【摘? ?要】我國數(shù)學(xué)教學(xué)中對于計算教學(xué)，通常把目標(biāo)定位于算法和算理。事實上，這樣的定位并沒有將運(yùn)算過程的全部內(nèi)容充分發(fā)揮出來。因此需要拓展對于運(yùn)算過程的認(rèn)識，從運(yùn)算產(chǎn)生的背景、對算式的理解以及對運(yùn)算結(jié)果的預(yù)測等多角度看待運(yùn)算過程。為此有必要將計算教學(xué)的目標(biāo)拓展為“運(yùn)算感”。

【關(guān)鍵詞】運(yùn)算;計算;運(yùn)算感;算法;算理;小數(shù)除法

“小數(shù)除法”的學(xué)習(xí)，通常安排在四年級或五年級的數(shù)學(xué)課程中。學(xué)生在自二年級開始的整數(shù)除法學(xué)習(xí)中，所經(jīng)歷的兩數(shù)相除運(yùn)算的活動，分別是“等分（Partition）”和“包含（Quotition）”。比如對于算式[12÷3=？]，可以理解為12個蘋果平均分給3人，每人得到多少個？還可以理解為12個蘋果平均分給若干人，每人分得3個，一共分給多少人？由此帶來關(guān)于除法的經(jīng)驗中就會包括如下內(nèi)容：

●除法運(yùn)算源于“分”的活動。

●被除數(shù)是分的對象，除數(shù)表示分的方式，商表示分的結(jié)果。因此除數(shù)必須是整數(shù)，而且被除數(shù)應(yīng)當(dāng)大于除數(shù)和商。

基于這些認(rèn)識開始小數(shù)除法的學(xué)習(xí)，就會出現(xiàn)一個“坎兒”，也就是如何解釋含有小數(shù)的除法算式的含義？比如面對[0.2÷0.8]這樣的算式，被除數(shù)小于除數(shù)，而且除數(shù)0.8小于1，利用整數(shù)除法的經(jīng)驗，難以構(gòu)建出“分”的活動與這個算式相對應(yīng)。因此對于小數(shù)除法的學(xué)習(xí)，首先應(yīng)當(dāng)是拓展對于兩數(shù)相除過程所對應(yīng)的背景活動的認(rèn)識。

一、感受差異，澄清誤解

學(xué)習(xí)小數(shù)除法的第一步，可以是通過與整數(shù)除法的對比，感受兩者之間的不同，初步認(rèn)識小數(shù)除法產(chǎn)生的背景。比如，首先出示兩個語言結(jié)構(gòu)完全相同的問題作為學(xué)習(xí)任務(wù)，讓學(xué)生思考討論。

任務(wù)1：用盡可能多的方法解決下面兩個問題，并對比兩個問題的相同之處和不同之處。

（1）如果買3千克蘋果，共花費(fèi)18元，那么1千克蘋果多少元？

（2）如果買0.5千克蘋果，共花費(fèi)3元，那么1千克蘋果多少元？

問題（1）是學(xué)生已經(jīng)熟悉的平均分類型，把3千克蘋果平均分為3份，其中的1份的價格就是1千克蘋果的價格，因此不難列出除法算式[18÷3]，求出1千克蘋果的價格等于6元。但對于問題（2），運(yùn)用“分”的方法就很難想到列出算式[3÷0.5]，求出蘋果的單價。

按照Siegbert Schmidt等人對日本五年級學(xué)生的研究，學(xué)生面對類似于問題（2）時，首先不是列出除法算式，而后進(jìn)行計算，而是運(yùn)用自身已有經(jīng)驗，直接進(jìn)行問題的解決。[1]多數(shù)學(xué)生可能運(yùn)用的方法主要有兩個。

第一個是基于對小數(shù)0.5的認(rèn)識，以及“加倍取半”的思維方式。知道0.5千克就是1千克的一半，也就是說1千克是0.5千克的2倍，因此1千克蘋果的價格應(yīng)當(dāng)是3元的2倍，運(yùn)用乘法算式[3×2]，可以求出1千克蘋果等于6元。這樣的過程其實是運(yùn)用了乘法的思維。

