☉江蘇省江陰市暨陽中學(xué) 浦旦君

初中階段銳角三角函數(shù)在學(xué)段最后階段才開始教學(xué)，而且多是安排在相似三角形之后引出.從知識連貫與必要準(zhǔn)備來看是有道理的.然而幾種版本的教材在引出銳角三角函數(shù)這個概念時多采取利用生活情境中梯子或坡度大小來分析直角三角形邊角的關(guān)系，接著定義正切、正弦、余弦等概念，最后往往是“一帶而過”直接告知學(xué)生它們都是三角函數(shù)，對函數(shù)本質(zhì)的揭示不夠到位.本文先整理近期筆者開設(shè)的一節(jié)“銳角三角函數(shù)”起始課的教學(xué)環(huán)節(jié)，并給出教學(xué)立意的闡釋，供研討.

一、“銳角三角函數(shù)”起始課教學(xué)課例

教學(xué)環(huán)節(jié)1：復(fù)習(xí)舊知

問題1：同學(xué)們在八年級學(xué)習(xí)函數(shù)時，是如何定義函數(shù)的？

問題2：到目前為止，同學(xué)們已學(xué)習(xí)了哪些函數(shù)？你認(rèn)為最簡單的函數(shù)是哪種？（預(yù)設(shè)，學(xué)生已學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，等等，最簡單的函數(shù)是一次函數(shù)中的正比例函數(shù)）

教學(xué)組織：在以上兩個問題驅(qū)動之下，師生對話，在黑板的副板區(qū)形成函數(shù)定義，便于后續(xù)進(jìn)一步定義銳角三角函數(shù).并安排學(xué)生在準(zhǔn)備好的坐標(biāo)紙上畫出幾個特殊的正比例函數(shù)的圖像，教師在下面觀察學(xué)生所畫，請幾個有代表性的學(xué)生到黑板上畫出相應(yīng)的圖像（如圖1~3），便于進(jìn)一步研究.

圖1

圖2

圖3

采集到圖1~3到黑板上之后，邀請這些學(xué)生上臺講解這些正比例函數(shù)圖像的“特殊之處”，即這些圖像與x軸的夾角都是一些特殊角度（30°、45°、60°）.進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生把目光聚焦在這些圖像在第一象限內(nèi)的部分，研究第一象限內(nèi)這些圖像上任意一點(diǎn)的縱、橫坐坐標(biāo)的比值，發(fā)現(xiàn)在各個坐標(biāo)系內(nèi)，隨著角度確定之后，這些比值也隨之唯一確定.于是引出新知.

教學(xué)環(huán)節(jié)2：定義新知

從圖1~3中分離、聚焦一個直角三角形，如圖4，我們把PQ與OQ的比值定義為正切函數(shù)，像圖4中可記作tan45°==1，并指出，在圖4中，如果記點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離為r，則、也是確定的，進(jìn)一步也定義它們分別為正弦函數(shù)、余弦函數(shù).

圖4

在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)完善定義，用Rt△ABC來表示正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)，書寫在黑板左側(cè)的“主板區(qū)”，漸次生成結(jié)構(gòu)化板書.

教學(xué)環(huán)節(jié)3：初步運(yùn)用

例題講評：整理特殊銳角30°、45°、60°的三種銳角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）數(shù)值表格.

教學(xué)組織：安排學(xué)生由黑板上生成的一些特殊三角形，對照剛剛定義的三種三角函數(shù)，分別求出特殊銳角30°、45°、60°的函數(shù)值（共9個），并讓學(xué)生列表整理出來，由一個小組派學(xué)生代表到黑板上書寫出表1：

表1

跟進(jìn)追問1：既然是函數(shù)，往往要研究函數(shù)的一些性質(zhì)或圖像，由于初中階段只研究銳角范圍內(nèi)的三角函數(shù)，并不涉及三角函數(shù)更多的內(nèi)容，所以我們就初步研究一下這三種函數(shù)的增減性.先在小組內(nèi)研討再全班匯報交流.學(xué)生將分別猜想得出，對于銳角，隨著自變量銳角度數(shù)的增大，它的正弦函數(shù)值隨之增大、余弦函數(shù)值隨之減小、正切函數(shù)值隨之增大．

跟進(jìn)追問2：從表格中還有一些發(fā)現(xiàn)，比如，sin30°＝cos60°，sin45°＝cos45°，這種性質(zhì)能否“一般化”？比如，猜想對于銳角α，是否一定有sinα＝cos（90-α）？能否利用三角函數(shù)的定義證明這個性質(zhì)呢？接著安排學(xué)生先獨(dú)立思考，然后小組交流討論，并確認(rèn)這個性質(zhì)．

跟進(jìn)追問3：計算sin230°＋cos230°和sin245°＋cos245°.

