黃蓓　周天婷

摘要：嘗試在《平面向量》一課教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史，有利于初中生更好地理解向量這個(gè)全新的概念。其中，創(chuàng)設(shè)物理情境，引導(dǎo)學(xué)生抽象出向量概念的本質(zhì)，設(shè)計(jì)向量概念的名稱與符號(hào)，屬于重構(gòu)式融入數(shù)學(xué)史;播放有關(guān)向量由來及向量符號(hào)演變的視頻，屬于附加式融入數(shù)學(xué)史;最后呈現(xiàn)小船問題，引出海倫采用的平行四邊形定則，為下節(jié)課做鋪墊，則屬于復(fù)制式融入數(shù)學(xué)史。課后學(xué)生反饋表明，這樣的教學(xué)取得了較好的效果。

關(guān)鍵詞：HPM 平面向量 概念教學(xué)

向量在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著重要的地位，它既是代數(shù)的研究對(duì)象，也具有重要的幾何性質(zhì)，是溝通代數(shù)、幾何與三角的橋梁。張奠宙先生在《話說向量》一文中提到：“向量在中學(xué)數(shù)學(xué)由20世紀(jì)80年代的配角地位逐漸變成21世紀(jì)更加重要的主角地位，這是因?yàn)橄蛄磕軌蚓星蠛啠院嗰S繁。”

在滬教版初中數(shù)學(xué)教材中，“平面向量”是八年級(jí)第二學(xué)期第二十二章《四邊形》第四節(jié)第二課時(shí)的內(nèi)容。對(duì)于初中生來說，平面向量是一個(gè)全新的概念，與以往所學(xué)的數(shù)量、長度不同，向量既有長度，又有方向;教材內(nèi)容也比較抽象，不好把握。

為了讓學(xué)生較好地理解這個(gè)全新的概念，教材本章前三節(jié)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)所有特殊的平行四邊形和梯形，而本節(jié)第一課時(shí)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)基于平移運(yùn)動(dòng)定義的有向線段概念及其畫法。通過一個(gè)點(diǎn)往某個(gè)方向平移一段距離得到一條有向線段，然后利用有長度、有方向的線段引出向量，符合學(xué)生原有的認(rèn)知水平，學(xué)生容易接受和理解。

不過，如何讓學(xué)生更好地理解這個(gè)全新的概念呢？我們認(rèn)為，還要幫助學(xué)生解決如下問題：（1）為什么這個(gè)既有方向又有大小的量叫作“向量”？這個(gè)名稱是如何來的？有沒有其他的名稱？（2）向量的符號(hào)表示有怎樣的歷史？歷史上有多少種向量表示方法？（3）學(xué)習(xí)向量的意義是什么？我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)向量？其中，最后一個(gè)問題是概念教學(xué)中最重要的問題：讓學(xué)生了解所學(xué)概念的實(shí)際意義，才能讓學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)的興趣。為此，我們嘗試在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史：任何一個(gè)數(shù)學(xué)概念都可以從源遠(yuǎn)流長的歷史中找到其發(fā)生、發(fā)展的背景與脈絡(luò)。

一、歷史材料梳理

（一）19世紀(jì)中葉以前的向量概念

在歷史上，物理中的速度與力的平行四邊形定則是向量理論的一個(gè)重要起源，由此發(fā)展起來的向量理論直到19世紀(jì)上半葉都主要與物理應(yīng)用緊密結(jié)合在一起的。

古希臘時(shí)期，速度作為既有大小又有方向的量，被認(rèn)為是一個(gè)向量。約公元前350年，古希臘著名學(xué)者亞里士多德在其著作中有這樣一段描述：“一個(gè)物體以一定比率速度運(yùn)動(dòng)時(shí)（朝著兩條路徑以定比率速度運(yùn)動(dòng)），該物體必定沿著一條直線運(yùn)動(dòng)，此直線是以定比率速度為鄰邊構(gòu)成的平行四邊形的對(duì)角線。”同一時(shí)代，亞歷山大的海倫（Heron，1世紀(jì)）證明了速度的平行四邊形定則：如圖1，動(dòng)點(diǎn)G沿著線段AB從點(diǎn)A向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段AB沿著一定的方向勻速平行于自己運(yùn)動(dòng)（即平移），假設(shè)點(diǎn)G到達(dá)點(diǎn)B處時(shí)，線段AB到達(dá)線段CD的位置，EF是AB運(yùn)動(dòng)過程中任意時(shí)刻所處的位置。由此易得AE∶AC=EG∶EF，進(jìn)一步可知AE∶EG=AC∶EF=AC∶CD，所以AG與AD共線，因此點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是對(duì)角線AD。

