呂玉梅

[摘? 要] 縱觀近幾年的高考數(shù)學(xué)，結(jié)合筆者多年的高三教學(xué)體會，發(fā)現(xiàn)中檔題成為學(xué)生間成績差異的一道分水嶺.因此，如何引導(dǎo)學(xué)生突破中檔題也就成了一線教師特別關(guān)注的一個(gè)問題. 如2017年江蘇高考第18題，就將不少學(xué)生攔在了高分的門外，也是受這道題的啟發(fā)，筆者深深體會到，深刻理解化歸思想，熟練掌握轉(zhuǎn)化方法，是學(xué)生突破中檔題至關(guān)重要的因素. 文章結(jié)合具體實(shí)例，著重闡述了教師應(yīng)從多角度引導(dǎo)學(xué)生探尋有效的化歸途徑，化繁為簡，化難為易，化生為熟，化中檔為簡單，提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題效率與質(zhì)量，從而達(dá)到突破中檔題的目的.

[關(guān)鍵詞] 化歸;中檔題;突破

中檔題是指難度介于簡單題與難題之間的題目. 多年高三教學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明，學(xué)生中檔題得分情況基本上決定了分?jǐn)?shù)高低.道理很顯然，簡單的題目大家都會做，主要是看誰更細(xì)心，難的題目只是少部分人可以做，對大多數(shù)學(xué)生來說，中檔題解決的成敗就成了成績差異的分水嶺. 正因?yàn)槿绱?，在平時(shí)的復(fù)習(xí)與訓(xùn)練中，我們自然也會在中檔題上多花些工夫，有時(shí)甚至?xí)奚恍┗A(chǔ)題練習(xí)時(shí)間進(jìn)行中檔題訓(xùn)練，但結(jié)果卻不如所愿，沒有收到我們期望的效果，一些學(xué)生面對中檔題依然束手無策. 這就應(yīng)該引起我們的反思，是什么原因造成這種事倍功半的情況？

其實(shí)任何一道數(shù)學(xué)問題的解決都少不了轉(zhuǎn)化與化歸，也就是將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，將不熟悉的問題化歸為熟悉問題，從而使問題得到解決. 筆者認(rèn)為，要在教學(xué)中不斷滲透“化歸”的思想，讓學(xué)生理解化歸思想精髓，讓化歸扎根于內(nèi)心，讓化歸成為一種思維習(xí)慣.

中檔題的求解在轉(zhuǎn)化與化歸時(shí)候常常不是特別明顯，需要我們仔細(xì)觀察，善于聯(lián)想，有時(shí)還需要適當(dāng)變形才能發(fā)現(xiàn)如何轉(zhuǎn)化. 下面舉例說明如何在平時(shí)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生多角度探尋有效的化歸途徑，改善解題思路，有效提高解題效率，從而達(dá)到突破中檔題的目的.

注重整體觀察視角，減少變量，化多元為一元

當(dāng)遇到一個(gè)問題中含有多個(gè)變元時(shí)，減少變元個(gè)數(shù)是我們的首要選擇，這時(shí)需要依托對問題條件和結(jié)論所進(jìn)行的觀察、分析，發(fā)現(xiàn)二者之間的聯(lián)系，進(jìn)而合理地將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為其他可以解決的問題，從而使問題獲得解決.

反思：多元函數(shù)是我們不熟悉的內(nèi)容，而一元函數(shù)是我們高中階段研究的主要函數(shù)類型. 因此，多元變量求最值總的指導(dǎo)思想就是“消元”，而消元方式除了上述所講的主元法、不等式法，常見的還有等量代換消元、不等代換消元、整體消元等，在遇到多元問題時(shí)，我們要有強(qiáng)烈的消元意識，適當(dāng)變換視角，化多元為一元，化不熟悉為熟悉，從而達(dá)到突破多元障礙的目的.

增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合意識，揚(yáng)長避短，化抽象為直觀

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)，以數(shù)構(gòu)形，以形助數(shù)成為解決問題的重要策略，因此考慮問題不能僅僅局限于代數(shù)視角，還應(yīng)該借助于圖形. 常用的方法是通過觀察或者適當(dāng)變形后聯(lián)想起與之相關(guān)的幾何圖形或幾何意義，增強(qiáng)直觀，從而實(shí)現(xiàn)抽象問題形象化，促進(jìn)問題解決.

反思：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”. 一方面，在解決代數(shù)問題時(shí)，化代數(shù)為幾何，化隱性為顯性，化抽象為直觀，借助幾何圖形研究代數(shù)問題是我們突破代數(shù)抽象性的一個(gè)重要方式;另一方面，在遇到某些非特殊的、動(dòng)態(tài)的圖形問題時(shí)（如解三角形、解析幾何等），我們通常需要借助代數(shù)特征來提高圖形特征的精準(zhǔn)度，化幾何問題為代數(shù)問題，借助數(shù)量關(guān)系來研究圖形特征. “數(shù)形結(jié)合”很好地發(fā)揮了形的直觀性和數(shù)的嚴(yán)密性，兩者相輔相成，揚(yáng)長避短，因此，數(shù)與形之間合理的轉(zhuǎn)化是突破中檔題的一種重要方式.

