朱忠顯，尹 勇，神和龍

（大連海事大學(xué) 航海動(dòng)態(tài)仿真和控制實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連116026）

0 引 言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和人類對(duì)油氣資源的需求不斷增加，海洋油氣資源的開發(fā)逐漸向深海延伸，海洋浮式結(jié)構(gòu)物的定位技術(shù)面臨巨大的挑戰(zhàn)。傳統(tǒng)的懸鏈?zhǔn)较挡聪到y(tǒng)采用剛鏈或剛纜作為主體系纜，依靠系纜自重實(shí)現(xiàn)對(duì)其上部浮體的定位。但隨著工作水深的增加，浮式結(jié)構(gòu)物需要更長(zhǎng)的錨鏈系泊，從而導(dǎo)致更大的系泊半徑、較低的回復(fù)效率、更大的纜索自重和較小的平臺(tái)有效承載能力等缺陷，限制了其在深水和超深水中的應(yīng)用[1]。新型繃緊式系泊系統(tǒng)使用合成纖維纜作為主體系纜，依靠系纜張力提供高效的回復(fù)力。這種系纜因自重更輕、系泊半徑更小、成本更低，且具有較高的斷裂強(qiáng)度，在深水和超深水應(yīng)用中具有明顯的優(yōu)勢(shì)而倍受關(guān)注，現(xiàn)已被廣泛應(yīng)用于深水平臺(tái)的系泊系統(tǒng)中。

合成纖維纜具有復(fù)雜的材料非線性特性，即粘彈性和粘塑性，使得準(zhǔn)確把握系纜在復(fù)雜海洋環(huán)境條件下的動(dòng)力響應(yīng)非常困難。隨著合成纖維在海洋工程系泊系統(tǒng)中的應(yīng)用越來越廣泛，對(duì)纖維纜材料的研究也越來越受到重視，人們開始嘗試將系纜的材料特性應(yīng)用到系泊線動(dòng)力分析中去。目前，無論在理論、實(shí)驗(yàn)和數(shù)值分析方面，針對(duì)這種新型深水系泊系統(tǒng)的研究都處于起步階段。

1 合成纖維系纜的動(dòng)剛度特性及求解方法

1.1 合成纖維纜動(dòng)剛度特性的研究

Del Vacchio[2]對(duì)聚酯纖維纜進(jìn)行了模型實(shí)驗(yàn)，指出平均張力、張力幅值和載荷周期是影響彈性模量的主要因素，并給出了常溫、循環(huán)載荷作用下纖維系纜的彈性模量經(jīng)驗(yàn)公式。1999年，Bosman和Hooker[3]以Del Vacchio的經(jīng)驗(yàn)公式為基礎(chǔ)，通過實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)平均載荷是影響動(dòng)剛度的主要因素。Casey等[4-5]對(duì)聚酯纖維纜進(jìn)行了大量的模型實(shí)驗(yàn)，給出了多組經(jīng)驗(yàn)公式參數(shù)。2004年，Kim[6]采用迭代法對(duì)聚酯纖維纜的動(dòng)剛度進(jìn)行求解，并將動(dòng)剛度特性引入到系纜的動(dòng)力響應(yīng)分析中。2008年Tahar和Kim[7]在柔性桿理論和有限元法的基礎(chǔ)上，引入系纜的動(dòng)剛度特性對(duì)聚酯纖維系纜進(jìn)行了分析。2008年，F(xiàn)rancois和Davies[8]通過模型試驗(yàn)指出在隨機(jī)載荷作用下，平均張力是影響動(dòng)剛度值的最主要因素。2006年，劉海笑和黃澤偉[9-10]在對(duì)繃緊式系泊系統(tǒng)的數(shù)值分析中考慮了纖維系纜的動(dòng)剛度特性，并以一座工作于1 500 m水深的Spar平臺(tái)為例進(jìn)行了計(jì)算。2014年張火明等[11]對(duì)循環(huán)載荷下纖維系纜的動(dòng)剛度特性進(jìn)行了研究，改進(jìn)了系纜動(dòng)剛度和動(dòng)張力的計(jì)算方法，編制C++程序求解系纜的動(dòng)剛度，并以一座工作于1 500 m水深的Spar平臺(tái)為例進(jìn)行了計(jì)算，將計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[9]進(jìn)行對(duì)比與驗(yàn)證。

