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概念教學(xué)需篤思,勿以其小而疏之

2019-08-07 01:05夏青青
關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)

夏青青

【摘要】概念是思維的基本單位,由此可見(jiàn)數(shù)學(xué)概念的重要地位.但由于數(shù)學(xué)概念自身的特點(diǎn),在教學(xué)實(shí)踐中,還是會(huì)不同程度地存在直接給出或過(guò)快帶過(guò)數(shù)學(xué)概念,導(dǎo)致學(xué)生沒(méi)有真正掌握概念的內(nèi)涵;或者以解題教學(xué)代替概念教學(xué),導(dǎo)致學(xué)生耗費(fèi)了大量時(shí)間精力學(xué)習(xí),卻對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容,方法和意義知之甚少.不但增大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難度,甚至還會(huì)讓孩子對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生偏見(jiàn),滋生畏難和討厭心理,淪為無(wú)效甚至是負(fù)效教學(xué).針對(duì)這一現(xiàn)象,這幾年的教研也一直在強(qiáng)調(diào)概念教學(xué)的重要性,筆者結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)例淺談幾點(diǎn)對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的想法.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)概念;教學(xué)設(shè)計(jì);引導(dǎo)自然生成

教師自身要先能夠正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念的作用,才能重視概念教學(xué);要先能夠認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn),才能結(jié)合學(xué)生的思維水平設(shè)計(jì)概念教學(xué).

一、教師首先要能正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì),作用及特點(diǎn)

數(shù)學(xué)概念,就是事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性,是人們通過(guò)實(shí)踐,從數(shù)學(xué)所研究的對(duì)象的許多屬性中,總結(jié)出其本質(zhì)屬性概括而形成的.它是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、判斷的依據(jù),是建立數(shù)學(xué)定理、法則、公式的基礎(chǔ),也是形成數(shù)學(xué)思想方法的出發(fā)點(diǎn).學(xué)生在解決數(shù)學(xué)某一問(wèn)題遇到困難時(shí),如果追根求源,就會(huì)發(fā)現(xiàn),往往是由于他們?cè)谀骋粋€(gè)或某一些概念處產(chǎn)生問(wèn)題,而導(dǎo)致思維受阻.可見(jiàn),數(shù)學(xué)概念是學(xué)生必須掌握的重要基礎(chǔ)知識(shí)之一,是數(shù)學(xué)基本技能的形成與提高的必要條件,也是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容.

由于數(shù)學(xué)概念具有抽象性、發(fā)展性、生成性等特點(diǎn),而初中學(xué)生受認(rèn)知思維水平的限制,決定了他們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中,會(huì)對(duì)一些抽象的、不常接觸的概念不容易理解,需要教師進(jìn)行合理的教學(xué)設(shè)計(jì),使學(xué)生能夠參與概念的發(fā)生與形成過(guò)程中,了解概念的來(lái)龍去脈,理解概念的內(nèi)涵與外延,弄清概念之間的區(qū)別與聯(lián)系,在頭腦中形成相關(guān)概念的網(wǎng)絡(luò),以達(dá)到掌握并靈活運(yùn)用的程度.因此,如何設(shè)計(jì)概念教學(xué)才能達(dá)到上述目的非常關(guān)鍵,下面結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)例談一些感悟.

二、結(jié)合平時(shí)的教學(xué)實(shí)例具體解析如何設(shè)計(jì)概念課教學(xué)

(一)重視學(xué)習(xí)新概念的必要性需求,充分發(fā)揮學(xué)生的主體性

在概念課的引入上,要樹立起讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)的觀念,如果能讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突,對(duì)學(xué)習(xí)新概念的必要性產(chǎn)生需求,并主動(dòng)發(fā)現(xiàn)新概念是最佳途徑.這樣學(xué)生在運(yùn)用概念時(shí)不但“知其然”也“知其所以然”,同時(shí)還能培養(yǎng)他們的探究精神,激發(fā)學(xué)生的潛能.

比如,學(xué)習(xí)內(nèi)錯(cuò)角、同位角、同旁內(nèi)角的概念.