重視降低維度方法，簡化圖形，化空間為平面

空間問題常常轉(zhuǎn)化為平面問題，在學(xué)習(xí)空間幾何知識時(shí)，就有很好的示例，比如面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，線面垂直再轉(zhuǎn)化為線線垂直. 兩異面直線所成的角、線面角、二面角等概念都是轉(zhuǎn)化為線線角（也就是平面角）來定義的. 我們在講授這些知識時(shí)候，要不斷地滲透這種思想方法，學(xué)生在思考問題時(shí)才能自覺模仿，久而久之，這些思想方法變成他們解決問題時(shí)的自覺行為.

反思：此題是2017年江蘇高考第18題，當(dāng)年該題得分率很低，原因有兩個(gè)：一是很多考生第一眼看到是倒置的棱臺，而棱臺的內(nèi)容高考基本上是不考的，平時(shí)復(fù)習(xí)也不會作為重點(diǎn)，所以學(xué)生心里會就有陌生的感覺;二是學(xué)生將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的意識差，若在原來的立體圖形中畫輔助線，這對空間想象能力的要求比較高，很多人因此無功而返. 因此，我們在解決空間問題時(shí)需要有強(qiáng)烈的轉(zhuǎn)化為平面問題的意識和策略，化空間為平面，降低緯度，簡化圖形. 而目前立體幾何的教學(xué)顯然在這些方面是欠缺的，這就要求教師在新課講授和習(xí)題教學(xué)環(huán)節(jié)強(qiáng)化這種意識的教學(xué).

另外，在轉(zhuǎn)化為平面圖形問題后，利用建系的方法將煩瑣的解三角形運(yùn)算轉(zhuǎn)化為求直線方程和兩直線交點(diǎn)問題，確實(shí)比較簡便. 這體現(xiàn)了將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的方法.

秉持化歸轉(zhuǎn)化思路，揭示本質(zhì)，化未知為已知

高考中常常出現(xiàn)“新情境”問題，所謂新情境問題就是給出了一個(gè)新的描述，刻畫了一個(gè)新的概念，所要解決的問題是在描述這種新情境下求解的問題. 解決這類問題的關(guān)鍵是理清新定義所描述問題的內(nèi)涵與外延，既要關(guān)注字面意思又要注重深層理解. 這時(shí)尤其需要靜下心來，先弄清楚問題的本質(zhì)，仔細(xì)分析已知條件到底告訴了我們哪些關(guān)系，問題到底要求什么，將模糊的網(wǎng)狀關(guān)聯(lián)關(guān)系轉(zhuǎn)化為清晰的因果關(guān)系，一步步轉(zhuǎn)化為我們熟悉的常見題型，使問題得以解決.

反思：問題的求解過程正是一步步地轉(zhuǎn)化與化歸的過程，先由新情境描述的存在“S點(diǎn)”問題轉(zhuǎn)化為方程組有正解問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為其中一個(gè)方程有正解問題，從而確定該正根的范圍，再回到原方程組，消去一個(gè)參數(shù)轉(zhuǎn)化為根的分布問題，也可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題，在求值域時(shí)又利用換元不斷轉(zhuǎn)化為我們熟悉的常見函數(shù)問題. 該題是2018年江蘇高考第19題，難度層次分明，（1）（2）兩問變量單一，學(xué)生比較容易解決，第（3）問變量較多，而且各變量之間相互影響，命題者還在變量的身份上做了一點(diǎn)變化，這就有悖于學(xué)生的思維習(xí)慣，加大了難度，對學(xué)生思維的條理性和轉(zhuǎn)化能力要求較高. 需要學(xué)生靜下心來分析條件，發(fā)現(xiàn)突破口，理清思維方向，一步步轉(zhuǎn)化才能完成. 這就要求教師在教學(xué)中要通過各種途徑，各個(gè)角度不斷滲透化歸和轉(zhuǎn)化的意識，使之成為解題的自覺思考行為.

數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)學(xué)生思維能力的學(xué)科，高考也在逐步由應(yīng)試教育考核轉(zhuǎn)變?yōu)樗刭|(zhì)教育考核，對學(xué)生思維能力的要求越來越高.數(shù)學(xué)的解題過程就是一個(gè)學(xué)生思維的呈現(xiàn)過程，中檔題正是考查學(xué)生思維能力的很好載體. 對學(xué)生來講，中檔題之所以難，主要是因?yàn)槟吧?、未知、不確定、抽象等，因此對于中檔題的突破，除了機(jī)械的模仿和記憶以外，更需要學(xué)生能真正讀懂條件，明確問題，這就需要學(xué)生具有一定的轉(zhuǎn)化能力.而化歸的思想作為數(shù)學(xué)解題的思想方法其實(shí)施途徑是多樣化的，“化高為低、化虛為實(shí)、化整為零、化異為同，文字與符號、圖形間的轉(zhuǎn)化……”都是解題中常用的方式，作為一線高中數(shù)學(xué)教師，在講解中檔題時(shí)不僅要幫助學(xué)生積累常見的化歸方式，更應(yīng)該注重引導(dǎo)學(xué)生對化歸途徑的有效探尋，善于從題目中捕捉到化歸的突破口，讓學(xué)生在探尋中發(fā)揮自身的創(chuàng)新思維，化陌生為熟悉，化未知為已知，化不定為確定，從而達(dá)到化難為易、化中檔為簡單的目的.