1.2 合成纖維系纜的動(dòng)剛度特性

由合成纖維系纜構(gòu)成的系泊系統(tǒng)，其響應(yīng)和性能主要取決于系纜的軸向剛度（E×A）特性（其中E為系纜的彈性模量，A為橫截面積），軸向剛度的準(zhǔn)確表達(dá)是精確計(jì)算平臺(tái)運(yùn)動(dòng)及系纜張力響應(yīng)的基礎(chǔ)。簡(jiǎn)化計(jì)算中通常引入一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式來描述合成纖維纜在循環(huán)載荷作用下的動(dòng)剛度特性。

其中：Lm為平均張力占最小破斷強(qiáng)度（MBL）的百分比；La為動(dòng)態(tài)張力幅值占最小破斷強(qiáng)度的百分比；系數(shù)α、β和γ是與合成纖維纜構(gòu)造相關(guān)的參數(shù)。

1.3 動(dòng)剛度求解

纖維系纜動(dòng)剛度的求解分兩步進(jìn)行：

（1） 求平均張力。 用靜剛度模型k0=（E× A ）0/MBL（k0是由制造商提供的定值，一般在較低的單向載荷下測(cè)得，與纜繩自身特性相關(guān)）計(jì)算平均張力，得到Lm。若浮體在平衡位置左右做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，系纜的預(yù)張力即為平均張力。

（2）迭代計(jì)算動(dòng)剛度。由靜剛度模型可以計(jì)算出系纜平均張力，也可求得張力變化幅值La，但該La與真實(shí)動(dòng)剛度情況下的La相差較大，須通過迭代的方法求解，將Lm和La代入公式（1）中，計(jì)算得到一個(gè)新的動(dòng)剛度值k1。利用k1計(jì)算得到的新的系纜張力及La，再將La代入公式（1），求解動(dòng)剛度值k2…如此反復(fù)迭代，直到相鄰兩次的動(dòng)剛度計(jì)算結(jié)果ki-ki-1小于設(shè)定的容差值，認(rèn)為計(jì)算收斂，ki即為所求得的動(dòng)剛度值。

2 系泊線動(dòng)力學(xué)模型

在深水工作環(huán)境下，系泊線的動(dòng)力響應(yīng)要比靜力響應(yīng)嚴(yán)重得多，結(jié)構(gòu)物系泊系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算成為海洋工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的一個(gè)關(guān)鍵問題。

系泊系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模方法有集中質(zhì)量法、有限元法和有限差分法等。其中，集中質(zhì)量法因物理意義明確，算法簡(jiǎn)單易懂，具有廣泛的適用性及擴(kuò)展性而得到廣泛應(yīng)用。該方法由Walton和Polchaton[12]最先提出，Thomas[13]對(duì)模型進(jìn)行了改進(jìn)，Chai等[14]將集中質(zhì)量法進(jìn)行了擴(kuò)展，并將彎矩、扭矩、與海底的接觸問題等加入到海洋纜索的計(jì)算模型中。王飛等[15-18]基于集中質(zhì)量法建立了拖纜動(dòng)力學(xué)模型，同時(shí)考慮了彎矩、拖纜-海底接觸等的響應(yīng)，實(shí)現(xiàn)了拖纜的收放過程模擬。

2.1 坐標(biāo)系定義

系泊系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型應(yīng)該建立在合適的坐標(biāo)系下，根據(jù)需要建立如圖1所示的慣性坐標(biāo)系o-xyz和局部坐標(biāo)系i-btn。慣性坐標(biāo)系是空間固定的坐標(biāo)系，所有的計(jì)算均轉(zhuǎn)換到該坐標(biāo)系下進(jìn)行，其原點(diǎn)位于系泊系統(tǒng)末端與錨的連接處，長(zhǎng)度記為s=0。局部坐標(biāo)系附在系泊線上，t軸為微元的切線方向，指向長(zhǎng)度s增加方向，n和b分別為法向和副法向；歐拉角（φ,θ）為微元段的姿態(tài)角。兩個(gè)坐標(biāo)系均為右手系，通過姿態(tài)角（φ,θ）進(jìn)行關(guān)聯(lián)。局部坐標(biāo)系到慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣為：

矩陣[A]為單位正交矩陣，其逆矩陣為其轉(zhuǎn)置矩陣。

圖1 系泊系統(tǒng)坐標(biāo)系Fig.1 Coordinate system of the mooring system

2.2 系泊系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

本文基于集中質(zhì)量法建立系泊系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，將系泊線在空間上離散為一系列節(jié)點(diǎn)。系泊線總長(zhǎng)度為S，末端s=0為第i=0個(gè)節(jié)點(diǎn)，上端點(diǎn)處s=S，為第i=N個(gè)節(jié)點(diǎn)。任取一微元段ds進(jìn)行受力分析并應(yīng)用牛頓第二定律，得到第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的控制方程：

