☉江蘇省江陰市青陽中學 吳國華

題組教學這一教學形式在題目設置與順序編排上都有一定的考究，從易到難、從單一到綜合的題目設計往往能使數(shù)學基礎知識、技能、方法、思想重復出現(xiàn)并得到強化，教師因此可以及時掌握學生學習目標的達成情況并能因此進行針對性的后續(xù)教學.

一、概念教學中的題組運用

概念教學這一重要內(nèi)容可以說是基礎知識與基本技能教學的核心，學好數(shù)學必然要以概念理解為基礎，這在數(shù)學學習過程中是最為重要的.令學生學會概念的內(nèi)涵與外延，領悟概念中所蘊含的數(shù)學思想方法與基本解題技能，促進學生數(shù)學思維品質與素養(yǎng)的提升，培養(yǎng)學生的自主學習能力，這些是概念教學的基本任務.

例1請對以下各小題中集合A到集合B的對應法則進行觀察和理解：

（1）A={-1，-2，-3，1，2，3}，B={1，4，9}，對應法則：求平方；

（2）A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5，6}，對應法則：乘以2；

（3）A={x|x∈Z且x≠0}，B=Q，對應法則f：x→；

（5）A={1，4，9}，B={-3，-2，-1，1，2，3}，對應法則：開平方.

教師在引導學生對上述小題觀察與思考時，可以進行一定的層次劃分，引導學生首先思考（1）——（3）小題中兩集合之間對應法則的共同點，然后再啟發(fā)學生進行自主歸納與總結.學生在觀察與思考中很快可以得出：對應法則下的集合B中都有唯一確定的元素b和集合A中的每個元素a對應.學生的認識達到更高層次的同時還能給出映射的定義，教師在學生明確映射的定義之后，還可以再舉出一些反例來幫助學生更深層次地理解映射的定義，使學生在判斷（4）—（5）是否為映射時更好地理解映射這一對應法則的內(nèi)涵.

二、解題教學中的題組運用

激發(fā)、引導學生對數(shù)學問題進行解題規(guī)律的探求往往能取得更好的教學效果.題組教學在解題探究中的運用往往能夠幫助學生發(fā)現(xiàn)并掌握解題規(guī)律，使學生在運用規(guī)律解決問題的過程中獲得思維廣闊性的鍛煉與成長.

例2（1）求值：cos60°cos15°+sin60°sin15°；

（6）設函數(shù)f（x）=a·b，其中向量a=（2cosx，1），b=（cosx，sin2x），若f（x）=，且］，求x.

題組（1）—（4）的設計是兩角和與差的余弦公式的逆用向提煉輔助角公式的過渡，asinα+bcosα=這一輔助公式的提煉過程也因此更加自然順暢.

（5）—（6）兩題的設計讓學生在輔助角公式、二倍角公式、向量的結合應用中獲得了更為充分的理解與掌握.學生在有意義的題組教學中發(fā)現(xiàn)規(guī)律、掌握規(guī)律并應用規(guī)律，在興致勃勃解決數(shù)學問題的過程中也更添解題的準確性.

三、強化教學重點中的題組運用

求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值、最小值這一重要課題是函數(shù)單調(diào)性教學之后的重點問題，題組可以這樣設計：

例3（1）設f（x）=x2-2x-2，x∈［-2，2］，則f（x）的最大值、最小值分別為多少？

（2）設f（x）=x2-2x-2，若將f（x）在區(qū)間［-2，t］上的最大值記作g（t），則g（t）的表達式如何？

（3）設f（x）=x2-2x-2，若將f（x）在區(qū)間［t，t+1］上的最小值記作g（t），則g（t）的表達式如何？

（4）設f（x）=x2-2ax-2，若將f（x）在區(qū)間［-2，1］上的最小值記作g（x），則g（x）的表達式如何？

求解二次函數(shù)最值問題的關鍵在于學生是否能結合圖像弄清函數(shù)圖像的對稱軸和區(qū)間之間的相對位置關系.解決第（2）小題這一“定對稱軸、動區(qū)間”的最值問題時（兩個端點“一定一動”），需要討論二次函數(shù)的圖像在頂點處的橫坐標x=1和區(qū)間［-2，t］的關系，應分以下情況進行討論：①t≤1；②1＜t≤4；③t＞4.求出g（t）的表達式也就不難了.解決第（3）小題這一“定對稱軸、動區(qū)間”的最值問題時（兩個變化的端點，但區(qū)間長度為定值），應對二次函數(shù)圖像在頂點處的橫坐標x=1和區(qū)間［t，t+1］的關系進行分析和討論：①t+1≤1；②t＜1＜t+1；③t≥1.在解決第（4）小題這一“定區(qū)間、動對稱軸”的最值問題時，應對二次函數(shù)圖像在頂點處的橫坐標x=a和區(qū)間［-2，1］的關系進行分析和討論：①a≤-2；②-2＜a＜1；③a≥1.學生在以上四個小題的學習與思考中往往能夠更為全面地掌握二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題的求解方法與思想.

