羅興政

[摘 要] 數(shù)學解題后的思考與反饋有助于學生對所學內(nèi)容的自發(fā)領(lǐng)悟以及對問題深層結(jié)構(gòu)的探觸，同時還有利于教師對問題本質(zhì)的分析并依此對問題進行一系列的變化與改變以促進學生思維能力的發(fā)展.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學；解題反思；反饋

習題教學的終點不是完成問題的解答，而是數(shù)學知識與方法的內(nèi)化，解題后的思考與反饋是促進學生內(nèi)化知識、解題技巧與思想方法的重要一環(huán)，高中數(shù)學教師在解題教學中應(yīng)培養(yǎng)學生及時思考與反饋的習慣，這有助于學生進一步揭示解題后思考與反饋的意義和價值. 本文是筆者結(jié)合一個具體的教學案例，就如何在學生完成例題的求解后，引導學生反思，完成思考與反饋環(huán)節(jié)談一點自己體會，望能有助于高中數(shù)學習題課教學實踐.

例題呈現(xiàn)及常規(guī)解法

分析：上述“通法”是絕大多數(shù)學生在解決此類問題時最容易聯(lián)系到的方法，解題成功率相當高，如果我們的教學僅僅滿足于此，學生僅僅是獲得了問題的答案，沒有太大的能力提升，筆者認為這道題在學生完成解答后，還可以進一步引導學生解題后反思，進一步挖掘其教學價值.

二次反思，發(fā)現(xiàn)新思路

為了促進學生能夠有效反思且有所發(fā)現(xiàn)筆者認為我們要做適當?shù)闹敢饕梢詮娜缦聝蓚€方面著手.

1. 反思解法的正確性

學生在解題過程中有很多錯誤或者新的方法是可以通過反思來自己發(fā)現(xiàn)的，這就需要我們引導學生思考自己的解法有沒有將題目中給出的“條件”與“結(jié)論”進行過分析，在得到結(jié)論的過程中有沒有證據(jù)？該解法是不是唯一的解法？

2. 反思這類題目的最大特點

對數(shù)學問題特點的反思，能夠引領(lǐng)學生越來越接近數(shù)學問題深層的結(jié)構(gòu)，更容易把握一類問題.

3. 發(fā)現(xiàn)新的解題思路

對上述三角換元將問題簡化并求解的方法不再一一贅述.

再次反思：重新認識題目并對解法進行評價

前面的二次反思還并非是終點，因為前面反思的收獲還是零散的，再次反思能夠?qū)⒘闵⒌氖斋@凝聚起來，實現(xiàn)認識的升華.

1. 對題目認識的提升令題目一題多解

2. 對眾多解法的評價

解法一利用了重要不等式使得問題得以簡化并順利求解，事實上，解法二、解法三與解法一在本質(zhì)上都是將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成幾何問題. 參數(shù)、判別式、幾何等一系列解法對于本文中所討論的這一類題目來說都是行之有效的，而從全新的角度對題目進行詮釋與解答的解法四雖然看似煩瑣，但其整個分析與解法所呈現(xiàn)出的思路卻很清晰，可以說是一種很好的思考方式.

對數(shù)學解題后反思的思考

作為教師，我們引導學生數(shù)學解題后反思有怎樣的價值？又該如何引導學生進行解題后反思呢？

1. 價值分析

有助于探觸問題的深層結(jié)構(gòu). 解題后的思考與反饋能使學生對題目進行重新認識并對解題中所運用的知識和方法進行概括與提煉，一題多解也更加容易水到渠成，學生在一題多解的過程中也更易有效把握各種方法的實質(zhì).

有助于教師進行變式教學. 解題后的思考與反饋使得教師能夠及時而準確地明確題目的背景、考查意圖，并以此引導學生不斷探尋各種解法.根據(jù)學生的“最近發(fā)展區(qū)”進行變式教學也因此有了有力的依據(jù)，學生解題水平的提升以及思維能力的提高往往得益于解題后的不斷思考與反饋. 比如，本文所討論的例題在上述種種解法得以探究之后，還可以繼續(xù)編擬出以下題目供學生進行練習：

有助于學生對所學內(nèi)容的自發(fā)領(lǐng)悟. 對解題過程進行自覺反思能夠有效增強學生自發(fā)領(lǐng)悟的意識并縮短其自覺分析的轉(zhuǎn)變過程，這一解題后的有效反饋是解題能力實質(zhì)性提升的關(guān)鍵.

2. 如何進行解題后的思考與反饋

對數(shù)學命題的重新認識以及對于解題方法的評價都是數(shù)學解題后的思考與反饋所包含的內(nèi)容.

（1）對數(shù)學命題重新認識一般包含以下內(nèi)容：

①解法是否正確？②是否對條件與結(jié)論進行過一定的討論？③題目背景的探索以及對結(jié)論的特殊化或一般化.

（2）對于各種解題方法的評價一般包含以下內(nèi)容：

①題目本身可存在哪些特點？解題時是如何利用這些特點的？可得到什么教訓？②哪些知識和方法在解題中得到了應(yīng)用？關(guān)鍵在哪里？結(jié)構(gòu)框圖可否畫出？③可有其他解法？可有更一般、更特殊、更簡單或更多的方法？④方法可否推廣？推廣中需要改變或者創(chuàng)新嗎？⑤眾多解法中是否存在對今后解題具備一定意義與價值的方法？

我們在波利亞的解題觀點中形成很多具有啟發(fā)性的想法，也在羅增儒教授的精辟描述中學會很多具有實際操作意義的方法，本文只是結(jié)合實際案例對解題后思考與反饋的一點體會，歡迎各位同行與筆者及時交流并促進解題教學的日益完善.