王金秀

[摘要]數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每一個(gè)公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)，運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)之一。提高學(xué)生的運(yùn)算能力，關(guān)鍵是要科學(xué)地處理好算理和算法的關(guān)系，尋求算理與算法的最佳平衡點(diǎn)。重算理輕算法，只會(huì)紙上談兵頻出錯(cuò);輕算理重算法，則使學(xué)生計(jì)算缺乏支撐，不利于學(xué)生思維發(fā)展，只有重算理明算法，才能提高學(xué)生運(yùn)算能力，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞]算理算法 運(yùn)算能力 數(shù)學(xué)素養(yǎng)

如何提高學(xué)生的運(yùn)算能力，應(yīng)該是數(shù)學(xué)教學(xué)的熱點(diǎn)問題。數(shù)的運(yùn)算教學(xué)，首要問題是要科學(xué)地處理好算理和算法的關(guān)系，尋求算理與算法的最佳平衡點(diǎn)，從而提高學(xué)生的運(yùn)算能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

在計(jì)算教學(xué)中，算理與算法是兩個(gè)不可或缺的關(guān)鍵。那么何為算理，何為算法呢？從字面上不難理解，算理就是計(jì)算過程中的道理，解決為什么這樣算的問題;算法就是計(jì)算的方法，主要是指計(jì)算的法則，解決怎樣算的問題。算理是對(duì)算法的解釋，是理解算法的前提，算法是對(duì)算理的總結(jié)與提煉，它們是相互聯(lián)系、有機(jī)統(tǒng)一的整體。透徹理解算理和熟練掌握算法是提高學(xué)生運(yùn)算能力的重要保證。但在實(shí)際教學(xué)中，我們教師往往難以把握二者之間的平衡關(guān)系，從而使學(xué)生的思維得不到應(yīng)有的發(fā)展，阻礙了學(xué)生運(yùn)算能力的提高。下文以《兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算》的教學(xué)實(shí)錄為例，探尋出各種課型的利弊，找到算理與算法最佳的平衡點(diǎn)，以使達(dá)到最佳的教學(xué)效果。

一、重算理輕算法，眼高手低頻出錯(cuò)

學(xué)生在學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)之前，已經(jīng)熟練掌握了兩位數(shù)乘一位數(shù)。而筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)時(shí)，實(shí)際上是用第一個(gè)乘數(shù)分別去乘第二個(gè)乘數(shù)個(gè)位和十位上的數(shù)，再把兩次乘得的結(jié)果相加;而乘第二個(gè)乘數(shù)十位上的數(shù)時(shí)，乘得的數(shù)的末位要和十位對(duì)齊，這是因?yàn)榈诙蜗喑说玫降氖侨舾蓚€(gè)十。由于筆算時(shí)的對(duì)齊方式與以前的大不相同，所以讓學(xué)生理解為什么這樣對(duì)齊就顯得尤為重要。某位教師在探索算法時(shí)是這樣處理的：

1.以舊引新，鋪墊算理

師：每箱南瓜24個(gè)，利用以前的知識(shí)，你能算出幾箱南瓜的個(gè)數(shù)嗎？

生1：我能算出2箱南瓜一共48個(gè)，24×2=48。

生2：我能算出5箱南瓜一共120個(gè)，24×5=120。

師：剛才同學(xué)們計(jì)算的都是不超過10箱的南瓜個(gè)數(shù)，請(qǐng)開動(dòng)腦筋，想一想，你能算出更多箱南瓜的個(gè)數(shù)嗎？

生3：我能算出12箱南瓜的個(gè)數(shù)，24×10=240，24×2=48，240+48=288。

生4：我也能算出12箱南瓜的個(gè)數(shù)，我是這樣算的：24×6=144，144×2=288。

師：同學(xué)們真有辦法，利用兩位數(shù)乘一位數(shù)的知識(shí)，間接地算出了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的得數(shù)，真厲害！而我們以前在學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘一位數(shù)時(shí)還學(xué)過用豎式計(jì)算，其實(shí)用豎式計(jì)算也是表示計(jì)算過程的一種方式。

