◇劉加霞

數(shù)學(xué)“好問(wèn)題（好活動(dòng)）”是助推數(shù)學(xué)發(fā)展及學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要載體。好問(wèn)題可以運(yùn)用于課堂學(xué)習(xí)、課堂檢測(cè)、單元驗(yàn)收、期末考試、畢業(yè)水平測(cè)試，乃至大規(guī)模的教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)等，即：既可以運(yùn)用于日常教學(xué)，也可以運(yùn)用于階段性的學(xué)習(xí)效果檢測(cè)。日常學(xué)習(xí)質(zhì)量檢測(cè)是標(biāo)準(zhǔn)參照性質(zhì)的測(cè)試，是絕對(duì)評(píng)價(jià)，其主要目的是檢測(cè)學(xué)生達(dá)到既定學(xué)習(xí)目標(biāo)的程度。在這種測(cè)驗(yàn)中，教師不需要刻意控制題目的難度和區(qū)分度，只要嚴(yán)格依照課程標(biāo)準(zhǔn)、教材和教學(xué)目標(biāo)來(lái)編制題目即可，即使有的題目特別容易或特別難，也可以是好的題目。對(duì)于一線教師而言，自己編制好問(wèn)題（活動(dòng)）是一項(xiàng)重要的能力，儲(chǔ)備好問(wèn)題并根據(jù)教學(xué)目標(biāo)選擇恰當(dāng)?shù)念}目用于教學(xué)和日常檢測(cè)同樣重要。

那么，測(cè)評(píng)與提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的好問(wèn)題有哪些呢？為此，需要分析數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵，需要廣泛搜集日常教學(xué)、階段性測(cè)評(píng)以及國(guó)內(nèi)、國(guó)際大規(guī)模測(cè)評(píng)中的好問(wèn)題，在此基礎(chǔ)上提煉與總結(jié)數(shù)學(xué)好問(wèn)題的特征與內(nèi)容。

目前數(shù)學(xué)素養(yǎng)（思想）的內(nèi)涵比較認(rèn)可的是史寧中教授所言：“數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)，是要讓學(xué)習(xí)者會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。而數(shù)學(xué)的眼光就是抽象，數(shù)學(xué)的思維就是推理，數(shù)學(xué)的語(yǔ)言就是模型?！边@一觀點(diǎn)基本符合小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo)，只不過(guò)在小學(xué)階段是初級(jí)、初步要求，或初步滲透。

基于上述數(shù)學(xué)素養(yǎng)內(nèi)涵的分析，依據(jù)義務(wù)教育階段課程標(biāo)準(zhǔn)要求，再根據(jù)小學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)及所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，好問(wèn)題大致分為解決現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題的題目、有助于學(xué)生探究與發(fā)現(xiàn)的題目、有助于學(xué)生動(dòng)手與動(dòng)腦設(shè)計(jì)與制作的題目以及滲透數(shù)學(xué)發(fā)展歷程和數(shù)學(xué)文化的題目。

一、讓學(xué)生關(guān)注真實(shí)情境下的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，感悟數(shù)學(xué)無(wú)處不在

數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源于生活又超越生活，小學(xué)階段的數(shù)學(xué)主要以來(lái)源于生活為主，因此應(yīng)關(guān)注如何運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題，在解決實(shí)際問(wèn)題中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，正如PISA測(cè)評(píng)目標(biāo)所指出的：理解數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界（個(gè)體所處的自然、社會(huì)和文化背景）中的作用、能運(yùn)用數(shù)學(xué)做出決策、能在個(gè)人生活（包括個(gè)人、同伴、親屬、社區(qū)、職業(yè)、社會(huì)的生活）和未來(lái)社會(huì)中使用和滲透數(shù)學(xué)。使用和滲透不僅指運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，還包括廣泛的個(gè)體參與，如交流、評(píng)價(jià)甚至是欣賞和享受數(shù)學(xué)。小學(xué)階段的數(shù)學(xué)好問(wèn)題首先體現(xiàn)在解決實(shí)際問(wèn)題方面，在解決實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)、技能，感悟數(shù)學(xué)思想與方法，體會(huì)數(shù)學(xué)無(wú)處不在。

