馮俊飛

一、教學(xué)背景

《橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》選于《數(shù)學(xué)》拓展模塊（人民教育出版社）第二章第一節(jié)，橢圓是圓錐曲線的一種，它是繼學(xué)習(xí)了直線和圓的方程后，進(jìn)一步利用坐標(biāo)法研究和解決曲線問題。本節(jié)課的學(xué)習(xí)方法對本章具有向?qū)Ш鸵I(lǐng)的作用，為后續(xù)學(xué)習(xí)雙曲線、拋物線提供了基本模式和理論基礎(chǔ)，它起到了一個承上啟下的重要作用，是本章也是整個解析幾何部分的重要基礎(chǔ)知識。

針對橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程這堂課，由于方程的一系列的推導(dǎo)和論證顯得枯燥無味，對于學(xué)生來說不僅理解困難且容易遺忘，在傳統(tǒng)教學(xué)中帶有圖形的教學(xué)也往往都被固定在黑板和紙上，都是靜態(tài)的，不僅費時費力，又不能動態(tài)地呈現(xiàn)橢圓的整個形成過程，再加上中職學(xué)生自身的邏輯思維能力和想象能力不強，學(xué)生很難從本質(zhì)上真正理解橢圓。而隨著多媒體的出現(xiàn)，傳統(tǒng)教學(xué)的這些不足，得到了很大程度上的彌補，多媒體能夠?qū)⑽谋尽D像、動畫、聲音等有機結(jié)合起來，為課堂教學(xué)創(chuàng)設(shè)適當(dāng)情境，能夠激發(fā)學(xué)生的興趣，從而增強課堂教學(xué)效果。在本課教學(xué)中，結(jié)合PPT、Camtasia、Geogebra畫板及flash等工具制作了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的微課和課件，利用課件直觀、形象地向?qū)W生展示知識的形成過程，更好地完成教學(xué)目標(biāo)。除了多媒體技術(shù)，在課中也加入了學(xué)生動手實驗的活動，讓學(xué)生親自體驗橢圓的形成過程，然后再通過Geogebra畫板驗證結(jié)論的正確性。一方面可以幫助學(xué)生自主探究知識，另一方面又能很好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及積極性。

結(jié)合以上分析，為了使學(xué)生更主動地參加到課堂教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)習(xí)思維能力，本節(jié)課采用自主探究法，即“創(chuàng)設(shè)情境—動手實驗—提出問題—引導(dǎo)探究—歸納抽象—總結(jié)規(guī)律”，同時借助多媒體輔助教學(xué)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，達(dá)到較好的教學(xué)效果。

二、教學(xué)設(shè)計及實施

1.教學(xué)目標(biāo)

理解并掌握橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程；會根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程寫出橢圓焦點坐標(biāo)；能根據(jù)條件確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想、類比、分類討論思想，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的理性和嚴(yán)謹(jǐn)。

2.教學(xué)重難點

重點：橢圓的定義及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式。

難點：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)與化簡；坐標(biāo)法的應(yīng)用。

3.教學(xué)過程

課前預(yù)習(xí)：課前給學(xué)生提供橢圓的定義的微課視頻，初步了解橢圓的形成過程和橢圓的定義。

（1）創(chuàng)設(shè)情境，概念引入。

師：首先，請同學(xué)們回想一下，你見過橢圓嗎？生活中有哪些常見橢圓？

（2）動手實驗，形成概念。

讓學(xué)生拿出課前準(zhǔn)備好的細(xì)繩、白紙和鉛筆，指導(dǎo)同桌之間相互合作，借助微課、Geogebra畫板提示畫法體驗畫橢圓的過程，并以此了解橢圓所具有的特征。并思考以下幾個問題：

問題1：畫圖過程中，哪些是固定不動的？哪些運動變化的？

問題2：畫圖過程中，繩子長度有沒有發(fā)生變化？

問題3：假設(shè)繩子長度為2a，那么P點滿足怎么的條件呢？

問題4：那么是否P點滿足以上的條件就能畫出橢圓呢？

借助Geogebra畫板演示（分三種情況說明動點軌跡）

橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)2a（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓。其中兩個定點叫做焦點，兩焦點的距離叫做焦距，記為2c。

