☉河南省項(xiàng)城市第一高級(jí)中學(xué) 崔宴鴻

圓錐曲線中的定值問(wèn)題充分展示了幾何“動(dòng)態(tài)”與代數(shù)“靜態(tài)”的完美統(tǒng)一，是平面解析幾何中的綜合與交匯問(wèn)題，也是歷年高考中常見(jiàn)的基本題型之一.2019年高考全國(guó)卷Ⅰ文科第21題，通過(guò)圓錐曲線的定值問(wèn)題與點(diǎn)的存在性問(wèn)題的融合，把兩個(gè)創(chuàng)新問(wèn)題合理交匯在一起考查，綜合考查數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)與數(shù)學(xué)能力.

一、真題再現(xiàn)

真題（2019·全國(guó)卷Ⅰ文·21）已知點(diǎn)A、B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，|AB|=4，⊙M過(guò)點(diǎn)A、B且與直線x+2=0相切.

（Ⅰ）若點(diǎn)A在直線x+y=0上，求⊙M的半徑；

（Ⅱ）是否存在定點(diǎn)P，使得當(dāng)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，|MA|-|MP|為定值？并說(shuō)明理由.

本題從簡(jiǎn)單的線段長(zhǎng)度、圓及直線與圓的位置關(guān)系等條件入手，在特殊條件下確定圓的半徑，并結(jié)合點(diǎn)的存在性的判定來(lái)確定相應(yīng)線段的長(zhǎng)度差的定值問(wèn)題.知識(shí)簡(jiǎn)單易懂，而題目非常新穎，創(chuàng)新性強(qiáng)，充分考查學(xué)生的閱讀理解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想，巧妙地將問(wèn)題合理轉(zhuǎn)化，利用圓的相關(guān)知識(shí)、直線與圓的位置關(guān)系及軌跡方程的求解、拋物線的定義與基本性質(zhì)等來(lái)處理問(wèn)題.

二、真題解析

方法1：（官方標(biāo)準(zhǔn)答案）（Ⅰ）因?yàn)椤袽過(guò)點(diǎn)A、B，所以圓心M在AB的垂直平分線上.

由于點(diǎn)A在直線x+y=0上，且點(diǎn)A、B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，所以點(diǎn)M在直線y=x上，故可設(shè)點(diǎn)M（a，a）.

因?yàn)椤袽與直線x+2=0相切，所以⊙M的半徑r=|a+2|.

由已知得|AO|=2.

故⊙M的半徑r=2或r=6.

（Ⅱ）存在定點(diǎn)P（1，0），使得|MA|-|MP|為定值.

理由如下：

設(shè)點(diǎn)M（x，y），由已知得⊙M的半徑r=|x+2|，|AO|=2.

因?yàn)榍€C：y2=4x是以點(diǎn)P（1，0）為焦點(diǎn)，以直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，所以|MP|=x+1.

因?yàn)閨MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-（x+1）=1，所以存在滿足條件的定點(diǎn)P.

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)條件確定點(diǎn)M所在的直線，進(jìn)而設(shè)出點(diǎn)M（a，a），利用直線與圓相切的位置關(guān)系確定⊙M的半徑r=|a+2|，并結(jié)合圓的相關(guān)性質(zhì)，利用勾股定理建立關(guān)系式，從而得以確定參數(shù)a的值，再確定⊙M的半徑；在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，通過(guò)軌跡的求解，結(jié)合拋物線的方程，借助拋物線的定義與幾何性質(zhì)來(lái)確定滿足條件的定點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的定值問(wèn)題.

方法2：（軌跡轉(zhuǎn)化法）設(shè)點(diǎn)M（x，y），因?yàn)椤袽與直線x+2=0相切，所以⊙M的半徑r=|x+2|，|AO|=2.

（Ⅰ）因?yàn)椤袽過(guò)點(diǎn)A、B，所以圓心M在AB的垂直平分線上.

由于點(diǎn)A在直線x+y=0上，且點(diǎn)A、B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，所以點(diǎn)M在直線y=x上.

將y=x代入y2=4x，可得x2=4x，解得x=0或x=4.

故⊙M的半徑r=2或r=6.

（Ⅱ）存在定點(diǎn)P（1，0），使得|MA|-|MP|為定值.

理由如下：

因?yàn)榍€C：y2=4x是以點(diǎn)P（1，0）為焦點(diǎn)，以直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，所以|MP|=x+1.

因?yàn)閨MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-（x+1）=1，所以存在滿足條件的定點(diǎn)P.

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)條件設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)（x，y），利用直線與圓相切的位置關(guān)系確定⊙M的半徑r=|x+2|，并結(jié)合圓的相關(guān)性質(zhì)，利用勾股定理的轉(zhuǎn)化來(lái)確定與求解對(duì)應(yīng)點(diǎn)M的軌跡方程，在此條件下結(jié)合點(diǎn)M所在的直線聯(lián)立方程組，進(jìn)而確定參數(shù)x的值，得以確定⊙M的半徑；從而，結(jié)合軌跡方程，利用拋物線的方程，借助拋物線的定義與幾何性質(zhì)來(lái)確定滿足條件的定點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的定值問(wèn)題.