題目1：小紅聽(tīng)媽媽說(shuō)家里的“房高”是2.6米，如圖1，從窗臺(tái)到房頂?shù)木嚯x是多少米？

圖1

題目2：兩個(gè)長(zhǎng)方體的麥片盒（尺寸如圖2所示）裝滿了麥片，小盒大約裝了80克的麥片，大盒大約裝了多少麥片？

圖2

題目3：圖3是某學(xué)校校門口的電子顯示屏，每個(gè)“字格”大約是1平方米，估一估，算一算，整塊電子顯示屏的面積是多少？

圖3

題目4：防撞燈一般安裝在較高的建筑物頂端，通過(guò)間隔一段時(shí)間閃光的方式來(lái)提醒經(jīng)過(guò)的飛機(jī)不要撞上高樓。一天晚上，小明正在觀察高樓上的防撞燈，他首先看到了兩盞防撞燈，他發(fā)現(xiàn)第一盞燈每4秒閃一次，第二盞燈每5秒閃一次。從兩盞燈同時(shí)閃爍時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，在1分鐘內(nèi)兩盞燈同時(shí)閃幾次？

接下來(lái)小明又看到了第三盞防撞燈，這盞燈每7秒閃一次，從這盞燈和上面兩盞燈同時(shí)閃爍時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，需要多長(zhǎng)時(shí)間三盞燈才能再次同時(shí)閃爍？

題目5：圖4與圖5是用同一種型號(hào)鐵絲制成的鐵絲網(wǎng)，工人師傅說(shuō)圖4所示的鐵絲網(wǎng)的質(zhì)量約120克，請(qǐng)估一估，圖5所示的鐵絲網(wǎng)的質(zhì)量約（ ）克。

①150 ②240 ③380 ④500

圖4

圖5

二、綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，激發(fā)學(xué)生探究與發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣

數(shù)學(xué)的內(nèi)在魅力體現(xiàn)在數(shù)學(xué)探究之樂(lè)、數(shù)學(xué)理性之思、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之美，雖然這些“內(nèi)蘊(yùn)”比較抽象，難以直觀體驗(yàn)，但人的好奇心、好探究、好推理等特性，恰恰契合了數(shù)學(xué)的這些特征，因而學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中可享受數(shù)學(xué)的探究與發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣，好問(wèn)題可以從這方面來(lái)研制。下面部分題目改編自劍橋大學(xué)教育學(xué)院的NRICH項(xiàng)目。

題目6：在一張紙的正反面各打印一個(gè)百數(shù)表（如圖6），兩個(gè)表在紙的正反面的位置是一樣的，即正面的1對(duì)應(yīng)著反面的10，正面的100對(duì)應(yīng)著反面的91。

你能猜出正面的58、23、19對(duì)應(yīng)的是反面的哪些數(shù)嗎？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

圖6

題目7：有一株會(huì)分叉的植物（如圖7）。第一周，它由一根枝干分成了兩個(gè)分支，第二周，它的每個(gè)分支又分出了兩個(gè)分支，這樣一共分出了四個(gè)分支。之后的每一周，前一周每個(gè)分出的分支又會(huì)繼續(xù)分出兩個(gè)分支。

在第六周結(jié)束后，這一周新分出的分支都開(kāi)出了一朵花，請(qǐng)問(wèn)：一共有多少朵花？

圖7

題目8：如圖8所示，一共有四個(gè)小盒子，每個(gè)小盒子里都裝有一個(gè)整數(shù)。將這四個(gè)小盒子放進(jìn)一個(gè)裝有整數(shù)的大盒子里，在大盒子內(nèi)“旅游一趟”，每個(gè)小盒子里的數(shù)都乘大盒子里所裝的數(shù)，然后打開(kāi)取出小盒子，小盒子里的數(shù)就變?yōu)?6、24、112、216。

請(qǐng)問(wèn)：大盒子里的數(shù)可能是哪些？這些可能的數(shù)中最大的是多少？

你還能編一個(gè)類似的游戲嗎？和同學(xué)玩一玩。

圖8

題目9：有一個(gè)小矮人，他比我們普通人小得多，下面是他的一張照片（如圖9）。你能猜出他有多高嗎？

你能在身邊找出一個(gè)高度為他兩倍的物品嗎？你能在身邊找出一個(gè)高度為他一半的物品嗎？

你估計(jì)一下，這個(gè)小矮人用手中的杯子向大杯子里裝多少杯水，才能把大杯子裝滿？

圖9

題目10：如圖10所示，1塊立方體積木可以做成一段樓梯，這段樓梯上去時(shí)需要爬一階，下來(lái)時(shí)也需要爬一階。

4塊立方體積木也可以做成一段樓梯，這段樓梯上去時(shí)需要爬兩階，下來(lái)時(shí)也需要爬兩階，如圖11。

圖10

圖11

如果按照這種擺法做成一段樓梯，而且這段樓梯上去時(shí)需要爬五階，下來(lái)時(shí)也需要爬五階，一共需要多少塊積木？

畫(huà)一畫(huà)，搭一搭，按照這種擺法，用49塊積木搭成一段樓梯，那么爬上這段樓梯需要爬幾階？

你也可以自己提出類似的問(wèn)題并解決它。

三、數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)與制作類問(wèn)題

根據(jù)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，動(dòng)手設(shè)計(jì)與制作一些作品，這樣做非常有價(jià)值。一方面能夠欣賞數(shù)學(xué)之美；另一方面學(xué)生在動(dòng)手操作實(shí)物時(shí)，內(nèi)在思維外顯化、直觀化，從而深化對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，更有助于同伴、師生之間的交流和分享。