舊知:如圖所示的兩線四角∠1,∠2,∠3,∠4,任意兩角的關(guān)系;對(duì)頂角:∠1與∠3,∠2與∠4;鄰補(bǔ)角:∠1與∠4,∠1與∠2,∠4與∠3,∠3與∠2.

新知:如圖所示的三線八角,任意兩角的關(guān)系.

探究需求:對(duì)這八個(gè)角的任意兩個(gè)角,對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角顯然不夠用,還產(chǎn)生了新的位置關(guān)系的角組,這時(shí)就需要對(duì)其進(jìn)行探究命名.

有前面兩線四角的探究經(jīng)驗(yàn),學(xué)生已經(jīng)有能力自己去發(fā)現(xiàn)新的位置關(guān)系的角,教師只需激發(fā)學(xué)生的探究需求,并引導(dǎo)學(xué)生從位置關(guān)系去發(fā)現(xiàn)新的角組并嘗試對(duì)其進(jìn)行命名.一定要給出必要的時(shí)間讓學(xué)生去探尋,并讓學(xué)生說(shuō)出命名的緣由.以同位角為例,就有學(xué)生把它命為同側(cè)角,理由是它們都處在兩條被截線的同側(cè),在截線的同側(cè),這其實(shí)就是掌握了同位角的內(nèi)涵,要注意給予學(xué)生充分肯定后,再冠以教科書的同位角名字.這樣學(xué)生知其所以然后,必然牢牢地掌握了這個(gè)新概念.最終學(xué)生探究出來(lái)的不止這三類角(比如,∠4和∠7就有學(xué)生發(fā)現(xiàn)并命名為外側(cè)角),很好地鍛煉了學(xué)生的思維廣度.雖然學(xué)生對(duì)新角組的命名不一定會(huì)剛好和教科書的一樣,但這并不重要,關(guān)鍵是學(xué)生經(jīng)歷了主動(dòng)發(fā)現(xiàn)、分類探究、自主命名等一系列因需產(chǎn)生的自然探究過(guò)程,既真正掌握了概念的內(nèi)涵,又鍛煉發(fā)展了數(shù)學(xué)能力.

不單三線八角,還有圓心角、圓周角、相交、相切、相離、割線、切線等概念也可以按此思路來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué).

(二)注意挖掘概念本身背后的數(shù)學(xué)文化,增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,滲透數(shù)學(xué)育人價(jià)值

初中有些概念會(huì)比較抽象生澀,而且也較難引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)或?qū)ζ涿?,這時(shí)如何醞釀氛圍激發(fā)學(xué)生對(duì)新概念的學(xué)習(xí)興趣就顯得非常重要.初中的學(xué)生還是很喜歡聽故事的,而一些數(shù)學(xué)故事不單趣味性強(qiáng),里面也滲透著很多數(shù)學(xué)文化,也應(yīng)該讓學(xué)生多了解.比如,無(wú)理數(shù)的概念教學(xué).

舊的教法:在學(xué)習(xí)平方根,立方根后,就涌現(xiàn)了很多帶根號(hào)又開不盡的數(shù),這些都是無(wú)限不循環(huán)小數(shù),我們稱之為無(wú)理數(shù),從而給出無(wú)理數(shù)的概念.

問(wèn)題:這樣給出概念,感覺(jué)也不會(huì)突兀,但是通過(guò)作業(yè)反饋發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生沒(méi)掌握好.甚至到了初三總復(fù)習(xí)后還是會(huì)有一部分學(xué)生對(duì)這個(gè)概念一直迷糊,比如,常把227歸為無(wú)理數(shù).

糾因:按理“無(wú)限不循環(huán)小數(shù)”對(duì)學(xué)生的認(rèn)知水平來(lái)說(shuō),文字的理解難度并不大.學(xué)生如果掌握概念內(nèi)涵,就算忘了整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù),也能懂得通過(guò)動(dòng)手計(jì)算227來(lái)判斷它是否為無(wú)限不循環(huán)小數(shù).因此,無(wú)理數(shù)的概念在學(xué)時(shí)能理解,但就是較難記住,沒(méi)有掌握牢.

