陳麗琴

[摘 ?要] 函數(shù)與幾何壓軸題是中考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)題型，一般以壓軸題的形式出現(xiàn)，該類問題的突破需要融合眾多基礎(chǔ)知識，采用適當(dāng)?shù)姆椒ú呗?文章對一道中考函數(shù)壓軸題開展思路突破，拓展解題模型，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 函數(shù);面積;幾何;模型;思想方法

真題呈現(xiàn)

（2019年江蘇省徐州市中考數(shù)學(xué)卷第28題）如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A和B分別在x軸、y軸的正半軸上，△AOB的兩條外角平分線交于點(diǎn)P，P在反比例函數(shù)y= 的圖像上.PA的延長線交x軸于點(diǎn)C，PB的延長線交y軸于點(diǎn)D，連接CD，回答下列問題：

（1）求∠P的度數(shù)及點(diǎn)P的坐標(biāo);

（2）求△OCD的面積;

（3）△AOB的面積是否存在最大值？若存在，請求出最大面積;若不存在，請說明理由.

思路突破

上述屬于與幾何相關(guān)的函數(shù)綜合題，其中涉及反比例函數(shù)、角平分線、三角形性質(zhì)和幾何面積等知識，下面對其突破思路進(jìn)行探索.

第一步：幾何性質(zhì)利用，突破點(diǎn)P特性

該問求角的度數(shù)和曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)，屬于較為基礎(chǔ)的問題. ∠P是由三角形的兩個(gè)外角的角平分線相交形成的，因此只需要利用角平分線的性質(zhì)及三角形外角和知識即可.

過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)E，再過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)F，過點(diǎn)P作AB上的垂線，垂足為點(diǎn)M，如圖2. 根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，∠PAM= ∠EAM，∠PBM= ∠FBM，則∠PAM+∠PBM= （∠EAM+∠FBM），由三角形的外角和可知∠EAM+∠FBM+∠AOC=360°，其中∠AOC=90°，則∠EAM+∠FBM=270°，∠PAM+∠PBM=135°，所以∠P=180°-135°=45°.

求點(diǎn)P的坐標(biāo)，由于點(diǎn)P位于函數(shù)曲線上，因此只需要求得橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)其中的一個(gè)即可.根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PE=PM=PF，因此可將點(diǎn)P的坐標(biāo)設(shè)為（m，m），代入反比例函數(shù)解析式可得m2=9，由于點(diǎn)P位于第一象限，則m>0，解得m=3，所以點(diǎn)P（3，3）.

第二步：勾股相似合用，突破三角面積

該問求△OCD的面積，由于該三角形是由PA和PB的延長線以及坐標(biāo)軸相交形成的，故△OCD為直角三角形，由面積公式可知只需要求得線段OC和OD的長即可.設(shè)點(diǎn)A（0，a），B（b，0），由△PEA≌△PMA，△PMB≌△PFB可得AM=AE，BM=BF，于是AB=AM+BM=AE+BF=6-a-b，在Rt△ABO中，由勾股定理可得AB2=OA2+OB2，代入后可解得b= .

分析可證△PEA∽△COA，△PBF∽△DBO，由相似三角形性質(zhì)可得 = ， = ，代入化簡可得OC= ，OD= ，所以S△OCD= OC·OD= · · =9.

第三步：不等式性質(zhì)借用，突破面積最值

該問分析△AOB是否存在最大面積，屬于面積存在性問題，由OA+OB+AB=a+b+6-a-b=6可知a+b+ =6，所以2 + ≤6，解得 ≤3（2- ），所以ab≤54-36 ，所以S△AOB= ab≤27-18 ，最大面積為27-18 .

評析 本題目屬于函數(shù)與幾何相結(jié)合的綜合題，求解時(shí)利用到了反比例函數(shù)知識、矩形和正方形的性質(zhì)、全等三角形判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理等知識，幾何與函數(shù)內(nèi)容結(jié)合緊密，主要考查學(xué)生的知識應(yīng)用和邏輯推理能力.問題的核心是第（2）和第（3）問的幾何面積分析，相對而言面積模型的構(gòu)建過程較為簡單，難度主要集中在代換運(yùn)算上，解析時(shí)巧妙利用幾何性質(zhì)實(shí)現(xiàn)了參數(shù)的代換和簡化.

模型拓展

上述考題的后兩問屬于以函數(shù)曲線為背景的幾何面積問題，其特殊之處在于所涉三角形依托兩個(gè)坐標(biāo)軸而構(gòu)建，且為直角三角形，因此在構(gòu)建面積模型時(shí)可以結(jié)合坐標(biāo)上的點(diǎn)，利用面積公式直接獲得. 實(shí)際上，求函數(shù)中的幾何面積屬于一類較為典型的問題，根據(jù)函數(shù)曲線不同、三角形的形狀以及所知點(diǎn)坐標(biāo)不同，其模型的構(gòu)建過程也大不相同，下面對函數(shù)曲線背景下的三角形面積模型的構(gòu)建方式進(jìn)行拓展探究.

1. 巧用函數(shù)性質(zhì)，直接構(gòu)建模型

該方式指的是利用函數(shù)的幾何性質(zhì)，建立三角形的面積模型，適用于反比例函數(shù)背景下的幾何面積問題. 如圖3所示，設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y= ，根據(jù)其性質(zhì)特征可知常數(shù)k可表示為兩個(gè)變量y和x的乘積，即k=xy，實(shí)際上對于該式存在一定的幾何意義. 過曲線上任意一點(diǎn)P，分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)M和N，如圖3，連接OP，則k表示的就是矩形PMON的面積，即S矩形PMON=PM·PN=y ·x =k，而S△OPM=S△OPN= k.因此對于三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為原點(diǎn)和反比例函數(shù)曲線上的點(diǎn)，以及一條邊與坐標(biāo)軸相重合的三角形，其面積可以表示為 k.

