曾榮

摘? ? 要：數(shù)學(xué)運(yùn)算不僅是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種必備能力，更是數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的體現(xiàn)，不同層次的數(shù)學(xué)運(yùn)算水平彰顯不同層次的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).在培養(yǎng)學(xué)生良好數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的過程中，教師應(yīng)立足不同層次數(shù)學(xué)運(yùn)算水平的剖析，幫助學(xué)生理解運(yùn)算對(duì)象，算思結(jié)合;設(shè)計(jì)運(yùn)算思路，合理優(yōu)化;監(jiān)控運(yùn)算過程，形成經(jīng)驗(yàn).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)運(yùn)算;水平剖析;思維品質(zhì)

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)科課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn).數(shù)學(xué)運(yùn)算之所以能列為六大核心素養(yǎng)之一，不僅僅是因?yàn)檫\(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種必備能力，更是因?yàn)閿?shù)學(xué)運(yùn)算能力本就是數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的體現(xiàn)，不同層次的數(shù)學(xué)運(yùn)算水平彰顯了不同層次的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

解析幾何的本質(zhì)是用坐標(biāo)法研究幾何問題，即用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想.用代數(shù)方法研究的過程中不可避免會(huì)涉及較多計(jì)算，能否深刻理解運(yùn)算對(duì)象，并結(jié)合所研究圖形的幾何性質(zhì)，設(shè)計(jì)合適的運(yùn)算思路和運(yùn)算程序，算思結(jié)合，這無疑會(huì)對(duì)提高運(yùn)算效率、提升學(xué)生思維品質(zhì)起到很好的促進(jìn)作用.下面結(jié)合對(duì)2017年江蘇高考解析幾何運(yùn)算水平的剖析、運(yùn)算路徑的設(shè)計(jì)談對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng).

【2017年江蘇高考第17題】試題如下：

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：[x2a2+y2b2=1a>b>0]的左、右焦點(diǎn)分別為[F1]，[F2]，離心率為[12]，兩準(zhǔn)線之間的距離為8，點(diǎn)P在橢圓E上，且位于第一象限，過點(diǎn)[F1]作直線[PF1]的垂線[l1]，過點(diǎn)[F2]作直線[PF2]的垂線[l2].

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）若直線[l1]，[l2]的交點(diǎn)Q在橢圓E上，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

一、水平剖析

（一）水平一：理解運(yùn)算對(duì)象，設(shè)計(jì)運(yùn)算思路，以算助思

【思路分析1】如圖2，本題所研究的圖形是一個(gè)動(dòng)態(tài)圖形，對(duì)于這樣的圖形，我們要思考圖形因何而動(dòng)，圖形中的動(dòng)態(tài)元素之間存在怎樣的聯(lián)系.動(dòng)因確定運(yùn)算對(duì)象，牽一發(fā)而動(dòng)全身.本題如果理解為點(diǎn)[P]運(yùn)動(dòng)而引起線段[PF1，PF2， ][QF1，QF2]運(yùn)動(dòng)，從而導(dǎo)致整個(gè)圖形在運(yùn)動(dòng)，那么我們不妨從設(shè)點(diǎn)[P（x0 ，? y0）]開始.

【同質(zhì)思路、路徑】考慮到點(diǎn)P為橢圓上的點(diǎn)，我們也可以通過三角換元的方式設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為[P（2cosθ ，? 3sinθ）].這種做法，運(yùn)算的路徑和原來基本一致，但變量從兩個(gè)變?yōu)橐粋€(gè)，便于學(xué)生實(shí)際操作.

【思路分析2】如理解點(diǎn)[P]為[PF1]與[PF2]的交點(diǎn)，因?yàn)榫€段[PF1，PF2]運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致點(diǎn)[P]跟著運(yùn)動(dòng)，從而導(dǎo)致整個(gè)圖形在運(yùn)動(dòng)，那么我們不妨從設(shè)[PF1]與[PF2]的方程開始.

【解答評(píng)析】以上幾種方法是解析幾何中的常見解法，思維量不大，但運(yùn)算量較大，需要較扎實(shí)的運(yùn)算基本功、一絲不茍的運(yùn)算態(tài)度和較強(qiáng)的運(yùn)算自信心方能完成.

（二）水平二：理解運(yùn)算情境，探求思路切口，算思并舉

【思路分析3】解析幾何歸根到底是研究幾何問題，所研究的對(duì)象具有怎樣的幾何背景？這種幾何背景又具有怎樣的代數(shù)特征？能否結(jié)合具體的模型尋找解題切口？這道題涉及橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，兩組焦半徑，這是一個(gè)典型的焦點(diǎn)三角形模型.考慮焦點(diǎn)三角形與焦半徑之間的關(guān)系，我們可以從第一定義出發(fā)，再結(jié)合試題中的垂直關(guān)系探求思路切口.

【思路分析4】對(duì)于焦點(diǎn)三角形模型，我們也可以結(jié)合第一、第二定義，將焦半徑數(shù)量化，再利用試題中的垂直關(guān)系，探求思路切口.

