摘要：小學(xué)數(shù)學(xué)生長(zhǎng)課堂，作為課堂革命的一種文化追求，把“促進(jìn)兒童生長(zhǎng)”作為課堂的價(jià)值導(dǎo)向。其愿景是——課堂上學(xué)生的生長(zhǎng)方式是多樣的，學(xué)生的生長(zhǎng)狀態(tài)是主動(dòng)的，學(xué)生的生長(zhǎng)過程是快樂的，學(xué)生的生長(zhǎng)成效是顯著的，最終實(shí)現(xiàn)師生雙方自主生長(zhǎng)、自然生長(zhǎng)和自由生長(zhǎng)的境界。具體而言，教師應(yīng)當(dāng)把握合理的生長(zhǎng)支點(diǎn)，遵循自主的生長(zhǎng)方式，營(yíng)造適宜的生長(zhǎng)生態(tài)。

關(guān)鍵詞：課堂革命?小學(xué)數(shù)學(xué)?生長(zhǎng)課堂

2017年9月，教育部部長(zhǎng)陳寶生在《人民日?qǐng)?bào)》上發(fā)表了《努力辦好人民滿意的教育》一文，標(biāo)志著課堂革命號(hào)角的吹響。課堂革命反映了新時(shí)代對(duì)課堂的重新定位和追問：我是誰？從哪里來？到哪里去？

如何正確理解新時(shí)代對(duì)課堂的新要求，如何全面促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效生長(zhǎng)，并最終實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)的革命性改變？這是數(shù)學(xué)教師普遍關(guān)切的話題。

我們認(rèn)為，以生長(zhǎng)的名義對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)進(jìn)行課堂革命，恰逢其時(shí)，義無反顧。

一、價(jià)值意義

（一）賦予教育本原的意義

橫覽中西，縱觀古今，關(guān)于教育的定義有許多種，我們發(fā)現(xiàn)，不管是哪種理解，生長(zhǎng)都是內(nèi)隱于其中的最根本的意義。

張謇先生關(guān)于小學(xué)教育有過一個(gè)精彩的比喻：“小學(xué)生猶苗蘗也，小學(xué)校猶苗圃也。培護(hù)徑寸之基，使之盈尺及丈，成有用之才，苗圃之事也。小學(xué)亦類似?！?苗圃最重要的特質(zhì)就是其蓬勃的“生長(zhǎng)性”。課堂就應(yīng)該像苗圃一樣，提供營(yíng)養(yǎng)和動(dòng)力，讓參與其中的生命體得以自然生長(zhǎng)、不斷舒展、蓬勃向上。人具有類似生物生長(zhǎng)的特征。正因?yàn)樯L(zhǎng)賦予教育以本原的意義和價(jià)值，所以，我們用“生長(zhǎng)”再來定義教育教學(xué)，再來觀照我們的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，具有重要的時(shí)代價(jià)值。

（二）契合兒童發(fā)展的節(jié)律

人是“長(zhǎng)”出來的，兒童是一個(gè)正在成長(zhǎng)、處于發(fā)展過程中的人。

“一切新生事物之可貴，就因?yàn)樵谶@新生的幼苗中，有無限的活力在成長(zhǎng)，成長(zhǎng)為巨人，成長(zhǎng)為力量?！保ㄖ芏鱽碚Z）“一切新生事物”是兒童生命悄無聲息的拔節(jié)，也是兒童生命蓬勃盛放的絢爛。

童年自有其獨(dú)特的價(jià)值，童年中隱藏著生長(zhǎng)的密碼。教育就是要為兒童生長(zhǎng)提供恣意美好的空間，為兒童生命發(fā)展提供精神能量，以契合兒童生命發(fā)展的節(jié)律。所以，相信種子的力量，守望兒童的自由生長(zhǎng)，是教育應(yīng)有的責(zé)任和義務(wù)。

（三）回應(yīng)課堂革命的號(hào)角

中國(guó)基礎(chǔ)教育正式邁入核心素養(yǎng)的新時(shí)代，怎樣在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中著力于立德樹人，讓核心素養(yǎng)落地？這是課堂革命必須直面的問題。