題目11：學(xué)校手工課上串珠子做項(xiàng)鏈，小紅和小蘭準(zhǔn)備在學(xué)校的跳蚤市場(chǎng)上賣她們親手制作的項(xiàng)鏈。她們編制的每條項(xiàng)鏈有8顆珠子，4顆紅珠（即下圖中的黑珠）和4 顆黃珠（即下圖中的白珠），同時(shí)每條項(xiàng)鏈上的8 顆珠子還是對(duì)稱的，如圖12。

圖12

小紅和小蘭一共可以做幾種款式不同的項(xiàng)鏈呢？你能想出每種項(xiàng)鏈的樣子嗎？畫(huà)一畫(huà)。

如果有 9 顆珠子（5 顆紅珠和 4 顆黃珠），會(huì)有多少種不同的款式呢？

如果有10 顆珠子（紅珠和黃珠各5 顆），又會(huì)有多少種不同的款式呢？

題目12：王亮和劉東正在用小方塊拼小紙條。王亮用兩個(gè)藍(lán)色小方塊（即下圖中的深色小方塊）拼成一張藍(lán)色小紙條，劉東用三個(gè)紅色小方塊（即下圖中的淺色小方塊）拼成一張紅色小紙條。兩個(gè)人都做了很多張這樣的小紙條（如圖13）。

圖13

王亮把自己做的小紙條首尾相接排成一行，拼成了一張長(zhǎng)長(zhǎng)的紙條。劉東也在王亮的紙條下面，用自己的小紙條首尾相接拼成了一張長(zhǎng)長(zhǎng)的紙條。請(qǐng)問(wèn)：他們能不能拼出兩條相同長(zhǎng)度的紙條呢？

在拼成相同長(zhǎng)度的紙條時(shí)王亮用了幾張小紙條？劉東又用了幾張小紙條呢？這時(shí)這兩條長(zhǎng)度相同的紙條各有多少個(gè)小方塊？除了這個(gè)長(zhǎng)度，還有沒(méi)有別的可能呢？

請(qǐng)你畫(huà)一畫(huà)（擺一擺），也可以列算式，寫出你的思考過(guò)程。

題目13：小梅將一張紙對(duì)折并剪下了如圖14所示的圖形，展開(kāi)剪下的圖形，請(qǐng)?jiān)谙旅娴姆礁駡D中大致畫(huà)出這個(gè)展開(kāi)圖。

圖14

題目14：小紅和爺爺一起在圓形街心花園散步鍛煉身體。小紅走完一圈需要6 分鐘，爺爺走完一圈需要8 分鐘，如果兩人同時(shí)、從同地出發(fā)，相背而行，走了12 分鐘時(shí)兩人的位置是下面的哪幅圖？

題目15：如圖15所示，將表盤上的指針取下，并將 12 改為 0。將每個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)作為一個(gè)端點(diǎn)依次相連，構(gòu)成一個(gè)十二邊形。

圖15

如果將2 的倍數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)作為端點(diǎn)依次相連，會(huì)構(gòu)成一個(gè)什么樣的圖形呢？

你還可以試試將 3 的倍數(shù)和 5 的倍數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)作為端點(diǎn)依次相連，你有什么發(fā)現(xiàn)呢？

題目16：（1）在下面的方格紙（如圖16，1 個(gè)方格代表1cm2）上，用線段AB 做底，畫(huà)一個(gè)面積為12cm2的三角形ABC。

圖16

（2）仍用線段AB 做底，畫(huà)一個(gè)三角形ABD，使它的面積也是12cm2。面積是12cm2的三角形能畫(huà)多少個(gè)？

（3）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一幅由6 個(gè)面積是12cm2的三角形構(gòu)成的美麗圖案，可以涂上不同顏色使圖案更加美觀。

