張皎

【摘要】數(shù)學教學要營造“思維場”，并引發(fā)“場”的力量，通過解析對象“本體”、追溯知識“本源”、感受學生“本我”等方式，滲透抽象、推理、模型這些基本數(shù)學思想方法，從而提升學生學習力。

【關(guān)鍵詞】思維場 學習力 抽象 推理 模型

一、解析對象“本體”。營造“抽象”的思維場

抽象是指從許多事物中，舍棄個別的、非本質(zhì)的屬性，抽出共同的、本質(zhì)的屬性的思維過程。抽象的過程是通過一系列的比較和區(qū)分的思維操作實現(xiàn)的。根據(jù)兒童的年齡特點，教學中可借助感性材料，提供思維支架，通過比較與區(qū)分去解析形成現(xiàn)象的根本實體，生發(fā)對對象“本體”的關(guān)切，從而把外部現(xiàn)象引入數(shù)學內(nèi)部，營造“抽象”的思維場。

1.善用比較

比較，就是在思維中確定對象之間的相同點和不同點。通過比較，可以接近事物本質(zhì)和形成概念。

例如，筆者在“認識面積”的教學中，通過“找一找、看一看、比一比、摸一摸、說一說”等活動，充分調(diào)動學生的感官去觀察、體驗和思考，抽象的“面積”具體化了，同時學生也感悟到：雖然物體不同、圖形不同，但只要是表示“物體表面的大小或平面圖形的大小”都是它們的面積，共同點的抽取讓學生對面積概念有了初步的感知。

之后在“比較面積的大小”的教學過程中，學生想到了用“鋪圖形”的方法去比較面積大小，而提供的圖形有正方形、圓、三角形，以一個長方形為例，課堂上呈現(xiàn)出幾種鋪圖形的情況。

此時讓學生說說真切的感受：用哪種圖形去測量這個長方形的面積既準確又方便呢？直覺思維與邏輯思維交替相融，學生在親身體驗中感受到：用圓去鋪有空隙不準確，用三角形可以密鋪但相對麻煩，用小正方形去鋪既準確又方便。比較方法的不同、比較角度的不同讓學生明白了把小正方形作為面積單位的合理性與優(yōu)越性，面積的概念也得以深化。在層層比較的過程中，學生始終在進行著思維的交鋒，通過參與并體驗概念的抽象過程來增強對“緘默”知識的感悟，從而促進顯性知識的獲得與應(yīng)用。

2.正確區(qū)分

區(qū)分，就是把比較得到的相同點和不同點在思維中固定下來，利用它們把對象分為不同的類別。通過區(qū)分可以固定知識的本質(zhì)屬性，結(jié)合語言表達，完成抽象過程。

例如，教學“認識負數(shù)”時，通過“零上溫度”和“零下溫度”、“海平面以上高度”和“海平面以下高度”的比較，抽象出“大于0的數(shù)是正數(shù)，小于0的數(shù)是負數(shù)”，那么0呢？如果不比較0，這個比較就是不完全的，結(jié)合已經(jīng)抽象出的正數(shù)和負數(shù)的含義，學生言之鑿鑿：“0是正數(shù)和負數(shù)的分界點”“0既不是正數(shù)也不是負數(shù)”。這樣就根據(jù)對象的共同點和不同點把對象分為不同的類別，通過進一步區(qū)分，把（實）數(shù)分為：正數(shù)、0和負數(shù)三類。

抽象是數(shù)學最本質(zhì)的特征之一，學習中營造一個“抽象”的思維場，讓學生充分經(jīng)歷比較與區(qū)分的數(shù)學活動過程，獲得的就不僅僅是前人留下的抽象結(jié)果，而是真實地解析對象“本體”，體會形成這個知識的數(shù)學抽象過程，切實提高了思維水平。

二、感受學生“本我”，營造“推理”的思維場

推理是從一個或一些已知命題，推出新命題的思維過程或思維形式。推理一般包括合情推理（小學接觸較多的是歸納推理）與演繹推理，教學中要創(chuàng)設(shè)氛圍，在歸納與演繹中引領(lǐng)學生感受推理進程中的獲得感，生發(fā)對學生“本我”的關(guān)切，同時促進數(shù)學內(nèi)部的發(fā)展，營造“推理”的思維場。

1.在憤悱狀態(tài)中歸納

歸納通常是指一種由特殊到一般的推理方法，也就是由一系列具體事實概括出一般原理的過程。要催生“場”的力量，教學中就要接通學生的“憤悱”狀態(tài)，所謂“不憤不啟，不悱不發(fā)”，讓學生在“心求通而未得之意，口欲言而未能之貌”中集思求解、歸納推理，從而讓學生深刻感受“本我”。

筆者在“和的奇偶性”教學中，層層推進，從探索兩個數(shù)相加和的奇偶性到探索多個數(shù)相加和的奇偶性，從學生自己填寫研究單的數(shù)據(jù)例證到教師引導理解的圖形佐證。