事實(shí)上，當(dāng)下許多的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，有的仍停留在“教會(huì)、會(huì)學(xué)”上，有的存在著“假生長(zhǎng)”（教學(xué)效率低下）、“偏生長(zhǎng)”（唯知識(shí)教學(xué)、應(yīng)試味道濃）、“被生長(zhǎng)”（機(jī)械訓(xùn)練、主動(dòng)性不夠）甚至“倒生長(zhǎng)”（教學(xué)犯科學(xué)性錯(cuò)誤，學(xué)生逆反心理嚴(yán)重）的現(xiàn)象。這些課堂現(xiàn)象已完全背離了正確的教學(xué)觀、人才觀、質(zhì)量觀。

聯(lián)合國(guó)教科文組織前總干事伊琳娜·博科娃指出：“世界在變，教育必須做出改變?！蔽覀兊恼n堂必須在歷史前進(jìn)的邏輯中前進(jìn)，在時(shí)代發(fā)展的潮流中發(fā)展。

我們深信，課堂革命只有堅(jiān)守鮮明的兒童立場(chǎng)，回歸生長(zhǎng)本身，喚醒兒童的生長(zhǎng)意識(shí)，激發(fā)兒童的生長(zhǎng)潛能，才能揭示教育的本義，才能直抵教育的主旨。生長(zhǎng)，是對(duì)課堂革命最有力的回應(yīng)。

二、內(nèi)涵詮釋

“生長(zhǎng)”不僅是一個(gè)生物學(xué)詞語，而且是一個(gè)具有理論淵源的概念。

18世紀(jì)，法國(guó)的啟蒙思想家盧梭提出了“天賦自然生長(zhǎng)論”的思想。盧梭強(qiáng)調(diào)：“大自然希望兒童在成人以前就要像兒童的樣子，如果我們打亂了這種規(guī)律，我們就會(huì)造出一些早熟的果實(shí)，它們長(zhǎng)得既不豐滿也不甜美，而且很快就腐爛?！弊裱匀?，順應(yīng)兒童的天性，讓生長(zhǎng)自然發(fā)生，正是盧梭教育思想的靈魂。

美國(guó)教育家杜威在繼承盧梭思想的基礎(chǔ)上提出了“教育即生長(zhǎng)”的理論。他認(rèn)為，教育和生長(zhǎng)就是同一樣?xùn)|西，生長(zhǎng)是教育最好的禮物，生長(zhǎng)是天賦本能的“繼續(xù)”發(fā)展。杜威強(qiáng)調(diào)的 “生長(zhǎng)”不單單只是要順乎自然，更強(qiáng)調(diào)生長(zhǎng)的動(dòng)態(tài)性以及與環(huán)境的互動(dòng)。

我國(guó)教育家陶行知、陳鶴琴、葉圣陶等，也提出了“教育應(yīng)當(dāng)培植生活力，使學(xué)生向上生長(zhǎng)”“兒童的生活是轉(zhuǎn)變的生長(zhǎng)”等觀點(diǎn)。

“教育是一種生長(zhǎng)”，我們以為，這不僅從教育學(xué)角度定義了教育的本質(zhì)，探究了教育對(duì)生長(zhǎng)的影響，而且從人類學(xué)角度關(guān)注了生長(zhǎng)的意義。

好的課堂本身就應(yīng)該呈現(xiàn)出一種健康生長(zhǎng)的狀態(tài)，教師不僅要懷著樸素的感情，更要深入地研究和實(shí)踐——以“生長(zhǎng)”觀照小學(xué)數(shù)學(xué)課堂。

因此，小學(xué)數(shù)學(xué)生長(zhǎng)課堂中的“生長(zhǎng)”，是一種教學(xué)理念，是一種價(jià)值追求，也是一種教學(xué)形態(tài)（而非教學(xué)模式）。它強(qiáng)調(diào)的是常態(tài)環(huán)境下師生彼此獲得不斷生長(zhǎng)的情、智、意、趣，以及帶得走的教與學(xué)的能力。

總之，小學(xué)數(shù)學(xué)生長(zhǎng)課堂，作為課堂革命的一種文化追求，把促進(jìn)兒童生長(zhǎng)作為課堂的價(jià)值導(dǎo)向。生長(zhǎng)課堂要做的，是尊重;生長(zhǎng)課堂能做的，是信任，是期待，是為一切不確定性和可能性提供條件;生長(zhǎng)課堂需要做的，是鼓勵(lì)，是激發(fā)兒童生長(zhǎng)的內(nèi)在動(dòng)力。生命、生本、生態(tài)、生動(dòng)、生成、生活、生長(zhǎng)，應(yīng)該成為體現(xiàn)生長(zhǎng)課堂的7個(gè)重要的元素。