之后，牛頓基于亞里士多德的速度平行四邊形定則，進(jìn)一步描述了力改變物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)規(guī)律的特征。他是最先使用有向線段表示力的科學(xué)家。牛頓和亞里士多德雖然已經(jīng)運(yùn)用了向量的一些運(yùn)算或性質(zhì)，但是沒有將其抽象為向量。第一個(gè)給出“向量”這個(gè)名詞的人是英國數(shù)學(xué)家哈密頓（W.R.Hamilton，1805—1865）。他在1853年發(fā)表的《四元數(shù)講座》中介紹了他的向量思想，對(duì)這一數(shù)學(xué)方法進(jìn)行了系統(tǒng)的說明。

（二）19世紀(jì)中葉至20世紀(jì)中葉英美幾何與代數(shù)教科書中的向量概念

這一時(shí)期，英美幾何與代數(shù)教科書中的向量概念大致可以分為“基于物理量的定義”“基于有向線段的定義”“基于復(fù)數(shù)的定義”和“基于平移運(yùn)動(dòng)的定義”四類。

將力、位移、速度等物理情境下的有向量描述為“基于物理量的定義”，是出現(xiàn)次數(shù)最多的向量定義。這類定義最初的思想源于亞里士多德，即物理學(xué)科中的矢量。物理情境下，向量有三個(gè)關(guān)鍵要素：大小、方向、位置。以力為例，力的刻畫必須有作用點(diǎn)、大小和方向。

考慮線段兩個(gè)端點(diǎn)的有序性是有向線段產(chǎn)生的原因之一。有向線段是出現(xiàn)次數(shù)第二多的向量定義。例如，溫特沃斯（G.A.Wentworth，1835—1906）定義向量為“有固定長度的有向線段”。莫納漢（F.D.Murnaghan，1893—？）認(rèn)為：“要接受向量的概念，必須先弄清有向線段的問題?！笨路遥↗.G.Coffin，1877—？）等對(duì)向量的定義是：“向量是起點(diǎn)與終點(diǎn)相異的有向線段，因此向量有大小和方向，任何能用有向線段表示的量都是向量?！?/p>

第一次提出用向量表示平移的是哈密頓——英文“vector”（矢量、向量）一詞源自拉丁文“vehere”一詞，隱含著將某物從此處帶到彼處的意思。之后出現(xiàn)的基于平移的向量概念，或多或少繼承了哈密頓的定義。例如，泰特（P.G.Tait，1831—1901）將向量定義為“將一點(diǎn)運(yùn)載到另一點(diǎn)的工具，因此向量可表示空間中特定的平移”。

基于復(fù)數(shù)的定義對(duì)于初中生來說理解困難，在此不予細(xì)說。

（三）向量符號(hào)及中文翻譯（名稱）的演變

向量的符號(hào)在歷史上是豐富多彩的，經(jīng)歷了漫長時(shí)間的爭議，才形成了統(tǒng)一的現(xiàn)代符號(hào)系統(tǒng)。在早期的英美幾何與代數(shù)教科書中，不同的數(shù)學(xué)家用于表示向量的符號(hào)也不盡相同。莫納漢認(rèn)為，一條直線上有任意兩個(gè)點(diǎn)A、B，當(dāng)考慮順序時(shí)，誰被第一個(gè)提及就非常重要了：若點(diǎn)A被第一個(gè)提及，則說明點(diǎn)A是起點(diǎn)，點(diǎn)B是終點(diǎn)，記作A→B;反之，記作B→A。向量也可以用符號(hào)V（A→B）來表示。弗雷姆（Frame，1907—？）則用類似于↑（AB）的符號(hào)來表示向量。

1806年，阿爾岡（R.Argand，1768—1822）以AB表示一個(gè)有向線段或向量。1872年，莫比烏斯（A.F.Mobius，1790—1868）以AB表示起點(diǎn)為A、終點(diǎn)為B的向量。這種用法被數(shù)學(xué)家廣泛接受。另外，哈密頓、吉布斯（J.W.Gibbs，1839—1903）等人則以小寫希臘字母表示向量。1912年，蘭格文用a→表示向量。此后，字母上加箭頭表示向量的方法逐漸流行，尤其在手寫稿中。為了方便印刷，人們又用粗體小寫字母a、b等表示向量。這兩種表示方法一直沿用至今。

