夏燦芳

[摘? 要] 數(shù)與形的結(jié)合，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來，實現(xiàn)概念與形象、表象與聯(lián)系的轉(zhuǎn)化，化難為易，是數(shù)學(xué)解題的重要思想方法之一.新高考之下，為了學(xué)生能夠更加合理有效地學(xué)習數(shù)學(xué)，打破“低效沉悶”的復(fù)習模式，采用學(xué)案制教學(xué)模式，結(jié)合高三第一輪復(fù)習內(nèi)容及學(xué)生認知水平現(xiàn)狀，通過幾組逐級提升的題目和變式問題的設(shè)計，將相關(guān)知識要點與相應(yīng)配套練習融合，從而促進學(xué)生原有知識水平的新提升. 以高考復(fù)習中的《數(shù)形結(jié)合在高考中的應(yīng)用》為例，具體闡述如何運用學(xué)案制教學(xué)模式激活高三復(fù)習課堂，提高復(fù)習效率.

[關(guān)鍵詞] 優(yōu)化題組;學(xué)案制教學(xué)模式;課堂學(xué)習;有效性;數(shù)形結(jié)合

高三數(shù)學(xué)教學(xué)模式的現(xiàn)狀調(diào)查

高三數(shù)學(xué)課一直被學(xué)生認為是最枯燥的課之一. 每節(jié)課除了不停地使用公式做題以外，好像就沒別的模式了. 做題固然是課堂中不可缺少的一部分，但不應(yīng)該成為唯一，我們有太多的方式去吸引學(xué)生，畢竟讓學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)課比學(xué)知識本身重要得多.筆者通過問卷調(diào)查及聽課學(xué)習，發(fā)現(xiàn)在現(xiàn)在的高三數(shù)學(xué)課堂中，教師常常忽略“學(xué)生需要自主時間去理解記錄”和“知識重點公式的記錄”，據(jù)統(tǒng)計，班級里有50%的學(xué)生不做課堂筆記，40%的學(xué)生會做簡單課堂筆記，只有10%的學(xué)生會做優(yōu)秀課堂筆記.

據(jù)問卷調(diào)查，筆者發(fā)現(xiàn)影響數(shù)學(xué)教學(xué)有效性的問題和不足主要有：

（1）學(xué)生，主體地位不強，上課時對學(xué)習目標理解不明確，缺乏針對性的解讀，只為學(xué)習而學(xué)習，沒有強調(diào)學(xué)考標準下本知識點的常見考點，課堂學(xué)習有效性也就可想而知.

（2）配套的例題，多而不精，學(xué)生主要聽教師快速講解，缺乏自主學(xué)習思考討論的時間，難以深化體驗例題解題過程，達不到例題所想要的效果.

（3）配套的檢測，跟蹤性不強，大部分的學(xué)生不能上臺板演;相當一部分學(xué)生，做不做配套練習，完全憑學(xué)生自覺，教師無法評價，學(xué)生毫無壓力. 在這種模式下，檢測學(xué)生所學(xué)知識的目的難以達到，教師處于理想化狀態(tài)中.

采用《數(shù)形結(jié)合在高考中的應(yīng)用》的學(xué)情分析及意義

筆者任教的班級是高三的一個理科普通班.學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較薄弱，基于此學(xué)情，筆者選擇的高考題都比較簡單，主要是讓學(xué)生體驗數(shù)形結(jié)合在解題中的優(yōu)越性，而不是為了解決復(fù)雜的高考問題. 通過簡單的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，培養(yǎng)他們的邏輯思維能力，并能靈活應(yīng)用圖形去解決高考中的簡單問題，并逐步養(yǎng)成運用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想去分析和解決問題的習慣.

華羅庚先生指出：“數(shù)缺形時少直覺，形缺數(shù)時難入微. 數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休.”