小學(xué)數(shù)學(xué)生長(zhǎng)課堂的愿景是：課堂上學(xué)生的生長(zhǎng)方式是多樣的，學(xué)生的生長(zhǎng)狀態(tài)是主動(dòng)的，學(xué)生的生長(zhǎng)過程是快樂的，學(xué)生的生長(zhǎng)成效是顯著的，最終實(shí)現(xiàn)師生雙方自主生長(zhǎng)、自然生長(zhǎng)和自由生長(zhǎng)的境界。只要我們把課堂看成是學(xué)生拔節(jié)生長(zhǎng)的地方，那么我們一定能從生命的視角播種數(shù)學(xué)，讓其發(fā)芽、生根、枝繁葉茂，學(xué)生的生長(zhǎng)也一定會(huì)呈現(xiàn)出勃發(fā)向上的生命姿態(tài)。

三、行動(dòng)策略

（一）把握合理的生長(zhǎng)支點(diǎn)

讓數(shù)學(xué)課堂充滿生長(zhǎng)的律動(dòng)，教師必須以內(nèi)容為載體，充分挖掘生長(zhǎng)的資源，確立課堂得以生長(zhǎng)的支點(diǎn)，從而促發(fā)學(xué)生知識(shí)、能力、情感等整體素養(yǎng)的全面提升、全面生長(zhǎng)。

生長(zhǎng)支點(diǎn)，可以理解為“數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中學(xué)生學(xué)科經(jīng)驗(yàn)和學(xué)科能力生長(zhǎng)的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)”。這個(gè)節(jié)點(diǎn)主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：

1.知識(shí)生長(zhǎng)的起點(diǎn)。

美國(guó)心理學(xué)家奧蘇泊爾說過：“一切新的學(xué)習(xí)都是在原有的根基上產(chǎn)生的，新知總是通過與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)知識(shí)相互聯(lián)系、相互作用后獲得意義的?！?/p>

例如，《三角形三邊關(guān)系》一課，教材一般會(huì)展示一些小棒，讓學(xué)生從中選取三根小棒圍成三角形。通過操作，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)兩根小棒的長(zhǎng)度比第三根小棒短的時(shí)候，無法圍成三角形。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生得出結(jié)論：能圍成三角形的三根小棒，任意兩根小棒的長(zhǎng)度和一定大于第三根小棒，也就是三角形任意兩邊長(zhǎng)度的和大于第三邊。

我聽過一些課，有些學(xué)生在操作時(shí)特別較真，選取了兩根小棒的長(zhǎng)度和與第三根小棒相等的情況，再三強(qiáng)調(diào)也能圍成三角形，只不過這個(gè)高只有一點(diǎn)點(diǎn)而已。這時(shí)，教師往往會(huì)用“這是因?yàn)樾“舯容^粗，實(shí)際上是不能圍成的”來解釋。有的教師還拿出了放大鏡，讓學(xué)生仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)實(shí)際上沒有圍起來，還差了一點(diǎn)點(diǎn)，然后學(xué)生也就接受了這個(gè)觀點(diǎn)?，F(xiàn)行蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材為了避免這種干擾，將原本四根小棒的長(zhǎng)度從10厘米、6厘米、5厘米、4厘米換成了8厘米、5厘米、4厘米、2厘米。

實(shí)際上，我們完全忽略了學(xué)生對(duì)于這個(gè)知識(shí)的原有認(rèn)知——學(xué)生在四年級(jí)時(shí)已經(jīng)學(xué)過，連接兩點(diǎn)的線中，直線段最短。

如果我們聯(lián)系學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，把握住學(xué)生知識(shí)生長(zhǎng)的起點(diǎn)，完全可以讓學(xué)生通過想象和推理得出兩邊之和大于第三邊，而不是用似是而非的現(xiàn)象來說明結(jié)論。同時(shí)，還應(yīng)讓學(xué)生進(jìn)一步思考：怎樣的三邊能圍成三角形？從而將學(xué)生的思維推向深處。

2.教學(xué)內(nèi)容的難點(diǎn)。

衡量生長(zhǎng)課堂優(yōu)劣的一個(gè)重要指標(biāo)，就在于本節(jié)課的難點(diǎn)是否被突破。因?yàn)椋y點(diǎn)是學(xué)生思維的另一個(gè)重要生長(zhǎng)點(diǎn)。