隨著西方物理學(xué)和數(shù)學(xué)的引進(jìn)，向量概念在中國得以傳播和發(fā)展，其中文名稱經(jīng)歷了比較長時(shí)間的演變。向量概念剛傳入中國時(shí)，根據(jù)含義，被翻譯成“動(dòng)量”，意為定方向上的定距離移動(dòng)。后來，在物理學(xué)中被稱為“有向量”，在數(shù)學(xué)中被稱為“有向數(shù)”。此后，區(qū)分還是統(tǒng)一物理學(xué)與數(shù)學(xué)中的向量名稱一直廣受爭議，原因在于，一部分人認(rèn)為“向量”和“矢量”沒有本質(zhì)的區(qū)別，而另一部分人則認(rèn)為“矢量”與“向量”有著本質(zhì)的區(qū)別。1985年，數(shù)學(xué)名詞審定委員會(huì)成立后，統(tǒng)一規(guī)定：物理中稱“矢量”，數(shù)學(xué)中稱“向量”。這樣的名稱一直延用至今。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

基于對(duì)教材編寫及歷史素材的分析，我們?cè)O(shè)計(jì)和實(shí)施的本節(jié)課教學(xué)過程如下：

（一）創(chuàng)設(shè)物理情境，抽象概念本質(zhì)

教材利用小明問路的情境，結(jié)合第一課時(shí)學(xué)習(xí)的有向線段畫出線路圖，從而引出向量概念。我們認(rèn)為，這樣容易使學(xué)生產(chǎn)生負(fù)遷移，因?yàn)橄蛄渴亲杂傻?，而有向線段是固定的。所以，我們選擇了歷史素材中出現(xiàn)最多的“基于物理量的定義”，利用學(xué)生熟悉的物理量——速度，引導(dǎo)學(xué)生抽象出向量的基本特征——既有大小又有方向，讓學(xué)生了解早期的向量概念來自物理學(xué)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。此外，我們還通過追問，使學(xué)生了解到這種量在實(shí)際應(yīng)用中普遍存在。

師請(qǐng)大家先來看這樣一個(gè)問題：小船從點(diǎn)A出發(fā)，速度是4米/秒，請(qǐng)問2秒后它開到了哪里？

生離點(diǎn)A 8米的地方。

師具體的位置移動(dòng)到哪里了呢？

生不知道。

師為什么會(huì)不知道呢？

生沒有給出方向。

師所以說，我們雖然知道位置移動(dòng)了8米，但是并不知道具體位置到了哪里。再來看這樣一個(gè)問題：條件變一下，現(xiàn)在小船還是從點(diǎn)A出發(fā)，向正北方向行駛，請(qǐng)問2秒后它開到了哪里？

生還是不知道。

師為什么？

生因?yàn)殡m然告訴了我們行駛的時(shí)間，但是沒有告訴我們速度的大小。

師剛才兩個(gè)問題，第一個(gè)問題是不知道速度的方向，所以我們不知道這個(gè)小船到底開到了哪里;第二個(gè)問題是不知道速度的大小，所以我們也沒辦法確切地知道小船開到了哪里。所以，我們需要重新審視一下“速度”這個(gè)量：它到底是一個(gè)怎樣的量？

生是一個(gè)既有大小又有方向的量。

師同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)過程中有沒有接觸過這樣的量？不一定是數(shù)學(xué)學(xué)科的，也可以是其他學(xué)科的。

生地圖上面的路線圖，需要既有方向又有大小。

生力。

（二）開放討論，設(shè)計(jì)概念名稱與符號(hào)

讓學(xué)生給向量概念取名和設(shè)計(jì)符號(hào)，可以呈現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的“歷史相似性”，從而讓學(xué)生加深對(duì)向量概念的理解，并感受數(shù)學(xué)是不斷發(fā)展的，建立動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)觀。通過觀看視頻讓學(xué)生了解向量的由來以及向量符號(hào)的演變，可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)向量的必要性，體會(huì)向量歷史的演進(jìn)。在此基礎(chǔ)上，教學(xué)向量大?。ㄩL度）的名稱和符號(hào)，突出概念的本質(zhì)，順應(yīng)學(xué)習(xí)的自然。

師所以像力、速度這樣的量是既有大小又有方向的，那么同學(xué)們能不能給這樣的量取個(gè)名字？你想給它取個(gè)什么樣的名字呢？

生指示量：有方向的指明。

生數(shù)向：數(shù)代表大小，向代表方向。

生向長：向代表方向，長代表長度。

生方位值：方位代表方向，值代表大小。

師在數(shù)學(xué)中，我們把既有大小又有方向的量稱為向量。由于我們現(xiàn)在研究的是平面中的向量，因此我們就叫它平面向量。（稍停）定義是什么？

生既有大小又有方向的量叫作向量。

師圖形語言是什么？

生有向線段。

師不可能總是在表示向量時(shí)畫有向線段，所以我們需要用一個(gè)符號(hào)來表示向量，那么我們可以用怎樣的符號(hào)語言來表示向量呢？同學(xué)們也先自行設(shè)計(jì)一下，看看你們都有什么創(chuàng)意。