數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)的核心思想之一，是高考必考的一大重要內(nèi)容，數(shù)與形的結(jié)合，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來，實現(xiàn)概念與形象、表象與聯(lián)系的轉(zhuǎn)化，化難為易[1]. 作為“數(shù)形結(jié)合在高考中的應(yīng)用”的首節(jié)復(fù)習課，主要是研究數(shù)形結(jié)合思想在高考中的應(yīng)用，但是由于時間關(guān)系，只能研究一部分問題，還有一些問題，比如距離與斜率、復(fù)數(shù)等內(nèi)容，在下節(jié)課中再繼續(xù)研究. 本課安排在學(xué)生復(fù)習完解析幾何之后，這樣處理有個好處是學(xué)生對高中的知識基本了解，對這幾類問題也有一點的了解. 這節(jié)課主要是培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想去解決高考中的幾類問題，起到優(yōu)化解題的作用. 由于數(shù)形結(jié)合在高考中的重要地位，故筆者選用該節(jié)內(nèi)容，用學(xué)案教學(xué)優(yōu)化課堂教學(xué).

扭轉(zhuǎn)現(xiàn)在的應(yīng)對方式——學(xué)案制教學(xué)模式

由于高三教學(xué)的嚴峻性，筆者希望通過一種有別于傳統(tǒng)教學(xué)的模式，既能讓學(xué)生在短暫的課堂時間中學(xué)習教師所想講的內(nèi)容，又可以讓學(xué)生在課后再自我學(xué)習拓展知識. 為扭轉(zhuǎn)現(xiàn)在數(shù)學(xué)課堂上存在的問題，筆者根據(jù)本校學(xué)生學(xué)習的認知程度，專門針對高考知識點，編出導(dǎo)學(xué)案，采用的教學(xué)方式是：學(xué)生先學(xué)，教師后教，然后當堂分層檢測課堂學(xué)習效果.

學(xué)案制教學(xué)模式的操作步驟：

學(xué)案制教學(xué)模式的具體操作可分為如下六個步驟.

學(xué)案制度教學(xué)模式（優(yōu)勢）：

（1）通過學(xué)案制教學(xué)模式中的“學(xué)習目標”，能幫助學(xué)生做題有的放矢.

（2）通過學(xué)案制教學(xué)模式中的“創(chuàng)設(shè)情景，引入課題”，能降低學(xué)習知識的難度，能幫助學(xué)困生跟上教學(xué)的節(jié)奏，更能保證普通學(xué)生的學(xué)習效果.

（3）通過學(xué)案制教學(xué)模式中的“統(tǒng)籌歸類，優(yōu)化解題”，能引導(dǎo)學(xué)生更高效地自主探究合作學(xué)習，創(chuàng)造以生教生的學(xué)習環(huán)境，經(jīng)過“定義、強化、例題和練習”，幫助學(xué)生嘗試抓住重點、考點，突破難點，并能根據(jù)例題嘗試做一做，上臺板演.

（4）通過學(xué)案制教學(xué)模式中的“課堂小結(jié)，歸納方法”，教師講解知識，突出重點、考點，突破難點，幫助學(xué)困生準確理解知識、公式;教師分析例題，幫助學(xué)生加深對知識、公式的理解運用.

（5）通過學(xué)案制教學(xué)模式中的“隨堂練習，鞏固所學(xué)”，能幫助學(xué)生及時感受學(xué)考難度，品味學(xué)考真題，了解命題意圖，消除學(xué)生內(nèi)心對學(xué)考的恐懼心理.

（6）通過學(xué)案制教學(xué)模式中的“教學(xué)反思”，發(fā)現(xiàn)教學(xué)中存在的問題，優(yōu)化學(xué)案.

學(xué)案制教學(xué)，以高考復(fù)習《數(shù)形結(jié)合在高考中的應(yīng)用》為例

（一）明確學(xué)習目標，提高本節(jié)課的教學(xué)目的性

知識目標：掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法，特別是在高考問題中，能借助圖形，優(yōu)化解題途徑，提高學(xué)習效率.

能力目標：借助圖形，通過直觀感知，增強學(xué)生的抽象思維能力，靈活運用知識進行獨立思考和探索.

情感目標：通過幾類問題，讓學(xué)生從圖形中尋找解題的樂趣，并激發(fā)學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)習數(shù)學(xué)的積極性.

教師要求：請1-2位學(xué)生大聲朗讀學(xué)習目標.

學(xué)生反應(yīng)：學(xué)生快速準確地按學(xué)案上的學(xué)習目標大聲朗讀，其他學(xué)生認真聽同學(xué)朗讀學(xué)習目標，對本節(jié)課的學(xué)習任務(wù)有初步了解.