例如，《長(zhǎng)方形的面積計(jì)算》一課，傳統(tǒng)的教學(xué)流程是：出示長(zhǎng)方形，讓學(xué)生通過操作及填表活動(dòng)發(fā)現(xiàn)面積與長(zhǎng)、寬之間的關(guān)系，推導(dǎo)出長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式，然后就是各種鞏固練習(xí)。

試想，這樣上完后，除了公式，我們還能給學(xué)生留下點(diǎn)什么？那么，這節(jié)課的難點(diǎn)究竟在哪里？上述教學(xué)流程的弊端在哪里？它最大的問題在于只關(guān)注了表面的公式，未能真正凸顯面積公式的本質(zhì)意義。而這恰恰是本節(jié)課需要下功夫去突破的難點(diǎn)。如何突破呢？不妨依循“想象—抽象—溝通—提煉—發(fā)散”的路徑——

【想象】圖1、圖2（見下頁）這兩個(gè)圖形沒有擺滿12個(gè)1平方厘米的小正方形，能表示出面積是12平方厘米嗎？

【抽象】現(xiàn)在，你還能看出圖3有幾個(gè)1平方厘米嗎？你還會(huì)數(shù)圖4的面積嗎？

【溝通】比較這四幅圖，你能發(fā)現(xiàn)什么相同的地方嗎？

【提煉】你知道圖5的面積嗎？你是怎么想的？

【發(fā)散】一個(gè)點(diǎn)往右移動(dòng)，它走過的軌跡是什么圖形？（預(yù)設(shè)：一條線段）如果這條線段往下平移，它走過的軌跡又是什么圖形？（預(yù)設(shè)：長(zhǎng)方形）如果寬不斷縮小，長(zhǎng)也不斷縮小，那么圖形怎么變化呢？（預(yù)設(shè)：變成一個(gè)點(diǎn)）如果點(diǎn)同時(shí)向右和向下移動(dòng)，它可能會(huì)形成什么圖形？（預(yù)設(shè)：長(zhǎng)方形）

長(zhǎng)方形面積計(jì)算的實(shí)質(zhì)意義是“單位面積的每行個(gè)數(shù)×行數(shù)”，教師要抓住這一實(shí)質(zhì)，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、想象、抽象、提煉、發(fā)散等認(rèn)知活動(dòng)，溝通一維空間與二維空間的內(nèi)在聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化生長(zhǎng)。

3.學(xué)生思維的盲點(diǎn)。

盲點(diǎn)，指的是學(xué)生對(duì)所給信息的細(xì)微處視而不見或以原有特定表象替代。盲點(diǎn)不同于難點(diǎn)，更具隱蔽性，更難把握。它是學(xué)生思維的第三個(gè)重要生長(zhǎng)支點(diǎn)。

學(xué)生思維的盲點(diǎn)大概有這樣幾種類型：（1）背景型，即背景信息沒有引起重視而被忽略;（2）抑制型，即前面的信息抑制了后續(xù)信息的把握，或者后面的信息影響了前面信息的把握;（3）遲鈍型，即忽略了非敏感信息;（4）隱藏型，即所給信息沒有明確表示出來，需要“想一想”才能有所發(fā)現(xiàn);（5）彌新型，即已經(jīng)熟知的常用字詞組合出的新的含義被忽視;（6）策略型，即因?yàn)槿笔б恍┚唧w而特殊的方法而被誤解。

例如，“在同一圓里，所有的半徑都相等，所有的直徑都相等，直徑是半徑的2倍”這句話中，“在同一圓里”是一個(gè)前提條件，往往會(huì)被學(xué)生省略，判斷“所有的半徑都相等”時(shí)就會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤。

又如，“兩個(gè)數(shù)相除也叫作兩個(gè)數(shù)的比”這句話中的“也”，隱藏了“還有其他”的含義;“一般說來”，則隱藏了“還有例外”這一層含義。這樣的前提條件或背景信息往往會(huì)成為學(xué)生思維的盲點(diǎn)。

這些盲點(diǎn)，需要教師多加“點(diǎn)撥”，并且經(jīng)常針對(duì)這樣的盲點(diǎn)加以練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心審題、嚴(yán)密思考的習(xí)慣，不斷提高分析與理解的能力。