生先把這個(gè)線段的長度用數(shù)字寫出來，再在數(shù)字上面寫上箭頭表示方向。

師那么數(shù)字代表什么？

生數(shù)字代表大小，箭頭代表方向。

師那么箭頭方向往哪里畫呢？

生根據(jù)題目，題目中方向往哪里，就把方向往哪里畫。

生我寫的是A→B，從起點(diǎn)A到終點(diǎn)B。

師同學(xué)們都設(shè)計(jì)了向量的符號(hào)表示。下面，我想請(qǐng)同學(xué)們看一段視頻，看看向量從古至今的發(fā)展及其符號(hào)的演變。

（教師播放有關(guān)向量由來以及向量符號(hào)演變的視頻。學(xué)生觀看。）

師我們可以發(fā)現(xiàn)，剛才一位同學(xué)設(shè)計(jì)的向量符號(hào)就是視頻中提到的莫納漢發(fā)明的符號(hào)。如果這位同學(xué)生活在那個(gè)年代的話，他就能成為莫納漢了?。ㄉ酝＃┪覀儎偛乓部吹搅?，在古希臘，亞里士多德解決力學(xué)問題時(shí)就已經(jīng)用到了向量的性質(zhì)，但是那時(shí)并沒有抽象出向量概念;而現(xiàn)在，我們的數(shù)學(xué)家已經(jīng)把向量發(fā)展成為一門工具學(xué)科，用它來解決實(shí)際問題和物理學(xué)問題。看來，學(xué)科之間是相通的，而且今朝更勝于往昔。（稍停）向量的方向可以用有向線段和符號(hào)等來表示，那向量的大小也需要表示出來。首先，我們把向量的大小稱為向量的模。其次，向量的模也可以用一個(gè)符號(hào)來表示，這個(gè)符號(hào)我們?cè)?jīng)學(xué)過，只不過那時(shí)候不叫模，而叫——

生絕對(duì)值。

師為什么會(huì)想到絕對(duì)值？

生絕對(duì)值是正的，而且可以表示長度。

師絕對(duì)值應(yīng)該是非負(fù)數(shù);而且絕對(duì)值可以表示線段的長度，就是相應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。所以，向量的?？梢杂孟蛄客饷婕觾韶Q來表示，如|AB|。

（三）運(yùn)用新知，解決問題

我們?cè)O(shè)計(jì)了兩道例題。例1既考查學(xué)生是否已經(jīng)掌握前面所學(xué)的向量表示法，也為學(xué)生后面學(xué)習(xí)相等向量、相反向量、平行向量等概念提供背景。

例1如圖2，ABCD是平行四邊形，EFGH是梯形，EF∥HG，圖中的有向線段都表示向量，它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別是所在四邊形的頂點(diǎn)。

（1）用符號(hào)表示各個(gè)向量;

（2）每個(gè)四邊形對(duì)邊上的兩個(gè)向量的方向是否相同或相反？它們的長度是否相等？

利用例1中的有向線段實(shí)例，引出相等向量、相反向量、平行向量的概念后，教師要特別注意幫助學(xué)生厘清概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，建立良好的知識(shí)結(jié)構(gòu);尤其是針對(duì)學(xué)生受直線平行與重合關(guān)系的負(fù)遷移影響，認(rèn)為共線向量不是平行向量的想法進(jìn)行糾正——

師平行向量只需要考慮方向，不需要考慮大小。那么，方向相同的兩個(gè)向量能叫平行向量嗎？

生可以。

師方向相反的兩個(gè)向量能叫平行向量嗎？

生可以。

師沒錯(cuò)，只要位置上平行，就可以稱為平行向量，方向相同或者相反都可以。那么，平行向量和相等向量、相反向量有什么關(guān)系？

生相等向量和相反向量都是特殊的平行向量。

師這句話對(duì)不對(duì)？

生我不同意，因?yàn)槿绻@兩個(gè)向量共線的話，那么它們方向相同或者相反，就不是平行向量了。

師同學(xué)們，向量是自由的，你可以想象向量在保持大小和方向不變的情況下，在平面中自由地飛翔，那么，你覺得在一條直線上的兩個(gè)向量可以說是平行向量嗎？

生可以。

師沒錯(cuò)。你可以把它們平移開，不就變成平行的位置關(guān)系了嗎？

例2則引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)向量是代數(shù)與幾何的橋梁，運(yùn)用向量的關(guān)系可以方便快捷地解決幾何問題。