新的教法:在舊的教法給出無(wú)理數(shù)概念后,增加無(wú)理數(shù)的歷史由來(lái):公元前500年,古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的弟子希伯修斯發(fā)現(xiàn)了一個(gè)驚人的事實(shí),一個(gè)正方形的對(duì)角線與其一邊的長(zhǎng)度是不可公度的,這與畢氏學(xué)派“萬(wàn)物皆為數(shù)”(只有理數(shù))的哲理大相徑庭.這一發(fā)現(xiàn)使該學(xué)派領(lǐng)導(dǎo)人惶恐、惱怒,認(rèn)為這將動(dòng)搖他們?cè)趯W(xué)術(shù)界的統(tǒng)治地位.希伯修斯因此被囚禁,受到百般折磨,最后竟遭到沉舟身亡的懲處.人們?yōu)榱思o(jì)念希伯修斯就把不可通約的量取名為“無(wú)理數(shù)”.加入故事元素后,學(xué)生對(duì)無(wú)理數(shù)自然會(huì)感興趣,而且印象更深.這時(shí)在尊重歷史的前提下再做個(gè)通俗的遷移,從歷史來(lái)看,畢氏學(xué)派抹殺真理才是“無(wú)理”.從字面上看,都無(wú)限了還不循環(huán)真的很苛刻很無(wú)理,這樣學(xué)生對(duì)無(wú)理數(shù)的概念就記憶猶新.不單掌握了概念,也能從故事中感受到很多育人的價(jià)值點(diǎn).

(三)注重在充足的感性材料里認(rèn)識(shí)新概念,在充分地動(dòng)口動(dòng)手等具體實(shí)踐中感悟內(nèi)化新概念

數(shù)學(xué)概念有具體性和抽象性雙重特性.在教學(xué)中就可以從它具體性的一面入手,使學(xué)生形成抽象的數(shù)學(xué)概念.注意給學(xué)生足夠多的感性認(rèn)識(shí)材料.比如,全等形、相似三角形的概念,要給足夠多的圖形材料,引導(dǎo)學(xué)生去觀察歸類、發(fā)現(xiàn),并說(shuō)出其共同點(diǎn),最后抽象出其本質(zhì)特征.

要想方設(shè)法創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生親身感悟新概念,才能最大限度地掌握內(nèi)化概念內(nèi)涵.比如,在學(xué)了一元二次方程的概念后,不應(yīng)只是停留在教師給的例子辨析上,而是要讓學(xué)生自己舉例來(lái)內(nèi)化,在舉例的過(guò)程中,一個(gè)班五十個(gè)學(xué)生舉出的例子就有五十個(gè),比教師給出的多多了,而且可以就學(xué)生給出的再進(jìn)行辨析,還可以充分暴露學(xué)生掌握的不足,最終深化對(duì)概念的真正掌握.再比如,對(duì)比較抽象的絕對(duì)值的概念:一般地,數(shù)軸上表示A的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫作數(shù)A的絕對(duì)值,記做|a|.對(duì)初一的學(xué)生而言,對(duì)這句話的理解是有難度的,如何從表面理解突破到掌握本質(zhì),就是通過(guò)一直舉具體的例子讓學(xué)生說(shuō)出其意義,比如,|7|,|-4|,|0|,…代表什么,讓學(xué)生在具體數(shù)中充分操練,才能真正掌握概念內(nèi)涵.再比如,圓的內(nèi)接四邊形,給出概念后就可以讓學(xué)生去畫,這樣不但內(nèi)化了概念,還可以認(rèn)識(shí)到對(duì)給定的圓,存在無(wú)數(shù)多個(gè)內(nèi)接四邊形;但是對(duì)給定的四邊形要么只存在一個(gè)外接圓,要么就不存在.很多數(shù)學(xué)概念若能在動(dòng)手實(shí)踐中感悟,那么掌握內(nèi)化就在自然無(wú)形中,而這種效果才是最牢固的.