（二）遵循自主的生長(zhǎng)方式

1. 根植生活。

杜威提出的“教育即生活”對(duì)于兒童的生長(zhǎng)非常重要。確實(shí)，生活是課堂的活水源頭，課堂應(yīng)向生活開放。我們應(yīng)該用兒童生活還原數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境，用兒童世界創(chuàng)造數(shù)學(xué)教學(xué)場(chǎng)域，在“生活”這塊肥沃的土壤中把兒童引向自然、自由、自覺的生長(zhǎng)境界。

例如，教學(xué)《解決問題的策略——一一列舉》一課，教師這樣設(shè)計(jì)：課前，帶領(lǐng)學(xué)生參觀學(xué)校的花圃;新授環(huán)節(jié)，創(chuàng)設(shè)圍花圃的情境，讓學(xué)生用22根1米長(zhǎng)的木條圍一個(gè)長(zhǎng)方形花圃，看看有幾種不同的圍法;練習(xí)環(huán)節(jié)，也緊緊圍繞花圃相關(guān)元素設(shè)計(jì)習(xí)題，如間隔40分鐘參觀學(xué)校花圃、給幾種不同的花按指定天數(shù)澆水等。整個(gè)學(xué)習(xí)過程融合在一個(gè)大的問題情境中，所有問題都是現(xiàn)實(shí)的、有意義的。這樣，學(xué)生不僅生長(zhǎng)出心理、情感上的學(xué)習(xí)需求，而且獲得的是有著寬闊外延的知識(shí)。

生活是一個(gè)大課堂，有很多的資源值得我們開發(fā)和利用。我們開發(fā)的理財(cái)課程就是一種積極的嘗試：低年級(jí)，開發(fā)了“繽紛的貨幣世界”“財(cái)富是怎么來的”“小小購物學(xué)問大”“‘錢’途無限主題秀”“我是零錢小管家”五個(gè)課程;中年級(jí)，開發(fā)了“消費(fèi)方法我來講”“購物清單我來列”“超市購物我做主”“零錢使用我安排”“我是銷售小顧問”五個(gè)課程;高年級(jí)，開發(fā)了“儲(chǔ)蓄活動(dòng)多重要”“投資理財(cái)我能行”“全家收支我來算”“旅游計(jì)劃我來定”“我是銷售小顧問”五個(gè)課程。理財(cái)課程特別關(guān)注學(xué)生正在進(jìn)行中的現(xiàn)實(shí)生活，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到生活的價(jià)值和數(shù)學(xué)的奇妙。

2.重視互動(dòng)。

“互”是交替、相互，“動(dòng)”是起作用或變化。歸納起來，“互動(dòng)”就是指一種相互使彼此發(fā)生作用或變化的過程。

雖然生長(zhǎng)一定是先從內(nèi)部發(fā)生的，但是互動(dòng)可以助力生長(zhǎng)的發(fā)生。所以，我們必須重視課堂上的互動(dòng)環(huán)節(jié)，就像“一棵樹搖動(dòng)一棵樹”一樣，幫助學(xué)生的生長(zhǎng)朝著“水源”向下扎根，迎著“陽光”向上生長(zhǎng)。

例如，《因數(shù)與倍數(shù)》一課的教學(xué)：

師根據(jù)正整數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)，我們可以將正整數(shù)分為哪幾類？嘗試用合適的方式表達(dá)出來。

（學(xué)生嘗試分類，分類情況如圖6。）

生1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，第一種分法中少了這一類。

生第二種分法和第三種分法其實(shí)是相同的，因?yàn)椴皇琴|(zhì)數(shù)的正整數(shù)，就是合數(shù)或1。

師你覺得哪種分法更好？為什么？

生1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，第三種分法分得更清楚。

師如果用一個(gè)集合圈來表示正整數(shù)，你會(huì)怎么分類？

（教師選擇學(xué)生典型的畫法，如圖7，在實(shí)物投影儀上展示。）

師你覺得用集合圈表示怎么樣？

生這樣表示一目了然，比用文字表示更形象。

生我覺得這幅圖雖然表示出了正整數(shù)與質(zhì)數(shù)、合數(shù)以及1之間的關(guān)系，但還不夠準(zhǔn)確。

師為什么這么說？

（教師微笑著看著學(xué)生，等待學(xué)生靜思半分鐘。）

生這三類數(shù)的個(gè)數(shù)并不相同，比如質(zhì)數(shù)和合數(shù)都有無數(shù)個(gè)，而1只有一個(gè)數(shù)。因此，集合圈中1所占的面積應(yīng)該小一些。