數(shù)學(xué)符號表示：|PF1+PF2|=2a（2a>2c）

（3）橢圓方程的建立

師：請同學(xué)們先回顧一下，求曲線方程的一般步驟有哪些？

生：①建系 ②設(shè)點 ③列式 ④代換 ⑤化簡

依據(jù)求曲線的一般步驟引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)橢圓的方程（過程略）。

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（a>b>0）（焦點在x軸上）

師：如果將焦點放在y軸上，橢圓的方程又該如何？

引導(dǎo)：①可以讓學(xué)生猜想焦點在y軸上的方程會如何？

②類比焦點在x軸上的橢圓方程，如何去推導(dǎo)？

③觀察可以發(fā)現(xiàn)，兩者只要交換坐標(biāo)軸就可以了。

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（a>b>0）（焦點在y軸上）

（4）橢圓方程的特點（對比）

問題1：觀察兩個標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征，有哪些共同點？

問題2：確定橢圓的方程需要幾個參數(shù)？它們之間滿足什么關(guān)系？

問題3：給定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，如何判斷焦點位置？

（5）例題解析。

例：求適合條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：兩焦點的坐標(biāo)分別是（-4，0）、（4，0），橢圓上一點P到兩焦點距離之和等于10。

分析：確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程關(guān)鍵是確定方程的形式及a、b的參數(shù)，因此可以采用待定系數(shù)法，先根據(jù)已知條件設(shè)出方程的形式。

三、課列分析

本節(jié)課主要采用自主探究的方式進(jìn)行教學(xué)，并利用多媒體技術(shù)（如微課、Geogebra畫板、PPT、Flash等）加以輔助，讓學(xué)生真正參與到學(xué)習(xí)中去，去享受知識生成的樂趣。通過這次課，發(fā)現(xiàn)自主探究的教學(xué)方式和多媒體的運用，對高效教學(xué)有很多促進(jìn)作用，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

1.實踐活動在自主探究中的作用

相比于其他學(xué)科，數(shù)學(xué)的知識過于公式化、概念化、抽象化，因此給學(xué)生的第一感覺是枯燥乏味，很難激起學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。而實踐活動恰恰是學(xué)生所喜歡的一種學(xué)習(xí)形式，根據(jù)這節(jié)課的特點，創(chuàng)設(shè)一個畫橢圓的實踐活動，讓學(xué)生在一個活躍、歡快的氛圍中主動地去感知、探索橢圓的形成過程；活動中設(shè)置了同桌協(xié)作完成整個活動過程，這也是學(xué)生自主學(xué)習(xí)主要形式，不僅了培養(yǎng)學(xué)生的合作能力，也能夠通過相互的交流，更好的理解實驗的意義。

2.多媒體技術(shù)對自主探究的輔助作用

教師常常有這樣的體會，傳統(tǒng)教學(xué)當(dāng)中畫圖的過程比較繁瑣，需要在黑板上完成，不僅耗時，準(zhǔn)確度也不高，同時也不能動態(tài)地反應(yīng)圖像的形成過程，往往為了完成學(xué)期的教學(xué)進(jìn)度，不得不進(jìn)行灌輸式的教學(xué)。多媒體的運用正好解決了這一矛盾，借助多媒體不僅能形象直觀展示知識的形成過程，同時也節(jié)省許多時間，使得課堂容量也得到一定增加，緩解了因為進(jìn)度產(chǎn)生的矛盾，也為增加學(xué)生動手實驗活動環(huán)節(jié)提供了足夠時間。

首先，微課在課堂教學(xué)中的重要作用。之所以制作橢圓的定義這節(jié)微課，主要有以下幾個原因。

（1）激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，相比傳統(tǒng)教學(xué)，微課的形式更加生動有趣，更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效果。

（2）推動分層教學(xué)，學(xué)生可以根據(jù)自身的基礎(chǔ)和理解能力，控制播放速度，反復(fù)觀看和學(xué)習(xí)，達(dá)到掌握知識的目的。

（3）方便同步教學(xué)，在橢圓的教學(xué)中，有些內(nèi)容在課堂中無法很好地呈現(xiàn)，而通過微課則可以更直觀、動態(tài)的解決這些問題。