（1） 質(zhì)量矩陣

包括微元段慣性質(zhì)量mi和其在水中的附加質(zhì)量Mai，均取節(jié)點(diǎn)兩側(cè)微元段質(zhì)量和附加質(zhì)量的一半之和：

（2）浮力和重力

（3） 流體阻力

按Ablow[19]和Huang[20]等人的方法：

在局部坐標(biāo)系下的流體阻力為：

（4） 張力

由系纜的材料特性和形變確定。合成纖維系纜的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系不是簡(jiǎn)單的線性關(guān)系，它受系纜的構(gòu)造形式、材料、載荷類型等影響。為將纖維纜的材料特性引入到系泊線的動(dòng)力分析中，采用誤差控制的迭代方法求解微元的動(dòng)剛度和動(dòng)張力：

2.3 動(dòng)力學(xué)模型數(shù)值求解

（1）邊界條件。錨端邊界條件設(shè)置為固定端；另一邊界條件為系泊線頂端，其位置和速度與平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)保持一致：

其中：xs、ys、zs、us、vs、ws分別為系泊線頂端的位置和速度，它們是時(shí)間的函數(shù)。

（2）初始條件。用來確定初始時(shí)刻所有節(jié)點(diǎn)的位置和速度：

其中：等式右側(cè)部分為給定的初始值，一般系錨泊系統(tǒng)兩端位置固定狀態(tài)為穩(wěn)定狀態(tài)。

（3）數(shù)值求解。聯(lián)立控制方程（2），再加上給定的初始條件，并由，得到完整的偏微分方程組：

對(duì)方程組采用四階顯式龍格-庫塔法進(jìn)行積分求解，由各節(jié)點(diǎn)在tn時(shí)刻運(yùn)動(dòng)狀態(tài)即可得到tn+1=tn+Δt時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

3 傳統(tǒng)動(dòng)剛度數(shù)值求解方法

以一座工作于1 500 m水深的Spar平臺(tái)為例進(jìn)行計(jì)算，該平臺(tái)采用繃緊式系泊系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)如圖2所示，它由3組均勻布置的聚酯纖維纜組成，各組之間的間隔為120°。每組3根系纜之間間隔為5°。系纜參數(shù)取自文獻(xiàn)[9，11]，如表1所示。為方便計(jì)算，選取5號(hào)系纜作為研究對(duì)象。如圖3所示，假設(shè)平臺(tái)沿x方向運(yùn)動(dòng)，系纜上端隨平臺(tái)主體發(fā)生位移，位移隨著時(shí)間的變化歷程為正弦函數(shù)：x（t）=x0sin（2πt/T ）。x0取 5.0 m，T 取 10 s。

圖2 系泊系統(tǒng)平面布置圖Fig.2 General arrangement of the mooring system

圖3 系纜上端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)示意圖Fig.3 Sketch of the upper node's movement

傳統(tǒng)動(dòng)剛度計(jì)算[9-11]中將整根系纜作為一條直線考慮，假定系纜上應(yīng)力和應(yīng)變處處相同，認(rèn)為合成纖維系纜的密度與海水密度十分接近，因而不考慮系纜的自重，且系纜所受的流體阻力相對(duì)于軸向張力較小，亦忽略不計(jì)。因假設(shè)上部浮體在平衡位置左右做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，系纜的預(yù)張力即為平均張力。

由表1提供的參數(shù)可得系纜靜態(tài)軸向剛度： （EA ）0=k0×MBL=12.2×14 700×103=1.794 3×105kN，將該靜剛度值用于動(dòng)力學(xué)模型中張力的計(jì)算，并將計(jì)算結(jié)果與采用動(dòng)剛度方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。 圖4為采用靜剛度和動(dòng)剛度方法計(jì)算得到的系泊線張力，結(jié)果表明動(dòng)剛度下系泊線最大張力比靜剛度下大28.5%，最小張力比靜剛度下大39.5%。圖5為迭代計(jì)算得到的動(dòng)剛度值，它隨著上部浮體的運(yùn)動(dòng)而呈周期變化。顯然，在合成纖維纜動(dòng)張力計(jì)算中使用靜剛度將無法精確得到纜索上的軸向張力，必須考慮合成纖維纜的動(dòng)剛度特性。