（教師出示這位學(xué)生的畫法，如圖8。）

生1所占的面積應(yīng)該再小一些，小到只有那么小一點(diǎn)點(diǎn)。

（該生比畫，全班學(xué)生會(huì)意地笑。）

有這樣的一份數(shù)感，教師深感欣慰，但并不是所有的學(xué)生都能有如此深切的領(lǐng)悟。此時(shí)，教師再次延遲評(píng)價(jià)，引發(fā)學(xué)生靜心思考：你們對(duì)這兩幅圖有什么看法呢？學(xué)生小組展開討論，有想法的小組成員躍躍欲試，急切交流：

生如果把1所占的面積變得太小，就不容易看清楚了，所以我更喜歡第一幅圖（圖7）。

生我覺得第一幅圖既美觀，又大方。

生我反對(duì)。（指畫出圖8的學(xué)生）他的方法，不但表示出了正整數(shù)與這三類數(shù)之間的關(guān)系，而且清晰地反映出了這三類數(shù)在數(shù)量上的多少，這樣不是更加清晰嗎？

（大多數(shù)學(xué)生表示贊同。）

生（指著圖8）質(zhì)數(shù)的面積和合數(shù)的面積占這么大真的合適嗎？

生我想知道質(zhì)數(shù)與合數(shù)到底誰多誰少。

生對(duì)啊，如果第二幅圖（圖8）真的可行的話，那么質(zhì)數(shù)與合數(shù)的數(shù)量多少就會(huì)影響各部分表示的大小。

課堂一下子安靜了下來。然而，不一會(huì)兒，學(xué)生的眼睛漸漸閃亮，自發(fā)地在小組里交流。又過了一會(huì)兒，全班互動(dòng)精彩綻放：

生我覺得合數(shù)肯定比質(zhì)數(shù)多。比如在1—10中，質(zhì)數(shù)只有2、3、5、7四個(gè)，而合數(shù)有4、6、8、9、10五個(gè)。質(zhì)數(shù)少于合數(shù)。

生這只是特例。

生不是特例。我們看書上100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表，可以發(fā)現(xiàn)，質(zhì)數(shù)共有25個(gè)，而合數(shù)共有74個(gè)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)。

生那100以外呢？你能保證也一定是質(zhì)數(shù)少于合數(shù)嗎？

生我能推斷。我們可以再舉連續(xù)10個(gè)自然數(shù)101—110，其中有5個(gè)數(shù)是偶數(shù)，它們都至少有因數(shù)2和本身，所以都是合數(shù);5個(gè)奇數(shù)中個(gè)位是5的數(shù)也是合數(shù);剩下4個(gè)奇數(shù)說不定也有可能是合數(shù)。雖然我們不能一下子看出合數(shù)有多少個(gè)，但是合數(shù)比奇數(shù)多是肯定的。

（大家忍不住為這樣精彩的發(fā)言鼓掌。此時(shí)，又有一只手高高舉起。）

生我有更簡(jiǎn)單的推理。我們知道，自然數(shù)可以分為奇數(shù)和偶數(shù)，偶數(shù)中只有一個(gè)2是質(zhì)數(shù)，其他都是合數(shù);奇數(shù)中有些是質(zhì)數(shù)有些是合數(shù)，只要這里有一個(gè)合數(shù)，合數(shù)就占所有自然數(shù)的一半了，更何況奇數(shù)中的合數(shù)還有很多呢！比如9、15、21、25……

（簡(jiǎn)潔明了的推理加上肢體語言，使得結(jié)論變得“異常明顯”，教室里響起熱烈的掌聲。）

師同學(xué)們的說法都很有道理！不過，老師要稍微提醒一下大家，質(zhì)數(shù)和合數(shù)都有無窮多個(gè)。無窮多個(gè)之間的大小比較相對(duì)于有限多個(gè)之間的大小比較要復(fù)雜得多。數(shù)學(xué)家們采用的是建立一一對(duì)應(yīng)的方法。老師告訴大家一個(gè)有趣的結(jié)論：根據(jù)一一對(duì)應(yīng)的方法，正奇數(shù)和正偶數(shù)都和自然數(shù)一樣多，質(zhì)數(shù)也和自然數(shù)一樣多。這些，你們以后學(xué)習(xí)了大學(xué)數(shù)學(xué)就會(huì)明白了。