2.直觀理解，強(qiáng)化算理

師：你能用豎式算出2箱南瓜的個(gè)數(shù)嗎？（生集體說，師板書）

師：如果幼兒園購(gòu)進(jìn)12箱南瓜，一共有多少個(gè)？用豎式該怎樣算呢？其實(shí)我們可以借鑒剛才的方法，在豎式計(jì)算時(shí)分三步來算，先算2箱南瓜的個(gè)數(shù)，再算10箱南瓜的個(gè)數(shù)，最后合起來就是12箱南瓜的個(gè)數(shù)。

師：你能說出每一步算的是什么嗎？同桌之間互相說一說。

3.及時(shí)鞏固，深化算理

師：用豎式計(jì)算和剛才的算法相比，方便多了，我們一起來試一試吧。

這位教師對(duì)算理的處理很到位，學(xué)生理解得都很透徹，但是對(duì)算法的處理明顯欠妥，他把教學(xué)的重點(diǎn)放在了理解算理上，卻忽略了對(duì)計(jì)算過程的梳理與計(jì)算方法的總結(jié)。歸根結(jié)底，問題就在于輕視算法上，學(xué)生雖然對(duì)筆算的道理理解了，卻無法提高筆算的能力，學(xué)生也就“眼高手低”，自然不利于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升了。

二、輕算理重算法，紙上得來終覺淺

還記得自己讀小學(xué)時(shí)，筆者對(duì)數(shù)學(xué)這門學(xué)科算得上情有獨(dú)鐘，印象也頗深刻。特別是計(jì)算課，仔細(xì)想來，一般都是教師先呈現(xiàn)一道例題，然后示范講解計(jì)算過程，最后總結(jié)計(jì)算法則，再讓我們把計(jì)算法則一字一句地背誦下來?？荚嚂r(shí)計(jì)算法則還會(huì)以填空題的形式出現(xiàn)。這樣看來，那時(shí)的計(jì)算教學(xué)是很明顯重算法輕算理的。即使課改多年的今天，在實(shí)際的教學(xué)中，依然有教師喜歡捷徑，直接講授算法，而忽略了學(xué)生對(duì)算理的理解。從下面這位教師對(duì)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的處理上我們不難看出。

1.開門見山，揭示任務(wù)

師：幼兒園購(gòu)進(jìn)12箱迷你南瓜，每箱24個(gè)，一共有多少個(gè)？你會(huì)列式計(jì)算嗎？

生：24×12。

師：這是一道兩位數(shù)乘兩位數(shù)的題目，今天我們就來學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)。

2.古今中外，了解算法

師：你想知道，在我國(guó)的古代，人們是怎樣計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的題目嗎？一起來看。

多媒體介紹：我國(guó)明朝的《算法統(tǒng)宗》里講述了一種“鋪地錦”的乘法計(jì)算方法，是利用方格來算的。例如，計(jì)算62×37時(shí)，先把乘數(shù)寫在方格的上面和右面，然后把一個(gè)乘數(shù)各位上的數(shù)分別和另一個(gè)乘數(shù)各位上的數(shù)相乘，積寫在相應(yīng)的方格里，再?gòu)挠蚁路介_始，把斜對(duì)著的數(shù)相加，就得到相乘的積2294。

3.簡(jiǎn)明扼要，介紹算法

師：現(xiàn)在，我們一般用豎式來計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)。用豎式計(jì)算24×12時(shí)，第一步用12個(gè)位上的2去乘24，乘得的末位要和2對(duì)齊;第二步用12十位上的1去乘24，乘得的數(shù)的末位要和1對(duì)齊;第三步要把兩次乘得的結(jié)果相加?，F(xiàn)在就請(qǐng)同桌之間相互交流一下筆算24×12的計(jì)算過程。誰再來復(fù)述一遍。

