在較大成本差異，則回收數(shù)量隨之增加，即兩種質(zhì)量等級(jí)之間存在互補(bǔ)效應(yīng)；若成本差異較小，回收數(shù)量則會(huì)隨之減少，即兩種質(zhì)量等級(jí)之間存在替代效應(yīng)。

當(dāng)廢舊產(chǎn)品的回收再制造利潤(rùn)水平較低(即p=38)時(shí)，再制造品市場(chǎng)需求不確定性的增加會(huì)導(dǎo)致再制造商減少?gòu)U舊產(chǎn)品的回收總數(shù)量。此時(shí)若兩種質(zhì)量等級(jí)的回收產(chǎn)品的成本差異較小，質(zhì)量等級(jí)1的廢舊產(chǎn)品回收數(shù)量減少，質(zhì)量等級(jí)2的廢舊產(chǎn)品回收數(shù)量增加；若成本差異較大，只使用質(zhì)量等級(jí)1的廢舊產(chǎn)品進(jìn)行再制造，且其回收數(shù)量減少。

4.3 再制造品需求-價(jià)格敏感因子的影響

在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，固定其它成本參數(shù)不變，改變?cè)僦圃炱沸枨?價(jià)格敏感因子b的取值：b∈{0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5, 4.0, 4.5, 5.0}。此外，固定u的均值為μu=30，改變標(biāo)準(zhǔn)差σu的取值，考慮三種需求不確定性水平：σu=10(低)，σu=20(中)，σu=30(高)。圖7和表1分別給出了不同需求不確定水平下再制造商的回收決策和定價(jià)決策。

可以直觀地看出，隨著需求-價(jià)格敏感因子的增大，再制造商的最優(yōu)定價(jià)和回收數(shù)量均逐漸下降。

圖7 不同的需求-價(jià)格敏感水平下再制造商的回收決策

表1 不同的需求-價(jià)格敏感水平下再制造商的定價(jià)決策

而對(duì)于需求-價(jià)格敏感因子的某一確定取值，隨著需求不確定性的增加，再制造商的最優(yōu)定價(jià)逐漸下降，回收數(shù)量則呈現(xiàn)出不同的變化趨勢(shì)：當(dāng)需求-價(jià)格敏感因子較小(如b=0.5)時(shí)，再制造品的最優(yōu)銷售價(jià)格較高，再制造利潤(rùn)水平較高，因此再制造商會(huì)增加廢舊產(chǎn)品回收數(shù)量；當(dāng)需求-價(jià)格敏感因子較大(如b=5.0)時(shí)，再制造品的最優(yōu)銷售價(jià)格較低，再制造利潤(rùn)水平較低，此時(shí)再制造商反而會(huì)減少?gòu)U舊產(chǎn)品回收數(shù)量。

4.4 再制造產(chǎn)出率不確定性的影響

在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，固定再制造產(chǎn)出率θ～U(A,B)的均值為μθ=0.8，改變其分布上下限的取值，得到不同的分布范圍：(A,B)∈{(0.6, 1.0), (0.62, 0.98), (0.64, 0.96), (0.66, 0.94), (0.68, 0.92), (0.7, 0.9), (0.72, 0.88), (0.74, 0.86), (0.76, 0.84), (0.78, 0.82), (0.8, 0.8)}。圖8給出了不考慮定價(jià)決策時(shí)不同的產(chǎn)出率波動(dòng)水平下再制造商的最優(yōu)回收決策?？梢钥闯觯?dāng)再制造產(chǎn)出率的不確定性降低時(shí)，再制造商的回收總數(shù)量反而略微增加。這說(shuō)明再制造產(chǎn)出率的不確定性和再制造品的需求不確定性之間存在一種“對(duì)沖”效應(yīng)：當(dāng)再制造產(chǎn)出率的不確定性降低(即分布范圍變窄)時(shí)，這種“對(duì)沖”效應(yīng)也會(huì)減弱，從而導(dǎo)致再制造商的回收總數(shù)量增加。需要指出的是，當(dāng)再制造品市場(chǎng)需求與價(jià)格相關(guān)時(shí)，也能夠觀察到這種“對(duì)沖”效應(yīng)。

