范叔旺

摘 ?要：本節(jié)課在學(xué)習(xí)完“任意角和弧度制”后的一節(jié)新授課——任意角的三角函數(shù)。為更好地突出“三角函數(shù)作為描述周期變化的數(shù)學(xué)模型”這一本質(zhì)，教材通過現(xiàn)實(shí)世界的周期現(xiàn)象，在學(xué)生感受引入三角函數(shù)必要性的基礎(chǔ)上，引出三角函數(shù)概念。特別強(qiáng)調(diào)了單位圓的直觀作用，用單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)定義正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù);過程;反思

一、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析

學(xué)生雖然有銳角三角函數(shù)的知識和經(jīng)驗，但他們自己在閱讀教材時，會產(chǎn)生以下的疑惑：

1.任意角的三角函數(shù)定義為什么要引入坐標(biāo)系？

2.的正弦值為什么規(guī)定用比，而不是的絕對值比？

為此要利用學(xué)生的日常生活經(jīng)驗，設(shè)計數(shù)學(xué)應(yīng)用的問題情境，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的自然性、實(shí)用性。

二、教學(xué)過程（教學(xué)片段）

師：學(xué)習(xí)任意角的概念讓你留下哪些深刻的印象？

生：負(fù)角、零角、正角等。

師：還有比較具體的嗎？

生：（遲疑了下）哦，角的周而復(fù)始的旋轉(zhuǎn)。

師：很好，如何表示角的周而復(fù)始的旋轉(zhuǎn)加表示什么含義？

生：

師：很好。若我在終邊上取一距離原點(diǎn)的半徑為1的定點(diǎn)，那么它在旋轉(zhuǎn)后形成的軌跡就是圓。那么，我們學(xué)過的函數(shù)中有沒有刻畫圓周運(yùn)動？

生：（學(xué)生疑惑）好像沒有。

師：我們這節(jié)課就是來一起學(xué)習(xí)如何刻畫圓周運(yùn)動的函數(shù)，叫做《任意角的三角函數(shù)》。當(dāng)終邊轉(zhuǎn)過時，則等于多少？

生：（很快的）。

師：那么的正弦、余弦、正切值呢？

生：還是吧。

師：還是直角三角形中的三角函數(shù)？

生：是。

師：它能等同于這個角三角函數(shù)值嗎？

生：能。

師：你是利用銳角三角函數(shù)的知識來做的，但是角已經(jīng)不是銳角了吧，在銳角三角形中還能找到它嗎？

生：（疑惑）不行。

師：那有更好的方式來定義它嗎？（教師旋轉(zhuǎn)終邊，與單位圓的交點(diǎn)P的坐標(biāo)隨時在變化，同時在學(xué)生熟悉的等角處停留）

生：（經(jīng)觀察后恍然大悟）可以利用點(diǎn)P的坐標(biāo)來表示。

師：（喜悅）如何具體表示？

生：設(shè)坐標(biāo)P（），則。

師：（部分學(xué)生還有疑慮）這樣定義到底何不合理要看具體情況，我們可以具體舉例進(jìn)行驗證。當(dāng)旋轉(zhuǎn)到時呢？

有學(xué)生通過計算器驗證得

，

符合剛才的定義。也有學(xué)生仍然通過構(gòu)建直角三角形求出為。

師：若依然利用直角三角形的三角函數(shù)來做，它的問題在哪里？

生：此時的不是，也就是說，在直角三角形里已經(jīng)找不到了。

師：對于確定的角，這三個比值是否會隨點(diǎn)在的終邊上的位置的改變而改變嗎？為什么？

由于學(xué)生第一次接觸單位圓，對它所能起的作用不了解，所以需要教師的引導(dǎo)。也可以引導(dǎo)學(xué)生從形式上對上述定義化簡，使得分母為1，之后通過分母的幾何意義將之與單位圓結(jié)合起來。

師：剛才圓的半徑，當(dāng)它的半徑不等于1時，又如何呢？

生：，，。

給出下列表格，讓學(xué)生自己補(bǔ)充完整。

三角函數(shù)

定義一：

定義二：

定義域

及時歸納總結(jié)，有利于學(xué)生對所學(xué)知識的鞏固和掌握。

三、教學(xué)反思

1.教學(xué)設(shè)計緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，重點(diǎn)放在任意角的三角函數(shù)的理解上。從任意角的而周而復(fù)始的旋轉(zhuǎn)入手，抓住了三角函數(shù)是刻畫圓周運(yùn)動的數(shù)學(xué)本質(zhì)，認(rèn)知過程符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律——具體到抽象，現(xiàn)象到本質(zhì)，特殊到一般，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

2.通過單位圓來定義三角函數(shù)，滲透數(shù)形結(jié)合思想。同時在說明三角函數(shù)是函數(shù)上體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想。由銳角三角函數(shù)的坐標(biāo)表示引到任意角的三角函數(shù)的坐標(biāo)表示，展示類比的思想。在探索四象限的三角函數(shù)的符號特征時，我采用探究式學(xué)習(xí)方式，鍛煉了學(xué)生的獨(dú)立思考能力，也充分展現(xiàn)了學(xué)生自學(xué)、探究學(xué)習(xí)的過程。

參考文獻(xiàn)：

[1]魏翠萍，高志海，郭婷婷.一個基于三角函數(shù)的直覺模糊熵公式[J].控制與決策，2012，27（4）：571-574.

[2]李加文，陳宗雨，李從心.基于函數(shù)逼近的三角函數(shù)加減速方法[J].機(jī)床與液壓，2006（3）：66-67.