……

需要注意的是，首先，互動(dòng)并不只是“校對(duì)”與“糾錯(cuò)”的對(duì)白，更應(yīng)該有補(bǔ)充、概括等拓展和提升。其次，每一次互動(dòng)總能有那么一兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)觸碰到學(xué)生的元認(rèn)知——或改變?cè)姓J(rèn)知或融合原有認(rèn)知，從而不斷催發(fā)學(xué)生思維與能力的“種子”萌芽，拔節(jié)生長(zhǎng)。再次，互動(dòng)并不是少數(shù)人與少數(shù)人的交互，并不意味著教師的完全退舍;互動(dòng)過程中，教師要能做到胸有成竹、運(yùn)籌帷幄。

3.適時(shí)留白。

國(guó)畫藝術(shù)中講究留白，取舍之間，達(dá)到“虛實(shí)相生，無畫處皆成妙處”的境界。教學(xué)也是如此，適時(shí)留白，給學(xué)生留出思考、探究、發(fā)現(xiàn)、回味、內(nèi)化的時(shí)間和空間，讓智慧在“潤(rùn)物細(xì)無聲”中悄然生長(zhǎng)起來。

例如，《認(rèn)識(shí)面積》一課，教師安排了一道開放題：

師老師這兒有兩個(gè)圖形，（出示圖9）不過被方格紙蓋住了，只露出了一小部分。你們猜，是左邊圖形的面積大？還是右邊的大？

生左邊。

師你為什么這么肯定??？

生因?yàn)樽筮吢冻龅膱D形面積大。

生我不同意他的觀點(diǎn)，我覺得可能左邊大，也可能右邊大，還可能相等呢！

（很多學(xué)生都點(diǎn)頭應(yīng)和。）

接下來，教師沒有直接把方格紙去掉，而是引導(dǎo)學(xué)生憑感覺把隱藏著的邊線畫出來。緊接著，依次呈現(xiàn)左邊圖形面積大、右邊圖形面積大的兩種作品。

師（追問）會(huì)不會(huì)相等呢？

生會(huì)的。（呈現(xiàn)面積都是8格的長(zhǎng)方形，如圖10）我畫的就是面積相等的。

師相等是多么完美??！只有這一種情況嗎？

生（呈現(xiàn)兩個(gè)面積相等、形狀相同的不規(guī)則圖形，如圖11）我還有。

生（部分學(xué)生嘀咕）啊？竟然能這樣！

師看了露出的部分，大多數(shù)同學(xué)都想到了畫規(guī)則圖形，但這位同學(xué)能畫出不規(guī)則的圖形，思維真獨(dú)特啊！

（教師帶頭鼓掌，教室里頓時(shí)響起雷鳴般的掌聲。）

師同學(xué)們，看來露出來部分的面積大并不代表整體面積大，部分規(guī)則不代表整體規(guī)則。

此環(huán)節(jié)的教學(xué)，教師沒有通過簡(jiǎn)單的演示和介紹告知學(xué)生，而是選擇了“留白”，給學(xué)生留下更充分的嘗試、探索、創(chuàng)造的時(shí)空，把學(xué)生的潛能有效地激發(fā)出來。

教學(xué)留白是一種教學(xué)方法，是一種教學(xué)藝術(shù)，更是一種教學(xué)智慧和境界。恰當(dāng)?shù)牧舭?，可以給學(xué)生思維自由生長(zhǎng)的時(shí)空，讓學(xué)生真正進(jìn)入會(huì)學(xué)、樂學(xué)的境界。

（三）營(yíng)造適宜的生長(zhǎng)生態(tài)

如果我們的數(shù)學(xué)課堂是舒展的、流暢的、滋潤(rùn)的，那么學(xué)生的核心素養(yǎng)就會(huì)不斷生長(zhǎng)，長(zhǎng)成參天大樹。教師要培植適宜生長(zhǎng)的土壤，提供適宜生長(zhǎng)的陽光和雨露。

1.相信學(xué)生。

在課堂革命的當(dāng)下，我們?cè)桨l(fā)感受到學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的潛能是不可低估的。同時(shí)，每一個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式和思維方式又是不同的。相信學(xué)生，就是讓他們用適合自己的方式去學(xué)習(xí)。如果把課堂比作一片草原，作為教師的我們，就應(yīng)該給學(xué)生一匹匹駿馬，讓他們?nèi)プ杂神Y騁，從“想學(xué)”到“能學(xué)”到“學(xué)好”，這就是學(xué)習(xí)生長(zhǎng)的過程。