圖8 不同產(chǎn)出率波動(dòng)水平下再制造商的回收決策

5 結(jié)語(yǔ)

本文在一個(gè)回收再制造系統(tǒng)中研究了存在多種回收質(zhì)量等級(jí)時(shí)的兩階段回收—再制造聯(lián)合優(yōu)化決策問(wèn)題，進(jìn)而擴(kuò)展到需求與價(jià)格相關(guān)和再制造產(chǎn)出率隨機(jī)兩種情形。在最大化再制造商期望利潤(rùn)的決策目標(biāo)下，通過(guò)識(shí)別有效的回收質(zhì)量等級(jí)構(gòu)造出系統(tǒng)的有效生產(chǎn)前沿面，在此基礎(chǔ)上分別給出了不同決策情形下再制造商最優(yōu)回收數(shù)量、銷售定價(jià)的解析解，并且分析了一些主要的參數(shù)對(duì)最優(yōu)決策的影響。本文的研究結(jié)果揭示了企業(yè)回收再制造活動(dòng)中的幾個(gè)特點(diǎn):(1)含有多種回收質(zhì)量等級(jí)的回收再制造系統(tǒng)中存在一個(gè)下凸的有效生產(chǎn)前沿面，不在該前沿面上的任何質(zhì)量等級(jí)的回收產(chǎn)品將不會(huì)被用于再制造；(2)若政府提供補(bǔ)貼，則在同等補(bǔ)貼額度下，回收補(bǔ)貼方式對(duì)再制造商決策的影響程度大于再制造補(bǔ)貼方式；(3)當(dāng)再制造品市場(chǎng)需求與價(jià)格相關(guān)時(shí)，最優(yōu)銷售價(jià)格至少大于第一種被使用的回收質(zhì)量等級(jí)的邊際回收和再制造成本；(4)任意兩種回收質(zhì)量等級(jí)之間存在著替代或互補(bǔ)效應(yīng)，由其成本差異決定，并且這種效應(yīng)隨需求不確定性的增大而增大；(5)再制造產(chǎn)出率的不確定性和再制造品的需求不確定性之間存在“對(duì)沖”效應(yīng)，這種效應(yīng)隨著再制造產(chǎn)出率不確定性的降低而減弱。這些結(jié)論對(duì)企業(yè)回收再制造系統(tǒng)決策問(wèn)題的研究提供了新的視角和有益補(bǔ)充。

本論文可擴(kuò)展的研究方向有：考慮乘法形式的再制造產(chǎn)品需求函數(shù)；考慮回收質(zhì)量等級(jí)連續(xù)隨機(jī)分布的情況；考慮回收數(shù)量與回收價(jià)格相關(guān)的情況；考慮每種質(zhì)量等級(jí)各自不同的隨機(jī)再制造產(chǎn)出率等。此外，已有研究者注意到再制造產(chǎn)品銷售對(duì)新產(chǎn)品銷售帶來(lái)的雙重效應(yīng)：市場(chǎng)擠兌與市場(chǎng)增長(zhǎng)效應(yīng)[21]，因此進(jìn)一步研究再制造產(chǎn)品與新產(chǎn)品同時(shí)在市場(chǎng)上銷售時(shí)的差異化定價(jià)策略具有十分重要的實(shí)際意義和應(yīng)用價(jià)值。而在實(shí)際運(yùn)作中，廢舊產(chǎn)品的回收往往委托第三方回收商完成的，再制造產(chǎn)品的生產(chǎn)和銷售也可能各有分工，再制造供應(yīng)鏈上的協(xié)調(diào)優(yōu)化問(wèn)題也將不斷涌現(xiàn)，成為下一步的研究重點(diǎn)。