(四)抓住一些概念間形異實(shí)同,一脈相承的關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生的類比遷移、整體架構(gòu)能力

1.牢牢立足小學(xué)的“舊概念”,輕易吃透中學(xué)的“新概念”.

隨著小學(xué)進(jìn)入初中后數(shù)域的擴(kuò)展,小學(xué)的數(shù)學(xué)概念并不會(huì)因此而改變,而是直接沿用或完善.所以從回顧小學(xué)舊知出發(fā),直接引入或類比遷移即可.比如,倒數(shù)的概念就是直接沿用.

比如,“分式”里很多概念就可以立足于小學(xué)的知識(shí),抓住中學(xué)從數(shù)到式這點(diǎn),進(jìn)行類比遷移,學(xué)生較易接受和掌握.比如,分?jǐn)?shù)與分式,最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)與最簡(jiǎn)分式,公因數(shù)與公因式,小學(xué)通分與中學(xué)通分,小學(xué)約分與中學(xué)約分,小學(xué)的質(zhì)因數(shù)分解與中學(xué)的因式分解等.

2.識(shí)別出初中部分概念間的內(nèi)在一致性,學(xué)一“漁”便可獲多“魚”.

通過(guò)類比一元一次方程可以得到二元一次方程、一元二次方程的概念;類比一元一次方程的解集的概念可以得到二元一次方程的解、一元二次方程的解,一元一次不等式的解集的概念;類比方程組的解的概念可以得到不等式組的解集的概念;類比一次函數(shù)的概念可以得到二次函數(shù)的概念;類比平方根的概念就可以更容易認(rèn)識(shí)和接受立方根的概念.反過(guò)來(lái)后者的學(xué)習(xí)又能促進(jìn)對(duì)前者的進(jìn)一步認(rèn)識(shí),因此,做這樣的類比更有利于學(xué)生理解和區(qū)別概念,在對(duì)比之下,既掌握了概念,又可以減少概念的混淆和學(xué)習(xí)難度.

3.注意對(duì)同類概念適時(shí)地進(jìn)行歸一,提升學(xué)生的思維認(rèn)識(shí)高度.

當(dāng)初中的同類概念都學(xué)完時(shí),教師要注意適時(shí)對(duì)其進(jìn)行歸納.比如,在學(xué)完平行線的距離后,就可以對(duì)初中三個(gè)有關(guān)距離的概念進(jìn)行歸納反芻,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三者的內(nèi)在一致性,并引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到兩個(gè)圖形的距離就是:一個(gè)圖形上的任意一點(diǎn)與另一個(gè)圖形上的任意一點(diǎn)間的距離中的最小值.這樣學(xué)生的思維認(rèn)識(shí)高度就能提升一個(gè)高度,對(duì)后續(xù)高中學(xué)習(xí)兩圓的距離也做好了充足的知識(shí)鋪墊.

(五)從學(xué)生的思維特點(diǎn)及接受能力出發(fā),逐步螺旋上升地從表面到本質(zhì)地認(rèn)識(shí)概念

對(duì)比較抽象的概念不但要站在學(xué)生的思維高度來(lái)預(yù)估學(xué)生的學(xué)習(xí)難度,還要允許足夠長(zhǎng)的時(shí)間讓其逐步從表面到本質(zhì)地認(rèn)識(shí)概念,才有可能設(shè)計(jì)出合適的方式引導(dǎo)學(xué)生掌握概念.比如,函數(shù)的概念對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是相當(dāng)抽象的,不必也沒(méi)辦法第一次就掌握,按學(xué)生的思維能力和知識(shí)學(xué)習(xí)安排可分時(shí)做不同要求.