【解答評(píng)析】以上兩種運(yùn)算方法，結(jié)合情境中典型的數(shù)學(xué)模型的常見處理策略，思算并舉，便捷地探求出P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，運(yùn)算量相對(duì)較小.

（三）水平三：深挖情境內(nèi)涵，優(yōu)化運(yùn)算路徑，以思助算

【思路分析5】解析幾何強(qiáng)調(diào)用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)，我們要善于從不同角度將圖形的幾何特征代數(shù)化.試題條件中的兩個(gè)垂直條件，在前幾種方法中，我們分別轉(zhuǎn)化為斜率之積等于-1、勾股定理進(jìn)行求解.對(duì)于兩個(gè)垂直關(guān)系，我們也可以從向量的角度去理解——數(shù)量積為0，先孤立地研究它們背后的代數(shù)表示，再綜合思考尋求等量關(guān)系，探求思路切口.

【思路分析6】對(duì)于兩個(gè)垂直，我們還可以用聯(lián)系的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)它們.考慮到兩個(gè)直角對(duì)著同一條線段PQ，故可知P，Q，[F1]，[F2]四點(diǎn)共圓，PQ為圓的直徑，[F1][F2]為弦.結(jié)合圓的幾何特征，我們可以知道圓心[（xM ，yM）]在[F1F2]的中垂線y軸上.

【解答評(píng)析】很顯然，情境內(nèi)涵的深度挖掘，充分利用圖形幾何特征，優(yōu)化運(yùn)算思路，以思助算，大幅度減少了運(yùn)算量，提高了運(yùn)算的效率和準(zhǔn)確度.

二、教學(xué)啟示

（一）理解運(yùn)算對(duì)象，算思結(jié)合，重在明理

數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).對(duì)于具體的數(shù)學(xué)運(yùn)算，我們要結(jié)合運(yùn)算情境，深刻理解運(yùn)算對(duì)象的特征，挖掘其內(nèi)涵.以思維為基礎(chǔ)，運(yùn)算能力提升才能得到有效的落實(shí).案例中的運(yùn)算對(duì)象[PF1，PF2，][QF1，QF2]，我們可以從動(dòng)態(tài)的角度去研究它們，形成運(yùn)算思路1，2;我們也可以結(jié)合橢圓焦半徑的特點(diǎn)去研究它們，形成運(yùn)算思路3，4;我們還可以結(jié)合問題情境中的垂直關(guān)系的深度挖掘去研究它們，形成運(yùn)算思路5，6.對(duì)運(yùn)算對(duì)象的不同理解，產(chǎn)生不同水平的數(shù)學(xué)運(yùn)算.在這個(gè)過程中，數(shù)學(xué)思維是關(guān)鍵.只有算思結(jié)合，重在明理，方能促進(jìn)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的升級(jí)發(fā)展.

（二）設(shè)計(jì)運(yùn)算思路，重在規(guī)劃，合理優(yōu)化

在同一數(shù)學(xué)情境中，不同的運(yùn)算思路、運(yùn)算程序的設(shè)定，體現(xiàn)了一定的規(guī)劃設(shè)計(jì)能力.在具體的運(yùn)算過程中，學(xué)生是稍有想法后便立即動(dòng)手操作，還是三思而后行，反復(fù)尋找更優(yōu)化的解決路徑？在多種方案探尋以后，是憑直覺去感知判斷，還是經(jīng)過理性分析、比較異同之后，再去實(shí)踐操作？對(duì)于案例中的運(yùn)算，教學(xué)中如能結(jié)合七種解題線路圖幫助學(xué)生進(jìn)行分析，讓學(xué)生思考每種方法的優(yōu)劣、每種運(yùn)算的成本，必然能事半功倍.素養(yǎng)就是在這些設(shè)計(jì)、比較、操作、優(yōu)化、反思中形成和發(fā)展的.

（三）監(jiān)控運(yùn)算過程，主動(dòng)參與，形成經(jīng)驗(yàn)

在運(yùn)算思路、運(yùn)算程序確定以后，能否準(zhǔn)確、快捷地求得運(yùn)算結(jié)果，還需要有良好的運(yùn)算習(xí)慣、全程的運(yùn)算監(jiān)控.教師要指導(dǎo)學(xué)生自我監(jiān)控運(yùn)算過程，主動(dòng)參與運(yùn)算方法的選擇、運(yùn)算法則的掌握、運(yùn)算錯(cuò)誤的規(guī)避、運(yùn)算結(jié)果的解釋的全過程.對(duì)于案例中的運(yùn)算，每種運(yùn)算的思維關(guān)鍵點(diǎn)、復(fù)雜運(yùn)算出現(xiàn)的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)、運(yùn)算中易出現(xiàn)的錯(cuò)誤等我們應(yīng)實(shí)時(shí)進(jìn)行監(jiān)控，做到心中有數(shù)，并在長期的自我監(jiān)控、主動(dòng)參與之中形成良好的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).

運(yùn)算是一種演繹推理，我們應(yīng)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)理性地、有條理地進(jìn)行運(yùn)算和思考.我們應(yīng)從運(yùn)算的背景、內(nèi)容、過程、方法及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想等出發(fā)，全方位地思考提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算水平，通過運(yùn)算促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.