◎雷自學

數(shù)列知識是高中數(shù)學的必修內(nèi)容，在高中數(shù)學中具有相當重要的地位。等差、等比數(shù)列知識及其應用是每年高考及各地模擬題中常出現(xiàn)的題型，尤其遞推數(shù)列問題，更是學生數(shù)列基礎(chǔ)知識掌握的程度與靈活應變能力的體現(xiàn)。怎樣靈活快速準確的求遞推數(shù)列的通項公式，筆者在此贅述幾點，以饗讀者。

一、疊加法

對于形如an+1＝an+f（n）的遞推式，當f（n）為常數(shù)時，為一般等差數(shù)列，當 f（n）不為常數(shù)時，可先變形成 an+1-an＝f（n）的形式，然后逐項疊加，即可求得通項公式an．

例1．（2010年新課標全國卷·17題·12分）在數(shù)列｛an｝中，a1＝2，an+1＝an+3·22n-1，求通項an．

解：∵an+1＝an+3·22n-1∴an+1-an＝3·22n-1

∴an-an-1＝3·22n-3，an-1-an-2＝3·22n-5，an-2-an-3＝3·22n-7，

…，a3-a2＝3·23，a2-a1＝3·21．

把上面（n-1）個式子等號兩邊分別相加得：

二、疊乘法

對于形如 an+1＝an·f（n）的遞推式，當 f（n）為非零常數(shù)時，為等比數(shù)列，當f（n）不為常數(shù)時，可先變形成的形式，然后再逐項相乘，即可求得通項公式an．

例2．已知數(shù)列｛an｝中，a1＝1，an+1＝an·2n，求an．

上面（n-1）個式子等號兩邊分別相乘得：

三、構(gòu)造法

在數(shù)列 ｛an｝中，對于形如 an＝k·an-1+b（k、b為常數(shù)，k≠0）的遞推式，當b≠0，k＝1時為一般等差數(shù)列；當b＝0時為一般等比數(shù)列；當k≠1且b≠0時，可將其變形成，于是可構(gòu)造一等比數(shù)列．這是以為首項，公比為k的等比數(shù)列，則an可求。

例3．已知數(shù)列｛an｝中，a1＝1，an+1＝2an+3，求an．

則數(shù)列｛an+3｝是以a1+3＝4為首項，公比為2的等比數(shù)列

∴an+3＝4·2n-1＝2n+1∴an＝2n+1-3．

四、數(shù)學歸納法

對于有些數(shù)列，可從已給出的首項入手，利用遞推關(guān)系式，從特殊到一般，猜想確定通項公式，然后再用數(shù)學歸納法加以證明即可。這種解答數(shù)列問題的方法，也是歷年高考命題的熱點所在。

例4．在數(shù)列｛an｝中，，求 a2、a3、a4和 an．

（1）當 n＝1，2，3，4時，顯然成立。

即當n＝k+1時，結(jié)論也成立。

綜上，由（1）、（2）得，對一切n∈N*，都成立。

故，原數(shù)列｛an｝的通項公式就是

五、待定系數(shù)法

對于形如an+1＝Aan+B·Cn（A、B、C為常數(shù)）的遞推式，可先引入待定系數(shù)λ，將遞推式化為an+1+λ·Cn+1＝A（an+λ·Cn）的形式，然后再把它與原遞推式進行比較，即可確定系數(shù)．這樣得一數(shù)列｛an+λ·Cn｝就是以a1+λC為首項，公比為A的等比數(shù)列，則原數(shù)列｛an｝的通項公式可定。

例5．在數(shù)列｛an｝中，a1＝2，an+1＝4an+2·3n，求an．

解：設(shè)原遞推式可化為an+1+λ·3n+1＝4（an+λ·3n）

即：an+1＝4an+λ·3n．與原遞推式比較可得λ＝2

則數(shù)列｛an+2·3n｝是以a1+2×31＝8為首項，公比為4的等比數(shù)列。

∴an+2·3n＝8·4n-1＝2·4n

∴an＝2·4n-2·3n＝2·（4n-3n）．

六、換元法

在數(shù)列｛an｝中，對于形如（A、B為常數(shù)）的遞推式，可先變形成，然后設(shè)，換元得，bn+1＝B·bn+A．這個形式和前面方法3中的遞推式形式相同，因此可用構(gòu)造法或待定系數(shù)法求出其通項bn，最后再換元即可得數(shù)列｛an｝的通項公式an．

例6．在數(shù)列｛an｝中，a1＝1，，求 an．

則數(shù)列｛bn+3｝是以為首項，公比為2的等比數(shù)列。

∴bn+3＝4·2n-1＝2n+1∴bn＝2n+1-3，再換元得：an＝．以上所述的各種方法是求遞推數(shù)列通項公式的最常用方法，所列各種形式的遞推式也是最常見的形式，其他好多形式的遞推式通過變形大都可以變成上述各種形式中的某一種。當然還有一些不常見形式的遞推式，對這些問題的解決筆者在此就不贅述了，留待有興趣的同仁們作更進一步的探究挖掘，以便大家相互學習，共同提高。