孫世林

[摘? 要] 歷年高考中的解析幾何試題具有綜合性強的特點，對能力要求高，考生普遍失分較多. 解析幾何綜合問題常為在運動變化過程中探究某些不變的性質與規(guī)律，解題時要深入探究產生運動變化的根源，從產生運動變化的根源入手，能快捷地解決此類問題;解析幾何知識本質是用代數的方法研究幾何問題，運算能力成為解決解析幾何問題的必備能力，因此重視代數計算，提高數學核心素養(yǎng)之計算能力的培養(yǎng)是解析幾何教學中必須引起重視的重要環(huán)節(jié).

[關鍵詞] 解析幾何;計算能力;解題策略

2018年北京高考文科20題是一道解析幾何問題，綜合性強，能力要求高，全面深入地考查了解析幾何的知識本質，同時也很好地體現(xiàn)了對數學核心素養(yǎng)之數學運算的考查. 在高考中考生雖然解題思路較為清晰，但考生卻普遍失分較多，究其原因主要是數學運算的問題，解析幾何的知識本質是用代數的方法研究幾何問題，所以運算能力成為解決解析幾何問題的必備能力，下面通過2018年北京高考文科20題解法的探究，談談在解題過程中如何把握代數運算，完善解題過程.

[?]考題在現(xiàn)

[?]解法探究

分析1：對于本題，第一問求橢圓的標準方程，很容易求得. 第二問根據弦長公式，也可比較容易地得出弦長的最大值.在第三問中，直線l與橢圓M交于A，B，P，Q為定點，連接PA，PB與橢圓M的另一個交點分別為C，D，求C，D，Q共線時直線l的斜率，通過題設可知產生本題中的運動變化的根源是直線l，所以我們可從直線l入手.設直線l與橢圓M的交點坐標為A（x1，y1），B（x2，y2），由于本題是求直線l的斜率，所以應借助C，D，Q共線，尋求的值.

點評：解析幾何綜合問題常為在運動變化過程中探究某些不變的性質與規(guī)律，對于這類運動變化問題，解題時要深入探究產生運動變化的根源，從產生運動變化的根源入手，自然快捷地解決此類問題. 另外，解析幾何較歐氏幾何，最大的優(yōu)勢是把“運動變化引入幾何”，實現(xiàn)了“用坐標刻畫運動”;這種用代數手段來研究幾何問題的偉大構想就是解析幾何的本質，所以代數運算是解決解析幾何問題必須經歷的過程，并且有的代數運算是相當煩瑣的，所以在平時的學習中要有意識強化代數運算，提高我們的計算能力.

分析2：在第三問中，可以理解為從點P（-2，0）作兩條直線分別與橢圓M依次交于C，A和D，B，求點C，D，Q共線時AB所在直線l的斜率，所以過點P（-2，0）作兩條直線是本題中的運動變化的根源. 解決本題從PA，PB入手，設PA所在直線方程為y=k1（x+2），PB所在直線方程為y=k2（x+2），借助C，D，Q共線，尋求點A，B坐標的關系，從而求出直線AB的斜率.

點評：解析幾何的核心方法是用代數的方法研究幾何問題，在解題過程中，首先要將文字信息、圖形條件進行對比互補，用恰當的代數語言描述幾何要素及其關系，將已知的幾何條件表示成代數形式，然后進行適當的代數運算得出代數結果，最后通過分析代數結果的幾何含義解決幾何問題. 在這個過程中要經歷文字信息、圖形特征和符號語言之間的多重轉換，但無論怎么轉化代數運算的結果的正確與否直接關系解題的成敗，所以重視代數計算，提高數學核心素養(yǎng)之計算能力的培養(yǎng)是解析幾何教學中必須引起重視的重要環(huán)節(jié).

分析3：對于“直線與圓錐曲線的綜合問題”問題，通常將直線方程和曲線方程進行聯(lián)立，消元后得到一個一元二次方程，再結合韋達定理、根的判別式等來處理相關問題，這似乎成為解決圓錐曲線綜合問題“通用”的解題策略，其本質就是相關“點”是直線與圓錐曲線的“公共點”，從而轉化為方程組的解，借助方程組的解來探究題目中的幾何關系;但這種“通用”的解題策略有時會有較為煩瑣的解題過程，深入思考此種方法，可以直接將點的坐標代入圓錐曲線或直線方程，再借助“點坐標”這一代數形式下的運算實現(xiàn)對題目中幾何關系的探究，避免了解方程組的煩瑣，從而簡化運算.

點評：此種解法避開了解決圓錐曲線綜合問題“通用”的“聯(lián)立方程、消元、韋達定理、根的判別式”解題策略，由于題目中相關的點是橢圓和直線的公共點，此種解法充分抓住了這些點的坐標滿足相應的方程的特點，從而轉化為這些點坐標間滿足的關系，再尋求這些坐標間的“相關聯(lián)之處”，從而解決此題.此種法法很好地體現(xiàn)了解析幾何的本質，即“用坐標刻畫運動，用代數方法來研究幾何問題”.

[?]反思

圓錐曲線是一個幾何圖形，圓錐曲線問題中包含了一系列的幾何關系，怎樣才能更好地研究這些幾何圖形中的幾何關系，數學中引入了“解析法”，其核心是用代數的方法研究幾何.在解決解析幾何問題時，要借助平面直角坐標系，將平面內的“點”與“數對”之間建立一一對應的關系，要深入探究用什么樣的代數形式表示題目中的幾何關系，再通過對代數關系的研究，實現(xiàn)研究幾何圖形性質的目的.

學習解析幾何的攔路虎之一就是代數變換的煩瑣、冗長，需要較強的運算能力. 解題過程中，許多學生都是因為不能順利進行代數變換而導致失敗. 而高中數學課程中明確提出應注意提高學生的數學思維能力，這是數學教育的基本目標之一，其中運算求解、數據處理能力就是數學思維能力的具體體現(xiàn)，考綱中也明確提出了考查學生的運算求解能力和數據處理能力的具體要求. 因此，教師不要將計算結果直接給出，在課堂上和復習中應舍得花時間和學生同甘共苦經歷計算的過程，向學生闡述每一步計算的算理，提醒學生注意每一個計算細節(jié)，區(qū)分不同參數的地位作用，教給學生重要的代數變換方法和必備的計算技巧，運算能力的提高是一個長久且螺旋式上升的過程，教師要注重對學生進行算法、算理的引導，教師要結合學生的實際有意識地設計一些開放性問題讓學生去探究，培養(yǎng)學生耐心細致的運算習慣，培養(yǎng)學生的意志力，教育學生要有信心、耐心和恒心，同時引領學生根據有關“形”的特征盡量減少運算，充分利用定義、形的特征簡化運算，相信學生的運算能力一定能提升，使得學生解決解析幾何問題更加得心應手.

解析幾何中涉及直線與圓錐曲線的綜合問題一直是高考、高校自主招生及各類競賽的熱點、難點、重點，尤其面對煩瑣的步驟及復雜的計算，往往令學生束手無策，甚至產生畏懼心理. 在教學實踐中，學生往往直奔主題，強行求解，這樣不僅花費了大量的寶貴時間，而且往往因為字母多、步驟繁、計算量大導致精神緊張、體力透支、推理出錯，出現(xiàn)絕大多數學生半途而廢甚至無功而返的尷尬局面. 上述解法探究，重點在如何恰當利用題目中的幾何條件、如何優(yōu)化解題過程、怎樣細化代數運算的探究，特別是對代數運算的關鍵環(huán)節(jié)的處理做了深入細致的分析，希望能給學生的解題帶來幫助.