教師解讀：適當解讀本節(jié)課的重點知識是什么，明確該考點在近年高考出現(xiàn)的次數(shù)，和學(xué)生們一起明確本堂課的學(xué)習目標.

（二）創(chuàng)設(shè)情景，引入課題

教學(xué)實踐表明，學(xué)習情景的創(chuàng)設(shè)會直接影響學(xué)習的效果，通過相關(guān)情景的創(chuàng)設(shè)，讓學(xué)生對即將要學(xué)的知識有興趣、明目標、生動力.？搖

基于此目的，采用2006年浙江省的高考題作為課前練習，讓學(xué)生先思考如何快速又準確地去解決這道題. 從實際的高考題中慢慢引入課題，通過圖形讓學(xué)生體會到數(shù)形結(jié)合的魅力. 在解決完問題之后，給出數(shù)形結(jié)合思想的要義，讓學(xué)生了解數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的地位與作用.

（2006年浙江卷）

對a，b∈R，記maxa，b=a，a≥b，b，a

借助圖形，分析問題.

師生活動：教師在課前先將此題放在學(xué)案上，讓學(xué)生去思考.

設(shè)計意圖：從實際的高考題中慢慢引入課題，通過圖形讓學(xué)生體會到數(shù)形結(jié)合的魅力.

（三）統(tǒng)籌歸類，優(yōu)化解題

在這里，通過數(shù)形結(jié)合在高考三類問題中的應(yīng)用，讓學(xué)生自己去慢慢體驗數(shù)形結(jié)合在解題中的優(yōu)越性. 學(xué)生如果用代數(shù)方法去解決本題也是不錯的方法，教師要多肯定學(xué)生. 通過幾類問題，讓學(xué)生從圖形中尋找解題的樂趣，并激發(fā)學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)習數(shù)學(xué)的積極性.

應(yīng)用一：集合與常用邏輯用語問題

1. 已知集合A={（x，y）x，y為實數(shù)，且x2+y2=1}，B={（x，y）x，y為實數(shù)，且y=x}，則A∩B的元素個數(shù)為？搖（? ）

A. 0? B. 1? C. 2? D. 3

分析：利用解析幾何中圓與直線的關(guān)系解決集合中的關(guān)系問題.

2. 若集合A={xx>2或x<1}，B={xa<x<a+1}，且B？哿A，則實數(shù)a的取值范圍為________.

分析：利用數(shù)軸解決集合的有關(guān)運算和集合的關(guān)系問題.

師生活動：讓學(xué)生自己做題，教師從學(xué)生的解題過程中尋找學(xué)生存在的問題，并查漏補缺.

設(shè)計意圖：本題組以數(shù)形結(jié)合形式來考查學(xué)生對有關(guān)集合及其常用邏輯用語的理解、掌握與運用，屬于比較簡單的題目. 從最常用的、簡單的數(shù)形結(jié)合題型開始，讓學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的廣泛應(yīng)用.

技巧與方法：數(shù)形結(jié)合思想在解決集合問題時，首要是讓學(xué)生弄清元素，然后再引導(dǎo)他們把集合語言轉(zhuǎn)化為一般數(shù)學(xué)語言，再進一步去分析問題的條件以及結(jié)論特點，最后再將問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的圖形語言（借助數(shù)軸或venn圖）.

應(yīng)用二：函數(shù)與方程、不等式問題

1. 當k取何值時，方程3x-1=k有一個解？有兩個解？沒有解？

2. 函數(shù)f（x）=ex+x-2的零點個數(shù)為（? ）

A. 0? B. 1? C. 2? D. 3

3.已知函數(shù)y=x3-3x+c的圖像與x軸恰有兩個公共點，則c=________.

分析：數(shù)形結(jié)合思想在解決函數(shù)與方程、不等式的問題時，采用的方法是將問題轉(zhuǎn)化為研究兩個函數(shù)圖像交點問題或者兩個圖像的位置關(guān)系的問題.

師生活動：教師再次引導(dǎo)學(xué)生自己做題，自己歸納，多表揚學(xué)生，讓會做的學(xué)生去板演，讓學(xué)生成為課堂的主角.