第二個可能運(yùn)用的方法是將0.5千克和3元同時擴(kuò)大10倍，也就是買5千克蘋果需要30元，因此1千克蘋果的價格可以用[30÷5]計算出來，等于6元。這樣的方法是在無意之中使用了除法商不變的規(guī)律。實質(zhì)是運(yùn)用了比例的思維方式（Proportional Thinking），用運(yùn)動與變化的眼光看待乘與除的關(guān)系。利用表格可以把這樣的關(guān)系清晰地表示出來：

[價格（元） 3 ？ 18 …… 30 數(shù)量（千克） 0.5 1 3 …… 5 ]

問題中出現(xiàn)了“千克”和“元”兩類不同的量，用變化的眼光看，一類量增加或者減少，另一類量也隨之增加或者減少相同的倍數(shù)。這樣的過程中，就可以感受到[3÷0.5]與[30÷5]的結(jié)果是相同的。同時可以感受到，當(dāng)除數(shù)小于1時，除法運(yùn)算使得結(jié)果變大，拓展了整數(shù)除法中“越除越小”的認(rèn)識。

在兩個問題的對比討論中，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個問題的共同點(diǎn)。第一個問題的算式[18÷3=]？，實質(zhì)上是在問“幾的3倍等于18”;按照這樣的理解，第二個問題同樣可以列出算式[3÷0.5=]？，實質(zhì)上是問“幾的0.5倍是3”。學(xué)生過去對于“倍”通常理解為擴(kuò)大，有了小數(shù)之后，倍同樣可以描述縮小。這樣就將過去對于除法運(yùn)算單一的“平均分”的認(rèn)識，拓展為“乘法運(yùn)算逆運(yùn)算”。整數(shù)除法通常表達(dá)的是“縮小”的過程，小數(shù)除法也可以表示“擴(kuò)大”的過程。

二、鞏固提升，綜合應(yīng)用

通過任務(wù)1兩個問題的思考討論，學(xué)生可以初步感知到小數(shù)除法與整數(shù)除法的差異，小數(shù)除法計算主要依賴將小數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)，以及用乘法看待除法。在此基礎(chǔ)上，一方面這樣的方法需要進(jìn)一步鞏固，另一方面也需要感知到加倍取半方法的局限性。為此可以出示下面的任務(wù)2讓學(xué)生思考討論。

任務(wù)2：用盡可能多的方法解決下面兩個問題，通過對比，找到兩個問題的不同之處。

（1）如果買2.5千克蘋果，共花費(fèi)15元，那么1千克蘋果多少元？

（2）如果買2.4千克蘋果，共花費(fèi)14.4元，那么1千克蘋果多少元？

對于問題（1），同樣可以運(yùn)用加倍取半的方法，從“2.5千克花費(fèi)15元”，想到“5千克花費(fèi)30元”，因此1千克蘋果價格可以列式為：[15÷2.5=30÷5]，計算結(jié)果為6元。

對于問題（2），由于2.4加倍后仍然是小數(shù)，所以自然的想法是前面使用過的將2.4千克和14.4元同時擴(kuò)大10倍，將[14.4÷2.4]改變?yōu)檎麛?shù)除法算式[144÷24]，計算結(jié)果為6元。通過對任務(wù)2的思考討論，可以將學(xué)生對于乘法和除法兩者關(guān)系的理解拓展為如下的認(rèn)識：

●除法運(yùn)算對應(yīng)的未必一定是分的活動，經(jīng)常是乘法的逆運(yùn)算導(dǎo)致除法運(yùn)算的出現(xiàn)。

●除法算式的計算，基本思路是將小數(shù)除法變?yōu)檎麛?shù)除法。

鑒于學(xué)生在實際情境中經(jīng)常會混淆乘法和除法運(yùn)算，因此還可以讓學(xué)生利用計算器，經(jīng)歷乘法和除法同時出現(xiàn)的問題解決過程。