表1 系纜參數(shù)Tab.1 Properties of the mooring line

圖4 張力時(shí)間歷程Fig.4 Variation with time of the tensions

圖5 動(dòng)剛度值時(shí)間歷程Fig.5 Variation with time of the dynamic stiffness

4 分段動(dòng)剛度計(jì)算

傳統(tǒng)動(dòng)剛度求解方法雖然大大簡(jiǎn)化了計(jì)算，但也損失了計(jì)算精度。首先，系纜在水中的總浮重為8.79×2 058.0×9.81=177.46 kN，達(dá)平均張力（1 278.0 kN）的13.89%，忽略這部分的影響顯然是不合適的；其次，系纜在激勵(lì)下的形狀并不是一條直線，如圖6所示系纜上的張力同一時(shí)刻也并非處處相等，下部點(diǎn)的響應(yīng)比其上部點(diǎn)要滯后；最后，傳統(tǒng)方法無法考察流體動(dòng)力對(duì)動(dòng)張力的影響。為了精確計(jì)算繃緊式系泊線上的動(dòng)張力，本文將合成纖維纜的動(dòng)剛度特性引入到系泊線的動(dòng)力學(xué)分析中，對(duì)每一纜段采用迭代的方法分別計(jì)算其動(dòng)剛度和動(dòng)張力。

表2 分段動(dòng)剛度下計(jì)算結(jié)果Tab.2 Results using sectional dynamic stiffness

圖6為采用分段動(dòng)剛度計(jì)算得到的首尾兩端動(dòng)張力的時(shí)間歷程，圖7為首尾兩端動(dòng)剛度值的時(shí)間歷程，表2為計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)方法的比較，可以看出采用分段動(dòng)剛度計(jì)算得到的最大張力比傳統(tǒng)方法略大，首端比尾端稍小，最小張力則比傳統(tǒng)方法略小，首端比尾端稍大；最大動(dòng)剛度值比傳統(tǒng)方法大，首端比尾端稍大，最小動(dòng)剛度值則比傳統(tǒng)方法略小，首端比尾端稍小。這是在動(dòng)力學(xué)模型中引入了流體動(dòng)力的結(jié)果。

圖6 張力時(shí)間歷程Fig.6 Variation with time of the tension

圖7 動(dòng)剛度值時(shí)間歷程Fig.7 Variation with time of the dynamic stiffness

5 系纜自身重量的影響

傳統(tǒng)方法計(jì)算動(dòng)剛度時(shí)為計(jì)算簡(jiǎn)便忽略了系纜自身重量的影響。然而系纜長(zhǎng)度較大，自身重量產(chǎn)生的總體作用不可忽略。本節(jié)在考慮系纜自身重量的情況下計(jì)算各纜段上的動(dòng)剛度值和動(dòng)張力。

表3 系纜自重對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響Tab.3 The cable's weight effects to the results

圖8、圖9和圖10分別為系纜首端、尾端張力和動(dòng)剛度值的計(jì)算結(jié)果。因系纜單位長(zhǎng)度浮力大于重力，自身重量對(duì)尾端的影響較大，對(duì)上端點(diǎn)處影響略小，表3為計(jì)算結(jié)果的比較。系纜自身重量對(duì)動(dòng)張力的總體影響較大，將其忽略會(huì)帶來較大的計(jì)算誤差，損失計(jì)算精度。

圖8 系纜自重對(duì)首端張力的影響Fig.8 The weight's effects to the upper node's tension

圖9 系纜自重對(duì)尾端張力的影響Fig.9 The weight's effects to the lower node's tension

6 海流的影響

圖10 系纜自重對(duì)動(dòng)剛度值的影響Fig.10 The weight's effect to the dynamics stiffness

本文考慮非均勻海流對(duì)繃緊式系泊線動(dòng)力學(xué)性能的影響，在考慮到系纜自重的情況下采用分段動(dòng)剛度計(jì)算系纜動(dòng)張力。節(jié)點(diǎn)所處位置的流函數(shù)為：J（z）=1.0× （sinθJi+cosθJj+0k ）（1. 0-z/150 ）m/s，z為節(jié)點(diǎn)所處的水深，θJ為流向。設(shè)流向?yàn)?0°（沿x軸正方向），水面流速為2.0 m/s。

將系纜首尾兩端動(dòng)張力與無流時(shí)的比較，首端最大張力小0.55%，最小張力大0.70%，尾端最大張力小0.44%，最小張力大0.22%。盡管海流對(duì)系纜動(dòng)張力的影響較小，但若能在計(jì)算中加入該部分的作用，計(jì)算精度將有增無減。

7 用統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算纜段的平均張力

以上計(jì)算建立在系纜平均張力為定值的假設(shè)下，即假設(shè)平臺(tái)在平衡位置附近做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，系纜平均張力即為預(yù)張力，其大小為1 278.0 kN。然而，在流體拖曳力、纜索自身重量和海流作用下，纜索不同分段的平均張力是不相同的，同一分段上平均張力也隨著時(shí)間變化。這樣平均張力將無法通過計(jì)算直接得到。于是，本文提出采用分段動(dòng)剛度計(jì)算時(shí)，記錄每一纜段在過去一段時(shí)間內(nèi)的動(dòng)張力值，并取該記錄的平均值作為該纜段的平均張力，并將其用于該纜段的動(dòng)剛度和動(dòng)張力計(jì)算。