方法3：（分類討論法）（Ⅰ）由于點(diǎn)A在直線x+y=0上，所以可設(shè)點(diǎn)A（t，-t），則點(diǎn)B（-t，t）.

又|AB|=4，則8t2=16，解得.

因?yàn)椤袽過(guò)點(diǎn)A、B，所以圓心M在AB的垂直平分線上，即點(diǎn)M在直線y=x上.

可設(shè)點(diǎn)M（a，a）.

因?yàn)椤袽與直線x+2=0相切，所以⊙M的半徑r=|a+2|.

故⊙M的半徑r=2或r=6.

（Ⅱ）存在定點(diǎn)P（1，0），使得|MA|-|MP|為定值.

理由如下：

由于點(diǎn)A、B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，|AB|=4，則直線AB必過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，且|OA|=2.

①當(dāng)直線AB的斜率為0時(shí)，點(diǎn)M與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，|MA|-|MP|=|OA|-|OP|=2-1=1，為定值.

②當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx（k≠0），則⊙M的圓心M必在直線上，可設(shè)點(diǎn)M（-km，m）.

因?yàn)椤袽與直線x+2=0相切，所以⊙M的半徑r=|-km+2|.

因?yàn)榍€C：y2=4x是以點(diǎn)P（1，0）為焦點(diǎn)，以直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，所以|MP|=x+1.

因?yàn)閨MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-（x+1）=1，所以存在滿足條件的定點(diǎn)P.

③當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為x=0.

此時(shí)點(diǎn)M在x軸上，可設(shè)點(diǎn)M（n，0）.

此時(shí)點(diǎn)M與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，|MA|-|MP|=|OA|-|OP|=2-1=1，為定值.

綜上所述，存在定點(diǎn)P（1，0），使得|MA|-|MP|為定值.

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)條件設(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，通過(guò)兩點(diǎn)間的距離公式的轉(zhuǎn)化得到，再結(jié)合條件確定點(diǎn)M所在的直線，進(jìn)而設(shè)出點(diǎn)M（a，a），利用直線與圓相切的位置關(guān)系確定⊙M的半徑r=|a+2|，結(jié)合|MA|=|MB|=r，利用兩點(diǎn)間的距離公式的轉(zhuǎn)化來(lái)確定參數(shù)a的值，得以確定⊙M的半徑；在此基礎(chǔ)上，通過(guò)分類討論，分直線AB的斜率為0、直線AB的斜率存在且不為0及直線AB的斜率不存在三種情況，準(zhǔn)確對(duì)應(yīng)點(diǎn)M的軌跡情況，從而得以確定滿足條件的定點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的定值問(wèn)題.

三、變式拓展

探究1：以上高考真題的破解主要圍繞點(diǎn)M的軌跡方程展開，從而在具體問(wèn)題中隱含著軌跡方程的求解.因而破解點(diǎn)M的軌跡方程是重中之重.

【變式1】已知點(diǎn)A、B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，|AB|=4，⊙M過(guò)點(diǎn)A、B且與直線x+2=0相切.試求點(diǎn)M的軌跡方程.

解析：設(shè)點(diǎn)M（x，y），因?yàn)椤袽與直線x+2=0相切，所以⊙M的半徑r=|x+2|，|AO|=2.

點(diǎn)評(píng)：借助高考真題，從中抽取精華部分，即確定點(diǎn)M的軌跡方程.而這也是拋物線的另一幾何意義或定義，可以進(jìn)一步歸納為一般性的拋物線的軌跡方程問(wèn)題.

【結(jié)論】已知點(diǎn)A、B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，|AB|=2p（p＞0），⊙M過(guò)點(diǎn)A、B且與直線x=-p相切.則點(diǎn)M的軌跡為拋物線C：y2=2px.

同理，已知點(diǎn)A、B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，|AB|=2p（p＞0），⊙M過(guò)點(diǎn)A、B且與直線x=p相切.則點(diǎn)M的軌跡為拋物線C：y2=-2px.

已知點(diǎn)A、B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，|AB|=2p（p＞0），⊙M過(guò)點(diǎn)A、B且與直線y=-p相切.則點(diǎn)M的軌跡為拋物線C：x2=2py.

已知點(diǎn)A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，|AB|=2p（p＞0），⊙M過(guò)點(diǎn)A，B且與直線y=p相切.則點(diǎn)M的軌跡方程為拋物線C：x2=-2py.

四、規(guī)律總結(jié)

處理平面解析幾何中的定值問(wèn)題，常見(jiàn)思維方法有以下兩種：（1）從特殊條件入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出相應(yīng)的定值，再證明這個(gè)所求的定值與相應(yīng)的變量無(wú)關(guān)；（2）直接通過(guò)邏輯推理、代數(shù)計(jì)算，在計(jì)算與推理的過(guò)程中消去相應(yīng)的變量，從而得到相應(yīng)的定值.