丁益民

摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)的理性精神所煥發(fā)的魅力是極有價值的。為此，要引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)進(jìn)行理性認(rèn)識，還要通過一系列活動讓數(shù)學(xué)的理性精神成為提升學(xué)生核心素養(yǎng)的教育之源。以立體幾何教學(xué)為例，說明相應(yīng)的策略有：把握認(rèn)知的邏輯主線;經(jīng)歷定理的發(fā)現(xiàn)過程;經(jīng)歷概念的似真建構(gòu)。

關(guān)鍵詞：理性精神 立體幾何 認(rèn)知主線 定理發(fā)現(xiàn) 概念建構(gòu)

M.克萊因在其著作《西方文化中的數(shù)學(xué)》中寫道：“人們開始靠理性，而不是憑感官去判斷什么是正確的。正是依靠這種判斷，理性才為西方文明開辟了道路。因此，古希臘人以一種比其他方法更為高超的方法，清楚地揭示了他們賦予了人的理性力量以至高無上的重要性?！边@段話揭示的是數(shù)學(xué)的理性精神對人類文明的影響。理性精神是數(shù)學(xué)區(qū)別于其他學(xué)科的顯著特征。數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)的理性精神所煥發(fā)的魅力是極有價值的。為此，要引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)進(jìn)行理性認(rèn)識，還要通過一系列活動讓數(shù)學(xué)的理性精神成為提升學(xué)生核心素養(yǎng)的教育之源。下面，以立體幾何教學(xué)為例，談?wù)劰P者的做法。

一、把握認(rèn)知的邏輯主線

在義務(wù)教育階段，學(xué)生對立體幾何知識的認(rèn)識僅僅局限于感性層面，因此，幫助學(xué)生形成理性認(rèn)識是高中立體幾何教學(xué)的重要目標(biāo)。教材首先通過“運(yùn)動”的方式（點(diǎn)動成線，線動成面，面動成體）讓學(xué)生感知幾何體的生成，然后通過投影、直觀圖等方式將幾何體“表達(dá)”出來。很顯然，這些認(rèn)識依舊停留于直觀的感性層面。學(xué)生的認(rèn)知通常是由簡單到復(fù)雜、由低維到高維的過程，立體幾何知識的學(xué)習(xí)，要經(jīng)歷“線線關(guān)系→線面關(guān)系→面面關(guān)系”的路徑，這就是學(xué)生認(rèn)知的邏輯主線。整個立體幾何教學(xué)的設(shè)計與實(shí)施都應(yīng)該沿著這條主線進(jìn)行，始終保持教學(xué)組織的邏輯連貫性與前后一致性。在這條主線下，每次認(rèn)知維度的提升都需要原有的認(rèn)知維度來支撐，也都需要借助或回到原有維度的思維模式進(jìn)行新的思維活動，逐步提升空間想象能力和邏輯推理能力。

比如，教學(xué)“平面的基本性質(zhì)”，通常的順序是：公理1→公理2→公理3及其三個推論。實(shí)際上，這樣的教學(xué)順序?qū)W(xué)生的認(rèn)知和抽象能力要求都比較高。學(xué)生最初接觸平面的概念時，更多的是一種淺顯、模糊的印象表征。若從公理1切入，則是讓學(xué)生在淺表抽象的基礎(chǔ)上進(jìn)行更為復(fù)雜的抽象活動，這樣必然增加認(rèn)知的難度。實(shí)際上，三個公理的功能就是刻畫歐氏幾何中點(diǎn)、線、面的關(guān)系，點(diǎn)與面、線與面、面與面的關(guān)系分別對應(yīng)公理3、公理1和公理2。有了這樣的認(rèn)識，就可根據(jù)邏輯主線進(jìn)行教學(xué)重組：讓學(xué)生先明白如何從理論上去確定一個平面，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步去研究直線與平面、平面與平面的相互關(guān)系，從而使認(rèn)知活動從低維到高維拾級而上。于是，三個公理的教學(xué)順序變?yōu)椋汗?（三點(diǎn)）→推論1（點(diǎn)與線）→推論2、3（線與線）→公理1（線與面）→公理2（面與面）。調(diào)整后的教學(xué)順序體現(xiàn)了認(rèn)知的邏輯屬性，清晰地鋪設(shè)了由低維到高維的認(rèn)知路徑，使學(xué)生對平面性質(zhì)的理解是具有邏輯支撐的理性認(rèn)識。