從技術(shù)層面上，應(yīng)用了不同的軟件實現(xiàn)了最優(yōu)化的輔助效果，在吸引學(xué)生興趣的同時，能夠很好地理解視頻所表達(dá)的知識，理解并掌握它。當(dāng)然，通過這次微課的應(yīng)用也給予我一些反思，對微課的再認(rèn)識。微課的目的到底是什么，往往目前的現(xiàn)狀大部分院校的微課都是為了比賽而制作的，而真正的應(yīng)用卻很少；微課成為將來的一個趨勢，但是不是任何知識都適合做成微課呢？這都值得我們思考。不論是怎樣的技術(shù)或者方法，目的都是向?qū)W生傳授知識，不論是否制作微課、微課是否華麗，只要能夠在有效的時間內(nèi)使學(xué)生掌握知識，我覺得就是成功的。其實我們更多的是應(yīng)該關(guān)注教學(xué)的有效性，這一點我覺得可汗學(xué)院的微課是一個很好的例子，微課只是其教學(xué)的一部分，只是輔助教學(xué)。因此微課并不是你的微課的軟件多，技術(shù)新就是好的，是否適合學(xué)生的學(xué)習(xí)才是我們重點考慮的內(nèi)容。

其次，多媒體課件在教學(xué)中的作用。

第一，在課件中，通過圖片、天體運動的flash動畫等展示，感受生活中橢圓，體會研究橢圓的必要性。

第二，Geogebra畫板的應(yīng)用，借助GeoGebra畫板強大的作圖和動態(tài)演示功能再現(xiàn)了橢圓的形成過程，一可以驗證學(xué)生在實踐環(huán)節(jié)的正確性，二可以更形象直觀地反映的橢圓的形成過程，讓學(xué)生體會橢圓上的點的運動規(guī)律，在教師的引導(dǎo)下，自主探究其形成的條件。

第三，在方程的推導(dǎo)過程中，建系是其中的一個難點，借助課件的動態(tài)變化，展示不同位置的建系方式，讓學(xué)生討論并感受它們的區(qū)別，自主尋找使方程最簡單的建系方法，解決一個學(xué)生理解上的難點。

當(dāng)然，多媒體課件只是輔助，它應(yīng)該服務(wù)于課堂，而不是課堂的主體，切記為了課件的華麗忽視教學(xué)的本質(zhì)。

3.問題對引導(dǎo)自主探究的作用

新課標(biāo)中強調(diào)學(xué)生的主體參與、探究學(xué)習(xí)，通過問題的提出，能夠引導(dǎo)學(xué)生參與問題的思考。問題是課堂的指示燈，它指引學(xué)生思考的方向，同時培養(yǎng)學(xué)生的探究意識、分析問題和解決問題的能力，我想這種能力比學(xué)會某個數(shù)學(xué)知識點更為重要。

本節(jié)課在不同環(huán)節(jié)設(shè)置不同層次的問題，逐步引導(dǎo)學(xué)生探究知識的形成。在橢圓的形成過程中，結(jié)合實驗環(huán)節(jié)，設(shè)置4個問題，逐步探究橢圓的形成過程和滿足的條件，這樣給學(xué)生一個探究和思考的方向，也更易于理解橢圓的本質(zhì)。為了更好地記憶和理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，通過3個問題的引導(dǎo)學(xué)生觀察方程的不同特點。

當(dāng)然，限于中職學(xué)生的實際知識水平和能力，完全靠學(xué)生自身探究知識的本質(zhì)比較困難。因此在問題的設(shè)置和教師的引導(dǎo)上應(yīng)更加明確、更加有針對性；針對中職學(xué)生的要求，在方程推導(dǎo)過程中的化簡，因為學(xué)生運算能力及時間的限制，探究僅限于方法與結(jié)論，對運算過程就不做過多要求。

通過以上分析，可以看出自主探究式教學(xué)可以讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程，而不僅僅是讓學(xué)生機械地接受、記憶、模仿和練習(xí)。雖然學(xué)生對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的記憶和運用不十分熟練，但對其形成的過程和分析問題、解決問題的能力方面得到一定的鍛煉，我想這才是數(shù)學(xué)課應(yīng)該給予學(xué)生的能力，重視學(xué)習(xí)過程比重視學(xué)習(xí)結(jié)果更重要。

（作者單位：浙江省機電技師學(xué)院）