1.在一開始學(xué)習(xí)定義時(shí),對(duì)那么長(zhǎng)一串定義,大部分學(xué)生是相當(dāng)迷糊的.這時(shí)只要引導(dǎo)學(xué)生能結(jié)合生活實(shí)例來(lái)初步感受滿足函數(shù)關(guān)系即可.在感受過(guò)程中,要緊扣滿足函數(shù)關(guān)系的三個(gè)要求,這樣就能在具體環(huán)境中感受抽象概念.比如,氣溫與時(shí)間的關(guān)系,在這個(gè)變化過(guò)程中,有兩個(gè)變量,氣溫和時(shí)間,氣溫會(huì)隨著時(shí)間的變化而變化,但是時(shí)間一旦確定下來(lái),這時(shí)就只有一個(gè)唯一的氣溫與其相對(duì)應(yīng).時(shí)間就成為自變量,氣溫就為函數(shù).教師多舉幾個(gè)例子后,鼓勵(lì)學(xué)生自己去尋找生活中的函數(shù)關(guān)系,比如,同學(xué)的身高和同學(xué)之間的關(guān)系等,并且要追問(wèn)學(xué)生為什么它是函數(shù)關(guān)系,讓學(xué)生說(shuō)出那三點(diǎn),這樣充分引導(dǎo),充分操練,在充足的實(shí)例環(huán)境里感悟接受概念.再舉解析式和表格形式的函數(shù)再次解析函數(shù)關(guān)系,從而很自然地引出函數(shù)的三種表示方式的需求及便利性.

2.在后續(xù)每次具體的函數(shù)(一次函數(shù),反比例函數(shù),二次函數(shù))學(xué)習(xí)時(shí),都應(yīng)先復(fù)習(xí)函數(shù)概念,抓住之前那三點(diǎn),再次感受這些是滿足函數(shù)關(guān)系的,而且只是函數(shù)關(guān)系中的某一類.如果每次都有再細(xì)細(xì)地回頭復(fù)習(xí)解析,那么學(xué)生對(duì)函數(shù)的理解這時(shí)就開始有點(diǎn)具象了,部分學(xué)生已經(jīng)能真正掌握函數(shù)概念的內(nèi)涵了.

3.如果說(shuō)對(duì)一次,反比例,二次函數(shù)這種可以用解析式具體表示的函數(shù),學(xué)生理解其函數(shù)關(guān)系難度是不大的.但是對(duì)初三下的銳角三角函數(shù)的概念學(xué)習(xí),如果教師沒(méi)能細(xì)細(xì)解析,絕大部分學(xué)生是很難接受這個(gè)函數(shù)關(guān)系.這個(gè)更抽象,尤其是自變量是銳角,銳角的正弦值(舉一個(gè))是函數(shù).當(dāng)然要能認(rèn)識(shí)到其函數(shù)關(guān)系,關(guān)鍵還是要在前面的正弦概念學(xué)習(xí)中要真正掌握正弦的內(nèi)涵.所以概念的學(xué)習(xí)也是一環(huán)緊扣一環(huán)的,相互影響制約,相互促進(jìn)的,到銳角三角函數(shù)學(xué)完后,學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)就螺旋上升到一定的高度了,這時(shí)學(xué)生會(huì)更深刻地看到函數(shù)的本質(zhì),到一定的高度,學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的喜悅感便會(huì)自然滋生,這對(duì)培養(yǎng)尖子生的素養(yǎng)是很重要的.

結(jié)合上面的分析,我們能充分感受到數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重要性,其過(guò)程絕不只是停留在表層上的函數(shù)概念學(xué)習(xí),內(nèi)在蘊(yùn)含著非常豐富的數(shù)學(xué)思想方法寶藏.教師只要用心去思考,雕琢數(shù)學(xué)概念的教學(xué),學(xué)生不僅解題是水到渠成的事情,而且還滋養(yǎng)了很多數(shù)學(xué)素養(yǎng),事半功倍.雖然對(duì)初中數(shù)學(xué)概念的教學(xué),沒(méi)有固定的模式,好的概念教學(xué)課也沒(méi)有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn).但是,在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)最重要的就是站在學(xué)生的思維角度和高度,讓學(xué)生能盡可能地看到新概念的引入是自然的,甚至是不可避免的.并且盡可能地發(fā)揮學(xué)生的主體性,引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探求,主動(dòng)內(nèi)化概念才能非形式化地理解并掌握所學(xué)到的東西.這樣的概念教學(xué)才是有效的,對(duì)學(xué)生才具有積極的長(zhǎng)遠(yuǎn)意義.

【參考文獻(xiàn)】

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