二、經(jīng)歷定理的發(fā)現(xiàn)過程

定理教學(xué)是立體幾何教學(xué)的重要內(nèi)容，但是很多教師對其重視不夠，“一個定理，幾點(diǎn)注意”的現(xiàn)象不在少數(shù)。定理發(fā)現(xiàn)過程的缺失，直接影響了學(xué)生對定理的完整認(rèn)知。

筆者曾經(jīng)做過一個調(diào)查測試。測試題目如下：

如圖1，表示以矩形ABCD為底面的長方體被一平面斜截所得的幾何體，求證：截面四邊形EFGH為平行四邊形。

測試對象為學(xué)習(xí)了立體幾何知識的學(xué)生。測試結(jié)果是，一半以上的學(xué)生沒有思路，想不到運(yùn)用面面平行的性質(zhì)定理來解決。究其原因，正是學(xué)生在構(gòu)建定理時幾乎沒有經(jīng)歷理性的發(fā)現(xiàn)過程，取而代之的是教師的直接灌輸。

因此，在教學(xué)中，要多一些讓學(xué)生自主參與定理發(fā)現(xiàn)過程的機(jī)會，即便他們發(fā)現(xiàn)的“定理”不完全正確甚至錯誤，也無妨。只有讓學(xué)生真切地經(jīng)歷定理的發(fā)現(xiàn)過程，充分暴露定理的探索過程，他們才能在探索中逐步認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識的內(nèi)核，體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣。這正是數(shù)學(xué)理性精神的意義與價值，也是齊民友先生所提倡的數(shù)學(xué)要體現(xiàn)“徹底的理性探索精神”。

為此，教學(xué)“面面平行的性質(zhì)定理”時，可以設(shè)計這樣兩個問題：

問題1兩個平行平面有哪些性質(zhì)呢？

讓學(xué)生獨(dú)立思考，小組討論，然后匯總展示小組成果：（1）已知兩個平面平行，則一個平面內(nèi)的任意一條直線都與另一個平面平行;（2）已知兩個平面平行，則分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面;（3）已知兩個平面平行，則和其中一個平面平行的直線和另一個平面平行或包含在另一個平面內(nèi);（4）已知兩個平面平行，則和其中一個平面相交的直線也和另一個平面相交;（5）已知兩個平面平行，則和其中一個平面平行的第三個平面也和另一個平面平行;（6）已知兩個平面平行，則和其中一個平面相交的平面也和另一個平面相交;（7）已知兩平面平行，第三個平面與這兩個平面相交，則兩條交線平行……這些性質(zhì)的獲得與呈現(xiàn)具有一定的思維線索（認(rèn)知邏輯）：從平面內(nèi)的直線到與平面平行的直線，到與平面相交的直線，再到與平面平行的平面，最后到與平面相交的平面以及有關(guān)的交線。如果學(xué)生的基礎(chǔ)較差，不能獲得這些性質(zhì)，教師可以依據(jù)這樣的思維線索進(jìn)行引導(dǎo)。

問題2你準(zhǔn)備選擇哪個性質(zhì)作為兩個平面平行的性質(zhì)定理呢？

讓學(xué)生分組證明一下這些性質(zhì)，并引導(dǎo)學(xué)生分析證明過程，觀察這些性質(zhì)之間的關(guān)系。學(xué)生能得到結(jié)論：性質(zhì)（1）和性質(zhì)（2）可以由平行的定義獲證，而從性質(zhì)（3）到性質(zhì)（6），每個證明過程都需要用到性質(zhì)（7）。因此，性質(zhì)（7）是最基本的性質(zhì)，將它作為兩個平面平行的性質(zhì)定理是最合理、科學(xué)的。

這兩個問題的解決，不僅有助于學(xué)生從整體上建構(gòu)數(shù)學(xué)知識，更重要的是讓學(xué)生在數(shù)學(xué)建構(gòu)中真切地感悟到數(shù)學(xué)的理性精神——這種理性精神體現(xiàn)為，數(shù)學(xué)知識不是事實(shí)的逐一堆砌，而是具有層次結(jié)構(gòu)、邏輯關(guān)聯(lián)的有機(jī)整體。

三、經(jīng)歷概念的似真建構(gòu)

一些數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生經(jīng)歷了漫長的歷史過程，因此，其抽象程度可想而知，要讓學(xué)生在短時間內(nèi)進(jìn)行自主建構(gòu)是不大可能的。為幫助學(xué)生進(jìn)行有意義的概念建構(gòu)，從而體會其中的理性精神，教師可對概念產(chǎn)生的歷史過程進(jìn)行意義提取、適度整合，再對其中的某些片段進(jìn)行模擬，讓學(xué)生嘗試從數(shù)學(xué)家的視角進(jìn)行似真的建構(gòu)。學(xué)生在與歷史相似的模擬情境中，產(chǎn)生認(rèn)知的原動力，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家的思維方式，形成理性的思維。這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅是“意義賦予”，更是一種“文化傳承”的過程。