四、各國(guó)古老文化中的有趣問(wèn)題

各個(gè)國(guó)家古老文明中都孕育著燦爛的數(shù)學(xué)問(wèn)題與數(shù)學(xué)文化，如古代埃及的“紙草書(shū)”、古代中國(guó)的《九章算術(shù)》、古代希臘的《原本》等。從古老文明中選擇有價(jià)值的“故事”，將故事編寫為數(shù)學(xué)問(wèn)題，也是編制好問(wèn)題的重要渠道。一線教師可以了解、學(xué)習(xí)一些數(shù)學(xué)史、民族文化史，從中汲取數(shù)學(xué)問(wèn)題的營(yíng)養(yǎng)。教材中也有豐富的數(shù)學(xué)史料，可以改編為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的問(wèn)題，如蘇教版教材三年級(jí)下冊(cè)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”單元在“你知道嗎” 欄目里，介紹了我國(guó)進(jìn)行乘法計(jì)算的“鋪地錦”法，對(duì)此也可以改編為好問(wèn)題。

題目17：古代埃及人的繩子：

古代埃及人喜歡在繩子上打結(jié)，且兩個(gè)結(jié)之間的距離都是相等的。

現(xiàn)在有一根有13 個(gè)結(jié)的繩子，可以將它折成一個(gè)直角三角形，如圖17所示。

圖17

如果你有一條這樣的繩子，你會(huì)將它折成什么樣的三角形？你能否將它折出其他形狀的圖形？

題目18：我國(guó)明朝時(shí)期的《算法統(tǒng)宗》里講述了一種“鋪地錦”的乘法計(jì)算方法，例如計(jì)算62×37，方法如下：

圖18

你讀懂這種方法了嗎？試一試完成以下任務(wù)。

（1）下面是計(jì)算 23×14 的鋪地錦方法，請(qǐng)你在（ ）中填寫適當(dāng)?shù)臄?shù)。

（2）下面是計(jì)算 78×45 的鋪地錦方法，請(qǐng)你在（ ）中填寫適當(dāng)?shù)臄?shù)。

（3）請(qǐng)你評(píng)價(jià)一下：乘法的鋪地錦方法，與你熟悉的豎式方法有什么共同之處？各自的優(yōu)點(diǎn)是什么？

題目19：古代埃及人用“象形符號(hào)”表示數(shù)，例如，1～9、10、100、1000、10000 等的符號(hào)如圖19。

圖19

要想表示2344，用下面的符號(hào)組合而成，如圖20。

圖20

古代中國(guó)人用算籌表示數(shù)，如圖21。

圖21

6728 用下面的算籌表示：

6708 則表示為：

不同國(guó)家表示數(shù)的方法很有趣吧！ 我們也學(xué)古人來(lái)表示數(shù)。

（1）用古代埃及人的方法表示24563，請(qǐng)你畫(huà)圖表示出來(lái)。

（2）用古代中國(guó)人的方法也表示 24563，請(qǐng)你畫(huà)圖表示出來(lái)。

（3）古代中國(guó)人怎么表示24506897？古代埃及人怎么表示呢？請(qǐng)你畫(huà)一畫(huà)。

（4）你怎么評(píng)價(jià)古代埃及人、古代中國(guó)人表示數(shù)的方法。

綜上所述，不難看出，小學(xué)階段數(shù)學(xué)好題、趣題無(wú)處不在，好的數(shù)學(xué)問(wèn)題既能驅(qū)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展，也有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，有助于培養(yǎng)學(xué)生深層次的數(shù)學(xué)思維。

好問(wèn)題除了要有好內(nèi)容，教學(xué)實(shí)踐中還應(yīng)該關(guān)注問(wèn)題的作答方式。數(shù)學(xué)問(wèn)題的作答方式主要有兩類：一是選擇式反應(yīng)； 二是建構(gòu)式反應(yīng)。在日常教學(xué)中選擇建構(gòu)式反應(yīng)，讓學(xué)生充分表達(dá)問(wèn)題解決過(guò)程中的每一步并陳述理由，評(píng)價(jià)與反思不同觀點(diǎn)的同與異。選擇建構(gòu)式反應(yīng)，可以讓一個(gè)問(wèn)題承載更多的價(jià)值，但作答時(shí)間較長(zhǎng)，評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)也不太好統(tǒng)一，影響調(diào)研的信度，但在日常教學(xué)中使用它的根本目的是“促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)”而不是“評(píng)定等級(jí)”，所以不用過(guò)于考慮其信度和效度的問(wèn)題。同樣的問(wèn)題，在大規(guī)模測(cè)試中可以用選擇式反應(yīng)，常見(jiàn)的是以“選擇題”方式給出，也可以用“簡(jiǎn)答題”或“解答題”等建構(gòu)式方式給出。