設(shè)計意圖：通過本類型（1至3小題）的問題，復(fù)習函數(shù)的圖形變換，在圖形中非常直觀地把方程的根（函數(shù)的零點）的問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題. 這幾個小題很好地揭示了方程、不等式和函數(shù)這三者之間的內(nèi)在聯(lián)系，也深化了學(xué)生對知識體系的認知. 通過訓(xùn)練，學(xué)生的邏輯思維能力與知識遷移能力能夠得到較好的提升.

技巧與方法：巧用數(shù)形結(jié)合方法，主要是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題條件的幾何意義，引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)圖形性質(zhì)（主要從函數(shù)的角度）去分析問題結(jié)論的幾何意義.

應(yīng)用三：三角函數(shù)、平面向量問題

分析：借助三角函數(shù)圖形解決此類問題.

師生活動：三角與平面向量學(xué)生比較熟悉，給學(xué)生足夠的時間去思考，教師引導(dǎo)學(xué)生利用三角圖像和直角坐標系去解決此類問題，但不可操之過急.

設(shè)計意圖：第一小題主要是復(fù)習三角函數(shù)的圖像性質(zhì)，借助圖形可以非常直觀地解決該題.對于第二小題，主要是引導(dǎo)學(xué)生將題目轉(zhuǎn)化為熟悉的三角函數(shù)模型.

技巧與方法：數(shù)形結(jié)合法思想在解題中的應(yīng)用關(guān)鍵是：一要多類比，多聯(lián)想，將代數(shù)式通過轉(zhuǎn)化、變形，賦予它鮮明的幾何意義;二要挖掘已有圖形的幾何性質(zhì)，利用其性質(zhì)盡量簡化運算或論證[2].

通過這三組題目，教師根據(jù)學(xué)案先對本節(jié)知識進行快速解讀，突出重點，突破難點，解決學(xué)生們學(xué)習過程中產(chǎn)生的錯誤理解和困惑，然后分析例題加深學(xué)生對數(shù)形結(jié)合在高考問題中的應(yīng)用的理解，熟悉解題的步驟、格式，最后評價“先學(xué)環(huán)節(jié)”中學(xué)生的練習解題板演，并完善解題步驟.

課堂教學(xué)實踐后結(jié)果顯示：十幾位粗心不仔細的學(xué)生，通過教師針對性的點對點快速解析，都能準確理解數(shù)形結(jié)合在實際問題中的應(yīng)用，并能簡單運用，最終只有四五位學(xué)困生，因?qū)W習態(tài)度和基礎(chǔ)過弱原因無法在課堂內(nèi)掌握.

我們可以讓關(guān)系較好的優(yōu)秀生和學(xué)困生結(jié)對，進行課后幫扶，幫助學(xué)困生解決課堂上未解決的困難知識.

（四）課堂小結(jié)，歸納方法

利用提問、解說形式，師生共同進行小結(jié).

學(xué)生小結(jié)：通過自主小結(jié)和交流學(xué)習，讓學(xué)生進一步感受學(xué)習歷程，感悟數(shù)學(xué)思想，體會學(xué)習方法.

教師小結(jié)：幫助學(xué)生整理所學(xué)知識，引導(dǎo)學(xué)生進一步體會探究學(xué)習的過程和方法，領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想方法.

小結(jié)注重知識和方法兩方面，學(xué)生可能只注重于知識小結(jié)而忽略了方法總結(jié)，在總結(jié)方法時，需要教師的合作幫助.

小結(jié)主要是帶領(lǐng)學(xué)生回放本節(jié)課的解題過程與思維流程，師生一起歸納“數(shù)形結(jié)合在高考中的應(yīng)用”這一知識點的常用方法及其適用范圍，增強其成功感與獲得感.

（五）隨堂練習，鞏固所學(xué)

及時練習鞏固，提高實踐能力.其中第7題為下節(jié)課的教學(xué)做準備.

當然，作為新授課，筆者注意了這些問題的難易程度，既讓大部分學(xué)生鍛煉了思考能力，又不至于讓學(xué)生吃不飽.