學(xué)生計算出答案為1之后，引導(dǎo)學(xué)生思考：這個問題能否“走向一般”？即sin2α＋cos2α是否為定值1？仍然引導(dǎo)學(xué)生“回到定義”來證明這個性質(zhì)．

教學(xué)環(huán)節(jié)4：小結(jié)展望

小結(jié)問題1：對于這節(jié)課學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)，大家有什么體會？能否用幾個關(guān)鍵詞梳理一下本課所學(xué)？

小結(jié)問題2：你覺得以后學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)時，還會學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容？

教學(xué)組織：在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師對黑板上的內(nèi)容進(jìn)行梳理，完善生成結(jié)構(gòu)化板書．（略）

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

1.鋪平墊穩(wěn)，定義三角函數(shù)的概念

在引入新課階段，先回顧函數(shù)的定義，然后小組分工討論幾個特殊的正比例函數(shù)的圖像，并安排學(xué)生代表上臺畫出圖像，其他學(xué)生上臺講解是如何理解這些正比例函數(shù)的特殊性的，教師在這個過程中跟進(jìn)追問，讓學(xué)生看到這些正比例函數(shù)的圖像與x軸的正半軸的夾角的特殊性，在這個過程中，可以換不同學(xué)生上臺講解各自的理解，重點(diǎn)在這個特殊角度是如何得到的.學(xué)生如果幾何構(gòu)造能力不強(qiáng)，則常常會被“問住”從而“卡在”那兒，思路難有進(jìn)展，這時其他學(xué)生參與講解、辨析，把問題的本質(zhì)揭示出來．就是已知一個直角三角形中確定的邊之比后，如何推導(dǎo)出相應(yīng)的銳角角度？如果不愿意走幾何構(gòu)造的思路，還可以通過接下來定義的銳角三角函數(shù)研究它們，讓學(xué)生感受到一個新的概念或新的定義是自然而然的，很有必要的，能解釋很多以前遺留下來的較難問題．

2.采集生成，讓生成資源驅(qū)動學(xué)程

我們知道，開放需要放開，當(dāng)問題放開之后，學(xué)生的生成會很發(fā)散，教師如何駕馭呢？這就對課前的備課提出了很高的要求．比如，上面課例中安排學(xué)生列舉一些特殊的正比例函數(shù)，就是很開放的問題，教師需要預(yù)設(shè)學(xué)生各種不同的情形，通過參與小組內(nèi)交流，采取、捕捉到接下來教學(xué)進(jìn)程中需要的那幾個特殊的正比例函數(shù)，讓相應(yīng)學(xué)生到黑板上板演、講解，也就實(shí)現(xiàn)了從學(xué)生的生成性資料來驅(qū)動學(xué)程的教學(xué)立意．我們常常期待選擇一個好的問題情境驅(qū)動教學(xué)，實(shí)現(xiàn)問題引領(lǐng)、問題驅(qū)動的教學(xué)功能，如果能在教學(xué)進(jìn)程中通過恰當(dāng)?shù)脑O(shè)問，促進(jìn)學(xué)生生成一個新的問題情境或背景，促進(jìn)后續(xù)學(xué)程的推進(jìn)，則是很有品質(zhì)的問題驅(qū)動．

3.初步運(yùn)用，重視回到定義去解題

在定義三種銳角三角函數(shù)之后，需要安排學(xué)生對定義進(jìn)行初步理解，仍然利用學(xué)生已得出的兩種特殊直角三角形來研究幾個特殊銳角的三角函數(shù)值，在學(xué)生“活動單”上列出表格，讓學(xué)生先獨(dú)立計算9個三角函數(shù)值，小組內(nèi)先核對交流，然后教師安排學(xué)生觀察表格中的三角函數(shù)值與自變量（角度）的關(guān)系，引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)一些特殊的性質(zhì)（比如，互余兩角的正弦、余弦值相等），并促進(jìn)這些發(fā)現(xiàn)走向一般，形成猜想，最后安排學(xué)生“回到定義”去證明．這個過程是一次“微型”的“做數(shù)學(xué)研究”的過程，學(xué)生經(jīng)歷了操作分析、整理數(shù)據(jù)、觀察分析、發(fā)現(xiàn)猜想、走向一般、證明猜想這樣的研究過程，而且最后的證明滲透了“回到定義去解題”的解題思想．

三、寫在后面

教無定法，課堂教學(xué)更是一門遺憾的藝術(shù)．筆者曾在不同班級組織過上面課例的實(shí)施，然而效果不盡相同．可見上面教學(xué)立意的闡釋多帶有個性化理解，不一定準(zhǔn)確，更不一定正確，期待專家學(xué)者批評指正．