例1：點(diǎn)M為x軸正半軸上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作與y軸相平行的直線，與函數(shù)y= （x>0）和y= （x>0）的圖像分別相交于點(diǎn)P和Q，如圖4所示，連接OP和OQ，試求△OPQ的面積.

解析 x軸將△OPQ分割成兩部分，所以其面積可以表示為S△OPQ=S△OPM+S△OQM，而結(jié)合反比例函數(shù)的幾何性質(zhì)可得S△OPM= k1，S△OQM= k2，即S△OPQ= （k1+k2）.

2. 巧作面積割補(bǔ)，構(gòu)建“鉛垂高—水平寬”模型

在函數(shù)背景中經(jīng)常出現(xiàn)求一般三角形的面積問題，此時(shí)就無法直接利用面積公式來直接構(gòu)建求解模型，實(shí)際上我們可以通過面積割補(bǔ)的方式借用“鉛垂高—水平寬”模型，如圖5所示，分別過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)作三條與水平方向垂直的垂線，則外側(cè)兩條垂線之間的距離稱之為“水平寬”，記為a;而穿過三角形內(nèi)部的直線長度稱之為“鉛垂高”，記為h，則S△ABC= ah.

證明過程如下 穿過三角形的垂線將△ABC分割為△ADB和△ADC兩部分，則△ADB和△ADC可以視為是有共同底AD和不同頂點(diǎn)的三角形，即同底三角形. 設(shè)AD分別到點(diǎn)B和點(diǎn)C的距離為h1和h2，則S△ABC= S△ADB+S△ADC= a（h1+h2）= ah. 而在函數(shù)背景下使用該模型時(shí)就可以結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)來表示a和h，即a=xC-xB，h=yA-yD，則S△ABC= ·xC-xB·yA-yD，因此解析時(shí)只需要分析直角坐標(biāo)系中關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)即可.

例2：如圖6所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-1，-1），B（3，-3），若拋物線經(jīng)過A，B，O三點(diǎn)，連接OA，OB，AB，線段AB交y軸于點(diǎn)C，試回答下列問題：

（1）求拋物線的解析式.

（2）若點(diǎn)P是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線PC與拋物線相交于點(diǎn)D和E，其中點(diǎn)D位于y軸的右側(cè)，連接OD和BD.

①分析△OPC為等腰三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);

②試求△BOD面積的最大值以及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo).

解析 這里只分析第（2）問的第②小問，可求得拋物線的解析式y(tǒng)=- x2+ x，過點(diǎn)D作y軸的平行線，與OB相交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)H，則△BOD的“鉛垂高”為DQ，“水平寬”為OH，所以S△BOD= DQ·OH. 設(shè)Q（x，-x），則Dx，- x2+ x，QD= - x2+ x，OH=3，所以S△BOD= ×- x2+ x×3=- x- 2+ ，分析可知x= ，S△BOD取得最大值 ，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ，- .

教學(xué)思考

1. 聚焦問題重點(diǎn)，強(qiáng)化基礎(chǔ)知識

上述屬于中考常見的函數(shù)與幾何圖形相結(jié)合的考題，從問題突破的過程來看，充分把握問題重點(diǎn)，靈活使用性質(zhì)定理是關(guān)鍵. 例如上述第（3）問分析面積最大值時(shí)，把握了構(gòu)建面積模型、轉(zhuǎn)化線段參數(shù)的解析重點(diǎn)，充分利用三角形的面積公式和基本不等式的性質(zhì)等知識來加以突破. 因此在開展考題教學(xué)時(shí)，需要教師首先引導(dǎo)學(xué)生對問題結(jié)構(gòu)進(jìn)行拆解，挖掘問題實(shí)質(zhì)，然后結(jié)合所涉內(nèi)容來思考問題突破所需的定理定義、公式方法等，并進(jìn)行系統(tǒng)的整理，幫助學(xué)生完成知識的強(qiáng)化.

2. 關(guān)注思路構(gòu)建，拓展解題思維

函數(shù)背景中的幾何面積問題是初中數(shù)學(xué)的代表性問題，因融合了幾何與函數(shù)相關(guān)知識，具有極高的綜合性，因此在問題突破時(shí)特別需要關(guān)注思路的構(gòu)建過程，包括構(gòu)建模型，轉(zhuǎn)化策略，解析方法等. 例如上述在分析幾何面積時(shí)由面積公式出發(fā)，將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，利用基本不等式的性質(zhì)來分析最值. 另外在教學(xué)時(shí)還需要教師引導(dǎo)學(xué)生探究類型問題的突破策略，總結(jié)模型構(gòu)建的方法，逐步提升學(xué)生的解題思維.

3. 滲透思想方法，提升綜合素養(yǎng)

考題突破的過程中需要使用對應(yīng)的思想方法來指導(dǎo)問題轉(zhuǎn)化. 例如上述在分析面積問題時(shí)涉及了模型思想、化歸轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，這也是函數(shù)與幾何綜合題常用到的數(shù)學(xué)思想. 因此教學(xué)時(shí)需要教師適度滲透數(shù)學(xué)思想，合理引導(dǎo)思考，讓學(xué)生經(jīng)歷思想方法指導(dǎo)解題的過程，在解題中逐步感知數(shù)學(xué)思想. 考題教學(xué)的最終目標(biāo)是提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)，而滲透了數(shù)學(xué)思想的問題探究能夠全方面地提高學(xué)生的素質(zhì)，值得倡導(dǎo).