師生活動：讓學(xué)生自己做題并進行自我的查漏補缺，鼓勵先做完題目的學(xué)生上去板演，其他學(xué)生對照自己的解題過程，發(fā)現(xiàn)同學(xué)或自己解題中的問題.

讓學(xué)生代表在上面板演的過程中，教師可以巡查，對已經(jīng)完成的學(xué)案進行批改，然后采用肯定性評價和鼓勵性點評，激發(fā)出普通生和學(xué)困生的好勝心.

不斷肯定和鼓勵性評價顯示：對普通生影響效果很好，對學(xué)困生進步也有正面影響.

實施過程中發(fā)現(xiàn)：剛開始學(xué)生們有畏懼心理，不敢上去做，幾分鐘后，三四位優(yōu)等生和大部分普通生（總共48名學(xué)生），都能應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法解決有關(guān)問題;只有十幾位普通生和學(xué)困生因粗心不仔細或自學(xué)態(tài)度不夠端正，產(chǎn)生理解偏差，得出錯誤結(jié)果，教師及時指出問題，并盡量給予正面評價.

設(shè)計意圖：及時練習鞏固，提高實踐能力. 思考題3為下節(jié)課做準備.

（六）教學(xué)反思

這節(jié)課的容量相當大，使得整個課堂時間不夠用，為了能有更多的時間突出重點、突破難點，所以采用學(xué)案與多媒體輔助教學(xué). 在實際教學(xué)中，應(yīng)根據(jù)具體情況對各個環(huán)節(jié)的時間安排進行調(diào)整，但原則是：重點、難點的講解時間只可以增加不可以減少. 所以說，這節(jié)課是很考驗數(shù)學(xué)教師的一節(jié)課，教師的課堂機智很重要. 由于本節(jié)課知識點比較多，因此選用的習題都比較簡單，希望學(xué)生能從簡單的問題中發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的魅力. 不過由于時間問題，能涉及的題目類型還不是很多，需要教師在今后的教學(xué)中再多加鞏固今天所學(xué)的內(nèi)容.

教學(xué)實踐成效與思考

普通高中《數(shù)學(xué)課程標準》指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習活動不應(yīng)該只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)主動探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習數(shù)學(xué)的方式. 這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生的主動性，使學(xué)生的學(xué)習過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程.”因此，在課堂教學(xué)中對習題運用“三部曲”（思考實踐—展示交流—反思歸納）. 讓學(xué)生真正地參與到數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中，發(fā)揮學(xué)生主體地位，打破學(xué)生疲于應(yīng)付，模仿解題，思維缺乏創(chuàng)新的現(xiàn)狀.有助于學(xué)生自主構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，從而提高數(shù)學(xué)解題能力. 在巡視階段，教師可以對不同層次的學(xué)生給予點撥和指導(dǎo)，有助于后進生的進步，也有助于建立同學(xué)間互助的模式，既關(guān)注學(xué)生間的差異，又促使學(xué)生共同發(fā)展.

從近兩年的探索與實踐證明：重視學(xué)案制教學(xué)對促進數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性，具有良好的成效. 學(xué)生對數(shù)學(xué)充滿了更多的自信和把握，學(xué)生的課堂注意力﹑學(xué)習的積極性和主動性都有較大提高. 絕大部分學(xué)生在課堂上處于一種積極探索知識和尋求答案的學(xué)習狀態(tài)之中. 學(xué)生的思維更活躍了，舉一反三能力更強了，許多學(xué)生變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”，他們說再也不怕數(shù)學(xué)學(xué)考了.

然而仍有一些問題有待思考和探討. 提高教學(xué)有效性的方法和途徑多種多樣，學(xué)案制教學(xué)模式僅僅是其中之一. 怎樣使多種教學(xué)形式和方法有機結(jié)合？怎樣更好地克服學(xué)生的惰性行為，避免虎頭蛇尾？這些都是筆者需要進一步思考和探索的.

參考文獻：

[1]? 林海云. 以形助數(shù)，以數(shù)輔形——淺析數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用[J]. 考試周刊，2009（18）.

[2]? 曹忠斌. 從無心插柳到有心栽花——由實習作業(yè)教學(xué)引發(fā)的感想[J]. 新課程（中學(xué)），2018（2）.