比如，教學(xué)棱柱概念時，很多學(xué)生認(rèn)為“有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫作棱柱”這樣的定義是正確的。這樣的定義與歐幾里得的《幾何原本》中的棱柱定義幾乎一致，并且在長達(dá)2000多年的時間里都被認(rèn)為是正確的，但它其實(shí)是錯誤的。教學(xué)中，可以讓學(xué)生似真地經(jīng)歷棱柱定義的發(fā)生與發(fā)展過程，糾正錯誤的認(rèn)知，理性地建構(gòu)棱柱概念。具體可以設(shè)計如下三個活動：

活動1：嘗試用自己的語言給棱柱下定義，并以小組為單位進(jìn)行交流討論，然后對定義進(jìn)行歸類總結(jié)（結(jié)果見表1）。

活動2：辨析各種棱柱“定義”的嚴(yán)謹(jǐn)性。

先呈現(xiàn)如下頁圖2所示的多面體來否定“定義”1。再呈現(xiàn)如下頁圖3所示的多面體來否定“定義”2。

同時，介紹有關(guān)的數(shù)學(xué)史：

歐幾里得在《幾何原本》第11卷中最早給出棱柱的定義：“一個棱柱是一個立體圖形，它是由一些平面構(gòu)成的，其中有兩個面是相對的、相等的、相似且平行的，其他各面都是平行四邊形。”由于歐幾里得的影響，2000多年里，人們都沒有懷疑過歐幾里得的定義。直到1916年，美國數(shù)學(xué)家斯頓等人才發(fā)現(xiàn)該定義是錯誤的，并且舉出了一個經(jīng)典的反例。

接著，通過分析讓學(xué)生認(rèn)識到，“定義”3和“定義”4都關(guān)注了側(cè)棱的特征對棱柱的影響，“定義”5則從運(yùn)動的角度定義了棱柱。同時，指出這也具有歷史相似性，并且適時介紹有關(guān)史實(shí)。

最后，總結(jié)歷史上棱柱定義經(jīng)歷的三個階段：（1）歐氏定義一統(tǒng)天下;（2）歐氏定義的改進(jìn);（3）動態(tài)定義的產(chǎn)生。

活動3：準(zhǔn)確運(yùn)用底面、側(cè)面和側(cè)棱的特征，獲得人教版教材上的定義（有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體）;通過運(yùn)動的方式，獲得蘇教版教材上的定義（由一個平面多邊形沿某一方向平移形成的空間幾何體）。

教材在編寫時常常按照數(shù)學(xué)知識的邏輯體系進(jìn)行，而這種邏輯體系下的知識呈現(xiàn)與歷史真實(shí)的發(fā)展過程可能存在著不一致——弗賴登塔爾稱之為“教學(xué)法的顛倒”。也就是說，按照教材體系進(jìn)行的學(xué)習(xí)活動是把學(xué)習(xí)當(dāng)成純粹的邏輯推理展開的。這時，學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)建構(gòu)時的那種直覺、猜想、試驗(yàn)等過程都會被淡化與隱藏——顯然，在這樣的過程中，學(xué)生很難體會到數(shù)學(xué)家的思維歷程，學(xué)生的思維完全被教師的講解與引導(dǎo)代替，學(xué)生只能支配低效的碎片化思維，很難體會數(shù)學(xué)的理性精神。

上述教學(xué)設(shè)計對數(shù)學(xué)史知識進(jìn)行了簡化與整合，以幫助學(xué)生自主建構(gòu)棱柱概念：教師運(yùn)用歷史相似性對其中蘊(yùn)含的思維進(jìn)行“解密”，讓學(xué)生認(rèn)識到棱柱概念的形成經(jīng)歷了漫長的歷史;概念的形成是最接近歷史客觀事實(shí)的建構(gòu)過程。

最后，需要特別指出的是，立體幾何教學(xué)應(yīng)該以數(shù)學(xué)的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性為前提，遵循公理化規(guī)則和認(rèn)知的規(guī)律，為學(xué)生設(shè)計從感性到理性循序漸進(jìn)的學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生逐步形成公理化體系下完整、連貫的邏輯思維能力，進(jìn)而形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和必要的理性精神，這樣才能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

*本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化的案例研究”（編號：Cb/2018/02/34）的階段性研究成果。

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