在“憤悱”的學習場景中，既構(gòu)成思考，也構(gòu)成向往。在這里，提供的例證兼顧數(shù)量與質(zhì)量，規(guī)律由初感到理解，由模糊到清晰，學生始終處于“憤悱”狀態(tài)之中。而隨著加法算式中奇數(shù)個數(shù)的不斷增加或偶數(shù)個數(shù)的不斷增加，學生在“積思”中清晰了規(guī)律生成的脈絡(luò)與路徑，在“求解”中探究激情主動，思維縱橫行進，從而水到渠成地歸納推理出了“和的奇偶性”規(guī)律。

2.在深度思辨中演繹

演繹通常是指一種由一般到特殊的推理方法，也就是從普遍性結(jié)論或一般性前提出發(fā)，推出個別或特殊結(jié)論的過程。要催生“場”的力量，教學中就要促使學生深度思辨，在演繹推理中引發(fā)學生“本我”意識的覺醒。

例如，在“平行四邊形的面積計算”教學中，學生利用所提供的剪刀、平行四邊形學具、邊長1厘米正方形塑料片、透明方格紙等“學材”，解釋和驗證自己猜想的計算方法的正確性。而最終的討論聚焦于探索平行四邊形與剪拼之后的長方形之間的關(guān)系，通過操作與思辨活動發(fā)現(xiàn)求平行四邊形面積的“路徑”：因為長方形的面積等于長與寬的乘積，也就是平行四邊形底與高的乘積，而平行四邊形的面積等于轉(zhuǎn)化后的長方形的面積，所以平行四邊形的面積也就等于它的底與高的乘積。通過提供層層推進的思辨素材，學生經(jīng)歷了對學材的自主選擇、線索的演繹推理、結(jié)論的思辨論證，在發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程中放飛了思維個性、彰顯了生本意識。

推理是一種重要的數(shù)學思想方法，學生在歸納與演繹中，既關(guān)切“自己的”發(fā)現(xiàn)，又關(guān)切“大家的”智慧，突破慣性思維束縛，涵養(yǎng)批判精神，發(fā)展個性化的創(chuàng)新思維。

三、追溯知識“本源”，營造“模型”的思維場

模型的內(nèi)涵非常豐富。一切數(shù)學概念、公式、數(shù)量關(guān)系、算法系統(tǒng)等都可稱為數(shù)學模型。它們總是以最精簡的方式呈現(xiàn)，若只是機械記憶、模仿操作、反復演練，學習則浮于表面而不知其所以然。因而在模型的建立中要溝通知識聯(lián)系，追溯生長基點，生發(fā)對知識“本源”的關(guān)切，溝通數(shù)學與外部世界的聯(lián)系，營造“模型”的思維場。

例如，在工人做零件這爪.隋境中，學生理解了“工作效率、工作時間、工作總量”的含義，并初步理解了數(shù)量之間的關(guān)系;然后呈現(xiàn)更多的情境，如修路隊修路、拖拉機耕地等，把所考查的實際問題一個個抽象為數(shù)學問題。歸納總結(jié)出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，即構(gòu)造了一個數(shù)學模型，再引申到學生做題、打印機打字、煤礦產(chǎn)煤等實際問題，這些實際問題都可以應(yīng)用“工作效率×工作時間=工作總量”這個模型來解決。學生在學習中不斷感受模型的力量，數(shù)學與外部世界得以溝通。

數(shù)學教材中的各個知識點并不孤立存在，在學習新知時，往往能在學生的原有知識結(jié)構(gòu)中找到相同或相似的經(jīng)驗。如商中間或末尾有0的除法是商中間或末尾沒有0的一種特例，計算法則的概括水平要低于舊知，其生長點為原有的除法法則;在學習比的基本性質(zhì)時會聯(lián)系到商不變的規(guī)律、分數(shù)的基本性質(zhì)，這其實是原有知識與經(jīng)驗的重新整合;平行四邊形和圓的面積公式是通過切拼轉(zhuǎn)化成長方形后推導出來的，三角形和梯形的面積公式又可以轉(zhuǎn)化成平行四邊形推導出來，可以說長方形是平面圖形面積計算學習的基點。同時，“轉(zhuǎn)化”在這里相當于一種方法的模型，讓學生在遇到新問題時有了解決問題的導向。

教學中，我們應(yīng)重視模型的建立過程，在探索發(fā)現(xiàn)、縱橫行進的思維場域中，以自己的親身體驗去清晰模型生成的脈絡(luò)與路徑，追根溯源、領(lǐng)悟原理。

新一輪基礎(chǔ)教育課程改革提出：“小學數(shù)學教育不僅應(yīng)當幫助學生很好地掌握相關(guān)的數(shù)學知識和技能，也應(yīng)幫助學生初步地學會數(shù)學地思維，……”我們把營造“思維場”作為數(shù)學教學的核心關(guān)切，正是致力于以思維培養(yǎng)為主線的數(shù)學教學思路，讓“場”的力量引發(fā)學生在思考問題和解決問題的過程中數(shù)學地思維，提高學生滲透數(shù)學思想方法的自覺性，提升學生的“學習力”并使他們終身受益，讓數(shù)學教學具有真正的實效和長效。