任務(wù)3：每個國家都有自己的貨幣，因此需要將貨幣進(jìn)行轉(zhuǎn)換。請你使用計算器，分別解決下面兩種貨幣轉(zhuǎn)換的問題。

（1）按照今天的匯率，用0.88元人民幣可以兌換0.13美元。那么美元與人民幣的匯率是怎樣的？如果在美國消費(fèi)了99美元，相當(dāng)于人民幣多少元？

（2）按照今天的匯率，用0.66元人民幣可以兌換10.96日元。那么日元和人民幣之間的匯率是怎樣的？如果在日本消費(fèi)了400日元，相當(dāng)于人民幣多少元？

這兩個問題的設(shè)計，目的是為了澄清學(xué)生對于除法算式中，被除數(shù)要比除數(shù)和商大這一誤解。所謂描述匯率無非是要計算兌換的問題。因此學(xué)生需要思考的問題可能是如下四個：

●1美元可以兌換多少人民幣？（算式：0.88÷0.13）

●1元人民幣可以兌換多少美元？（算式：[0.13÷0.88]）

●1日元可以兌換多少人民幣？（算式：[0.66÷10.96]）

●1元人民幣可以兌換多少日元？（算式：[10.96÷0.66]）

思考過程中出現(xiàn)的算式既有被除數(shù)大于除數(shù)的情況，也有被除數(shù)小于除數(shù)的情況;而且除數(shù)有大于1的情況，也有除數(shù)小于1的情況。因此學(xué)生可以充分感受到除法運(yùn)算從整數(shù)到小數(shù)所發(fā)生的變化，拓展對于除法的認(rèn)識。

對于“相當(dāng)于多少人民幣”的問題，事實上是一個開放的設(shè)計?？赡苡贸朔?，也可能用除法。比如，如果已知1美元兌換6.77元人民幣，那么消費(fèi)99美元相當(dāng)于人民幣的數(shù)額就要用乘法[99×6.77]計算;如果已知1元人民幣可以兌換0.15美元，那么就要用除法算式[99÷0.15]計算。為了進(jìn)一步將學(xué)生已有知識和經(jīng)驗與小數(shù)除法聯(lián)系起來，可以給學(xué)生出示更加開放的任務(wù)。

任務(wù)4：舉出盡可能多的實例，解釋除法算式[0.2÷0.8]的含義。

面對這樣的問題，整數(shù)除法中“分”的活動已經(jīng)不再適用，期望學(xué)生能夠運(yùn)用在小數(shù)乘法中積累的經(jīng)驗，運(yùn)用已經(jīng)熟悉的量進(jìn)行理解。

比如，從長度的角度看，兩根繩子長度分別為0.2米和0.8米，如果要描述兩者的關(guān)系，可以說：0.8米比0.2米多，或者0.2米比0.8米少“0.8-0.2”米。也可以說：0.8米是0.2米的“[0.8÷0.2]”倍;還可以說：0.2米是0.8米的“[0.2÷0.8]”倍。

如果從行程問題看，一只螞蟻用0.8分鐘爬行了0.2米，那么“[0.2÷0.8]”就可以表示螞蟻每分鐘爬行的距離，也就是螞蟻的爬行速度。

總之，鑒于小數(shù)除法的實際意義與學(xué)生已經(jīng)熟悉的整數(shù)除法的意義有很大差異，因此學(xué)習(xí)小數(shù)除法之初，應(yīng)當(dāng)把學(xué)習(xí)目標(biāo)定位于“除”運(yùn)算產(chǎn)生的背景以及對除法算式自身結(jié)構(gòu)的理解，而不是豎式計算的方法。

三、運(yùn)算感

美國華盛頓州立大學(xué)David Slavit教授曾經(jīng)提出“運(yùn)算感（Operation Sense）”的概念，[2]用于描述學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)算過程中的多種能力，這些能力可以表現(xiàn)為許多方面。