例2（1）在四邊形ABCD中，AB=DC，則四邊形ABCD為;

（2）在四邊形ABCD中，AB=DC，|AB|=|BC|，則四邊形ABCD為;

（3）在四邊形ABCD中，AB∥DC，|AC|=|BD|，則四邊形ABCD為;

（4）在四邊形ABCD中，AB∥DC，|AD|=|BC|，則四邊形ABCD為。

（四）反思小結(jié)，承上啟下

課尾，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行簡要的反思總結(jié)：從知識(shí)層面上看，知道了向量的定義;從數(shù)學(xué)史的角度來看，了解到任何一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生都是數(shù)學(xué)家們前赴后繼努力研究的結(jié)果;從應(yīng)用層面上看，發(fā)現(xiàn)向量的運(yùn)用是廣泛的，不僅可以應(yīng)用于物理學(xué)科，也可以應(yīng)用于地理、生活等各個(gè)方面，還能使幾何證明變得簡潔且明朗;從數(shù)學(xué)思想的角度來看，體會(huì)到向量很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。

最后，教師介紹古希臘數(shù)學(xué)家海倫利用速度的平行四邊形定則解決的小船速度問題，為下節(jié)課向量加法的學(xué)習(xí)做鋪墊;并且，抓住向量概念的內(nèi)涵，對(duì)學(xué)生進(jìn)行人生教育——

師讓我們?cè)倩氐叫〈瑔栴}：如果小船以4米每秒的速度朝正北方向開，而水也以1米每秒的速度向正東方向流，請(qǐng)問最終小船的速度是怎樣的呢？

生會(huì)偏。

師為什么會(huì)偏？偏到怎樣的一個(gè)程度？偏了之后有多大？古希臘數(shù)學(xué)家海倫也曾經(jīng)一直在思考這些問題，并最終證明了速度的平行四邊形定則。而大家學(xué)習(xí)了下節(jié)課的內(nèi)容，就能知道如何解決這些問題了。（稍停）最后送給大家一句話：人生就如同向量，你不僅要知道自己從哪里來，更要知道自己將要到哪里去，因此，方向很重要！

三、學(xué)生反饋

課后，我們對(duì)全班學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查及個(gè)別訪談。

對(duì)于“你覺得向量有用嗎？”，學(xué)生的回答有的指向“數(shù)形結(jié)合”，認(rèn)為可以簡化幾何題的證明等;有的指向“其他學(xué)科”，認(rèn)為物理、地理等學(xué)科都會(huì)用到向量;還有的指向“生活實(shí)際”，認(rèn)為向量可以用于指路、具體表明物體的位置變化等場合。

對(duì)于“這節(jié)課你印象最深的是什么？為什么讓你印象深刻？”，有半數(shù)左右的學(xué)生提到了數(shù)學(xué)史，認(rèn)為向量的由來以及向量符號(hào)的演變十分有趣，而視頻的方式十分形象直觀;還有一些學(xué)生提到了自己創(chuàng)造向量的名稱與符號(hào)，認(rèn)為這讓他們更深刻地理解了向量概念，并充分體會(huì)到數(shù)學(xué)是在數(shù)學(xué)家們的努力下不斷發(fā)展的?？梢?，數(shù)學(xué)史的融入讓部分學(xué)生建立了動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)觀。

通過訪談我們還得知，一些學(xué)生對(duì)課堂最后提及的小船問題十分感興趣，并做出了一些思考。談及收獲時(shí)，學(xué)生還提出了“人生就如向量，要找到方向，走得正、走得直”等觀點(diǎn)。

四、教學(xué)反思

本節(jié)課創(chuàng)設(shè)物理情境，引導(dǎo)學(xué)生抽象出向量概念的本質(zhì)，設(shè)計(jì)向量概念的名稱與符號(hào)，屬于重構(gòu)式融入數(shù)學(xué)史，構(gòu)建了“知識(shí)之諧”，并且營造了“探究之樂”，實(shí)現(xiàn)了“能力之助”;播放有關(guān)向量由來及向量符號(hào)演變的視頻，屬于附加式融入數(shù)學(xué)史，構(gòu)建了“知識(shí)之諧”，并且展示了“文化之魅”，達(dá)成了“德育之效”;最后呈現(xiàn)小船問題，引出海倫采用的平行四邊形定則，為下節(jié)課做鋪墊，則屬于復(fù)制式融入數(shù)學(xué)史。

*本文系本刊連載的汪曉勤教授團(tuán)隊(duì)開發(fā)的HPM案例之一。

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