生：第一步，用……

4.及時(shí)鞏固，掌握算法

師：你會(huì)用豎式計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)了嗎？我們一起來試一試吧！

這位教師對(duì)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的處理，明顯急功近利，目的就是讓學(xué)生直接掌握筆算方法。雖然他為學(xué)生介紹了古今中外的各種算法，開闊了學(xué)生的視野，但是學(xué)生只是簡(jiǎn)單地接受算法，照著葫蘆畫瓢，對(duì)每一步為什么這樣算毫無思考，雖然經(jīng)過大量的練習(xí)，學(xué)生的計(jì)算正確率也能得到保證，但是這種做法的后果，將會(huì)是限制學(xué)生思維的發(fā)展，由于沒有算理的支撐，一段時(shí)間以后，學(xué)生很快就把算法遺忘了，這當(dāng)然也不利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。

三、重算理明算法，融會(huì)貫通有成效

實(shí)踐證明，在計(jì)算教學(xué)中，我們不能一味地重視算理，忽略算法，更不能簡(jiǎn)單地強(qiáng)調(diào)算法，省略算理。我們要讓學(xué)生在透徹理解算理的基礎(chǔ)上熟練掌握算法，下面的教師就是這么做的：

1.嘗試計(jì)算

師：24×12是一道兩位數(shù)乘兩位數(shù)的試題，你能利用以前的知識(shí)，嘗試算出答案嗎？

生1：我先算出6箱有多少個(gè)，再算12箱有多少個(gè)：24×6=144，144×2=288。

生2：我先算10箱和2箱各有多少個(gè)，再合起來：24×10=240，24×2=48，240+48=288。

2.理解算理

師：其實(shí)，計(jì)算24×12時(shí)，我們也可以像剛才那樣，先算2箱南瓜的個(gè)數(shù)，用2×24，得數(shù)寫在橫線下面;再算10箱南瓜的個(gè)數(shù)，用10×24，得數(shù)接著往下寫，最后把兩次乘得的得數(shù)相加。你能看著算式說一說每一步算出的是幾箱南瓜的個(gè)數(shù)嗎？

生3：48是2箱的個(gè)數(shù)，240是10箱的個(gè)數(shù)，288是12箱的個(gè)數(shù)。

3.梳理過程

師：在筆算24×12時(shí)，我們一般這樣算：第一步用12個(gè)位上的2去乘24，乘得的末位要和2對(duì)齊;第二步用12十位上的1去乘24，乘得的數(shù)的末位要和1對(duì)齊;第三步要把兩次乘得的結(jié)果相加。想一想：用1乘24時(shí)，乘得的數(shù)末位為什么要和1對(duì)齊？

生1：因?yàn)槭簧系?表示1個(gè)十，得到的結(jié)果表示24個(gè)十，所以要和1對(duì)齊。

生2：因?yàn)檫@一步算的是10箱南瓜有240個(gè)，所以4要和十位的1對(duì)齊。

師：同學(xué)們理解得都很正確，我們一起把筆算的過程說一說吧。

4.掌握算法

師：知道了筆算的過程，也明白了每一步算的是什么，我們就能正確地計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)了，一起來練一練。

這位教師在處理算理與算法的關(guān)系時(shí)，避免了傳統(tǒng)的計(jì)算教學(xué)只注重計(jì)算結(jié)果和計(jì)算速度，一味強(qiáng)化算法演練，忽視算理的推導(dǎo)的弊端，也避免了一些年輕教師在理解算理上大做文章，過分強(qiáng)調(diào)為什么這樣算，還可以怎樣算，卻缺少對(duì)算法的提煉與鞏固，造成學(xué)生理解算理過繁，掌握算法過難的另一種極端。

對(duì)此筆者認(rèn)為，處理計(jì)算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系時(shí)還應(yīng)注意從思想上認(rèn)識(shí)到算理與算法是計(jì)算教學(xué)中有機(jī)統(tǒng)一的整體，形式上可分，實(shí)質(zhì)上不可分，重算法必須重算理，重算理也要重算法。算法形成不能依賴形式上的模仿，而要依靠算理的透徹理解，只有在真正理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法、形成計(jì)算技能，才能算是找到了算理與算法的平衡點(diǎn)。

對(duì)于計(jì)算教學(xué)來說，算理與算法是同等重要的，就像天平的兩端，哪一方偏重了，課堂都會(huì)失衡。我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)力求讓學(xué)生透徹理解算理，熟練掌握算法，這樣才能促進(jìn)學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到健康的發(fā)展，使學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到全面提升。