第一，對于一個算式自身的理解。比如面對算式[0.2÷0.8]，首先應(yīng)當(dāng)理解其中的0.2與0.8兩個小數(shù)的含義，比如0.2是0.1的2倍，是1的五分之一。同時應(yīng)當(dāng)理解“[÷]”的多重含義，可以表示“分”的過程，也可以表示乘法的逆運(yùn)算等。對于算式自身的理解還應(yīng)當(dāng)包括運(yùn)算所遵循的規(guī)律，比如除法運(yùn)算具備商不變的規(guī)律。如果除數(shù)大于1，那么除得的結(jié)果應(yīng)當(dāng)小于被除數(shù)，如果除數(shù)小于1，那么結(jié)果應(yīng)當(dāng)大于被除數(shù)，這一點(diǎn)與乘法縮放過程正好相反。[3]

第二，對算式產(chǎn)生背景的理解。比如對于[0.2÷0.8]，應(yīng)當(dāng)知道什么情況下會出現(xiàn)這樣的算式。有時是描述兩個量之間的倍數(shù)關(guān)系，有時是描述兩類按比例變化的量之間轉(zhuǎn)換的率（Rate），也有時是在乘法運(yùn)算中，已知乘積和一個因數(shù)的情況下，求另外一個因數(shù)。

第三，與其他算式之間關(guān)系的認(rèn)識。對于[0.2÷0.8]，運(yùn)用商不變規(guī)律可以知道，與[2÷8]的結(jié)果相同。根據(jù)乘除運(yùn)算的互逆關(guān)系，可以知道兩個算式[0.2÷0.8=0.25]與[0.25×0.8=0.2]描述的是同樣的數(shù)量關(guān)系。

第四，對運(yùn)算結(jié)果的估計與解釋。在沒有計算之前，對于算式[0.2÷0.8]能夠預(yù)測出其結(jié)果小于1，并且大于0.2，理由是因為被除數(shù)0.2小于除數(shù)0.8，并且除數(shù)0.8小于1。

第五，熟悉特殊的運(yùn)算結(jié)果。比如[0.2÷2=0.1]，[0.2÷0.8]實際就是四分之一，用小數(shù)表示是0.25。諸如此類的事實，對于運(yùn)用多種方法實施計算，往往是有益的。

第六，能夠運(yùn)用多視角以及多種方法得到運(yùn)算結(jié)果。比如可以運(yùn)用商不變規(guī)律將[0.2÷0.8]改變?yōu)閮蓚€整數(shù)2與8的除法運(yùn)算。還可以將被除數(shù)和除數(shù)同時擴(kuò)大5倍，使得算式改變?yōu)閇1÷4]，繼續(xù)將1擴(kuò)大100倍，將算式改變?yōu)閇100÷4]，此時利用整數(shù)除法的經(jīng)驗立刻知道結(jié)果為25，縮小100倍就得到[0.2÷0.8]的結(jié)果為0.25。

第七，能夠在不同語境中清晰地辨別應(yīng)當(dāng)采用的運(yùn)算類型。比如如果已知1美元兌換6.7元人民幣;1元人民幣可以兌換16.4日元?，F(xiàn)在用1000元人民幣，兌換為美元，或者兌換為日元，所采用的運(yùn)算類型就是不同的。

我國的計算教學(xué)通常強(qiáng)調(diào)“算法”和“算理”，所謂算法往往僅理解為諸如豎式等標(biāo)準(zhǔn)算法，而算理通常理解為這樣標(biāo)準(zhǔn)算法能夠?qū)嵤┑睦碛伞＿@樣的理解顯然是不夠的，為了發(fā)揮數(shù)學(xué)運(yùn)算過程更大的育人功能，在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)把算法和算理的說法拓展為“運(yùn)算感”。

參考文獻(xiàn)：

[1]Siegbert Schmidt and Werner Weiser. Semantic Structures of One-Step Word Problems Involving Multiplication or Division[J]. Educational Studies in Mathematics， Vol. 28， No. 1 （Jan.，1995），pp.55-72.

[2]David Slavit. The Role of Operation Sense in Transitions from Arithmetic to Algebraic Thought[J]. Educational Studies in Mathematics，Vol.37， No.3（1998-1999），pp.251-274.

[3]郜舒竹.小數(shù)乘法起點(diǎn)在哪[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2018（9）.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院? ?100048）