四、突破教學難點中的題組運用

很多學生在一些看似復雜的問題上往往不能做到準確分析，很凸顯問題的本質，若生搬硬套來解決這些問題，則更易產(chǎn)生解題錯誤了.

例4（1）已知函數(shù)y=log2x，試求其單調(diào)增區(qū)間；

（2）已知函數(shù)y=x2-6x+8，試求其單調(diào)增區(qū)間；

（3）已知函數(shù)y=log2（x2-6x+8），試求其單調(diào)增區(qū)間；

（4）若函數(shù)y=loga（2-ax）在區(qū)間［0，1］上單調(diào)遞減，則a的取值范圍如何？

學生面對題（1）、（2）這兩道初等函數(shù)單調(diào)區(qū)間的簡單問題時，往往能夠結合函數(shù)的圖像輕松解決，但面對題（3）、（4）這兩個復合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的問題時往往會感到困擾.這對于教師來說也是一個值得研究的教學問題.

略解：（3）設y=log2t，t（x）=x2-6x+8，其中t（x）=x2-6x+8＞0.

外函數(shù)y=log2t在（0，+∞）上單調(diào)遞增，因此，求函數(shù)y=log2（x2-6x+8）的單調(diào)遞增區(qū)間即轉化成了求內(nèi)函數(shù)t（x）=x2-6x+8的單調(diào)遞增區(qū)間，結合二次函數(shù)t（x）=x2-6x+8的圖像即可解決這一問題.不過，定義域t（x）＞0這一問題在畫圖過程中是需要考慮的，這就意味著應在x軸上方的圖像中找單調(diào)區(qū)間.

（4）設y=logat，t（x）=2-ax，其中t（x）=2-ax＞0.

因為a＞0，因此內(nèi)函數(shù)t=2-ax在區(qū)間［0，1］上單調(diào)遞減.因為函數(shù)y=loga（2-ax）在區(qū)間［0，1］上單調(diào)遞減，因此外函數(shù)y=logat在區(qū)間［0，1］上單調(diào)遞減，因此a＞1.因為t（x）=2-ax＞0在區(qū)間［0，1］上恒成立，因此tmin（x）=t（1）=2-a＞0，所以1＜a＜2.

若將題中區(qū)間［0，1］改為（0，1），結果又會怎樣？顯然前面是一樣的，但tmin（x）＞t（1）=2-a≥0，所以1＜a≤2.

研究復合函數(shù)的單調(diào)性時應考慮分解、定義域、內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)圖像寫單調(diào)區(qū)間這四個方面，例4中的題組教學在糾正學生錯誤的同時，也令學生更好地理解了函數(shù)概念的內(nèi)涵以及本質.

五、發(fā)展思維教學中的題組運用

學生思維的發(fā)散性與嚴密性往往能影響其對數(shù)學問題的大膽設想與質疑，有意義的題組教學能夠更好地發(fā)展學生思維的發(fā)散性與嚴密性.

例5（1）三角形的三邊長能組成等比數(shù)列嗎？如果不能，理由何在？如果可以，公比q的取值范圍如何？

（2）直角三角形的三邊長能組成等差數(shù)列嗎？如果不能，理由何在？如果可以，該數(shù)列是怎樣的？

（3）若三角形的三個內(nèi)角能組成等差數(shù)列且其對應三邊也成等差數(shù)列，該三角形形狀如何？

略解：（1）設三邊為a，aq，aq2（a＞0，q＞0），則當q≥1時，最大邊為aq2，因此a+aq≥aq2；當0＜q＜1時，最大邊為a，因此aq+aq2≥a.解上述兩個不等式，分別可得1≤q＜

（2）若某直角三角形的三條邊長可以組成等差數(shù)列，分別設其三邊為a-d，a，a+d，公差為d（d＞0），則有（ad）2+a2=（a+d）2，解得，因此三條邊長分別是的直角三角形的三邊是可以組成等差數(shù)列的.

（3）若某三角形的三個內(nèi)角可以組成等差數(shù)列，將其三個內(nèi)角分別設為α-β，α，α+β，則（α-β）+α+（α+β）=π，解得α=

因為該三角形的三邊成等差數(shù)列，因此設其三邊為a-d，a，a+d.

故該三角形為等邊三角形.

除此以外，我們還可以在三角形的邊、角上進行其他情形的設想、學習和探索，并因此促成學生思維水平的不斷提升.

總之，與現(xiàn)代主體教育思想吻合的題組教學能更好地幫助學生自主參與和探索，進而使學生獲得知識、能力與思維的同步發(fā)展.因此，教師應善于運用題組教學并充分發(fā)揮其在教學中的作用，使學生能夠在靈活多變的題組教學中獲得數(shù)學能力與素養(yǎng)的共同提升.