圖11 用統(tǒng)計(jì)方法得到系纜平均張力Fig.11 The mean load using statistical method

圖12 首端動(dòng)張力時(shí)間歷程Fig.12 Variation with time of the upper node's tension

圖13 尾端動(dòng)張力時(shí)間歷程Fig.13 Variation with time of the lower node's tension

圖14 首端動(dòng)剛度時(shí)間歷程 Fig.14 Variation with time of the upper node's dynamic stiffness

圖11為統(tǒng)計(jì)得到的系纜首尾兩端的平均張力，可以看出統(tǒng)計(jì)得到的纜段平均張力隨時(shí)間波動(dòng)，其大小要比定值1 278.0 kN大很多，這顯然會(huì)對(duì)系纜動(dòng)張力和動(dòng)剛度的計(jì)算產(chǎn)生影響。圖12和圖13分別為采用統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算纜段平均張力時(shí)，首尾兩端節(jié)點(diǎn)動(dòng)張力的計(jì)算結(jié)果，圖14和圖15分別為系纜首尾兩端處動(dòng)剛度值的計(jì)算結(jié)果，表4為計(jì)算結(jié)果與之前方法的比較，可以看出采用統(tǒng)計(jì)平均張力得到的計(jì)算結(jié)果相比于采用定值時(shí)，首尾兩端的最大和最小張力都有所增大。最終計(jì)算結(jié)果顯示，首端最大張力比傳統(tǒng)方法大4.9%，最小張力比傳統(tǒng)方法小1.1%，尾端最大張力比傳統(tǒng)方法大12.2%，最小張力比傳統(tǒng)方法大13.8%。

圖15 尾端動(dòng)剛度時(shí)間歷程Fig.15 Variation with time of the lower node's dynamic stiffness

表4 統(tǒng)計(jì)平均張力方法計(jì)算結(jié)果比較Tab.4 Results using statistical mean tension method

8 結(jié) 論

本文建立了錨泊系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，將合成纖維纜的動(dòng)剛度特性應(yīng)用到繃緊式系泊線的數(shù)值計(jì)算中，通過對(duì)一座工作水深為1 500 m的繃緊式系泊系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算，得到以下結(jié)論：

（1）采用動(dòng)剛度方法得到的繃緊式系泊線動(dòng)張力遠(yuǎn)大于靜剛度下計(jì)算結(jié)果，因而在合成纖維系纜動(dòng)張力計(jì)算中必須考慮其動(dòng)剛度特性；

（2）傳統(tǒng)動(dòng)剛度計(jì)算方法中因?yàn)榇嬖诖罅康募僭O(shè)和忽略，降低了計(jì)算精度，也無法描述不均勻纜和多成份組合式系泊系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。為了精確計(jì)算繃緊式系泊線上的動(dòng)張力，應(yīng)該建立系泊線的動(dòng)力學(xué)模型，并將合成纖維纜的動(dòng)剛度特性引入到系泊線的動(dòng)力學(xué)分析中；

（3）在系泊線動(dòng)張力計(jì)算中采用分段動(dòng)剛度的方法計(jì)算各纜段上的動(dòng)剛度和動(dòng)張力，結(jié)果表明系纜自重對(duì)動(dòng)剛度和動(dòng)張力影響較大，不可忽略，流體阻力和海流的影響相對(duì)較小；

（4）因?yàn)榭紤]因素增加和采用分段動(dòng)剛度計(jì)算，傳統(tǒng)方法中取恒定預(yù)張力作為平均張力的方法不再適用，于是提出基于統(tǒng)計(jì)的方法計(jì)算各纜段的平均張力，并用于該纜段上動(dòng)剛度的計(jì)算；

（5）最終計(jì)算結(jié)果顯示，首端最大和最小張力比傳統(tǒng)方法分別大4.9%和小1.1%，尾端最大和最小張力比傳統(tǒng)方法分別大12.2%和13.8%。

本文提出的一系列計(jì)算新型繃緊式系泊線動(dòng)張力的方法，具有一定的連貫性和合理性，考慮到了各種因素的影響，能適用于不均勻纜和多成份組合式系泊線的計(jì)算，對(duì)于繃緊式系泊系統(tǒng)的數(shù)值分析和工程應(yīng)用具有重要的意義。