課堂中，教師相信學(xué)生，就是愿意等一等學(xué)生，讓學(xué)生做完;就是給學(xué)生時(shí)間去動(dòng)手實(shí)踐;就是耐心傾聽學(xué)生不一樣的想法;就是把講臺(tái)大方地讓給學(xué)生;就是讓學(xué)生獨(dú)立思考，覺得他們一定行……

比如，有這樣一道題：

小朋友排成一隊(duì)做操。從左往右數(shù)，小林排第4個(gè)。從右往左數(shù)，小林排第6個(gè)。一共有多少個(gè)小朋友？

一個(gè)學(xué)生板演列式：4+6=10（個(gè)）。其他學(xué)生紛紛表示，他做錯(cuò)了！

教師微笑著說：“真的錯(cuò)了呢！想想看，錯(cuò)在哪里？老師相信你一定會(huì)找到原因，自己去改正！”

帶著老師的信任，該生繼續(xù)畫圖、思考，終于發(fā)現(xiàn)：“原來是把小林重復(fù)計(jì)算了?！?/p>

在這樣充分被信任的課堂中，學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力得到了充分的推動(dòng)，自信心得到了極大的肯定，創(chuàng)造力得到了最大限度的發(fā)展。

2.關(guān)懷生命。

課堂是生命相遇、心靈相約的場(chǎng)域，每一節(jié)課都是不可重復(fù)的生命成長(zhǎng)的過程。課堂教學(xué)應(yīng)該成為對(duì)成長(zhǎng)中的人——兒童的整個(gè)生命的成全。

但是，近年來，很多教師弱化了“過程與方法”，虛化了“情感態(tài)度與價(jià)值觀”，仍然把自己定位在“教書”上。事實(shí)上，教書是手段，生命發(fā)展才是目的。小學(xué)數(shù)學(xué)生長(zhǎng)課堂要始終樹立“立德樹人”這個(gè)風(fēng)向標(biāo)，把學(xué)生當(dāng)作發(fā)展中的人來看待，給予學(xué)生更多的生命關(guān)懷。

首先，深入挖掘?qū)W科知識(shí)的生命因素。比如《數(shù)據(jù)的力量》一課，外顯的教學(xué)線索是觀察描述數(shù)據(jù)、整理概括數(shù)據(jù)、分析利用數(shù)據(jù)，內(nèi)隱的育人線索則是公平、公正的價(jià)值觀。

其次，不斷增強(qiáng)教室載體的育人價(jià)值。育人可以充分利用好“教室”這一獨(dú)特的育人平臺(tái)，貫穿教學(xué)的全過程。所以，要借助流程、組織、情境、規(guī)則甚至教師自身等載體，在學(xué)習(xí)問題的解決中，在師生深度的互動(dòng)中，不僅讓知識(shí)進(jìn)入學(xué)生的心靈，而且讓學(xué)生從小就增強(qiáng)規(guī)則意識(shí)，提高溝通能力，逐步建立起交往、決策的價(jià)值標(biāo)準(zhǔn)和思路，養(yǎng)成良好的意志品質(zhì)。

總之，生長(zhǎng)課堂是學(xué)生生命在場(chǎng)的課堂，生命關(guān)懷需要將學(xué)生的學(xué)習(xí)方式與生命表達(dá)方式相結(jié)合，使學(xué)習(xí)過程真正成為學(xué)生生命表達(dá)和意義實(shí)現(xiàn)的過程，讓課堂煥發(fā)出本我的生命活力與生長(zhǎng)張力。

3.評(píng)價(jià)助力。

學(xué)生的最大特點(diǎn)是“發(fā)展中”。所以，評(píng)價(jià)一堂課的“好壞”，往往要看這堂課是否讓更多的學(xué)生得到了最大程度的知識(shí)增量，是否創(chuàng)造了更多的機(jī)會(huì)讓學(xué)生去體驗(yàn)知識(shí)產(chǎn)生的過程，是否讓更多的學(xué)生獲得了解決問題和運(yùn)用知識(shí)的技能。此外，還要看學(xué)生掌握的學(xué)習(xí)方法是否走向了更合理、更成熟，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情是否變得更濃烈……

由此，我們深入探究，總結(jié)出了小學(xué)數(shù)學(xué)生長(zhǎng)課堂的課堂評(píng)價(jià)觀察量表（見下頁表1），以學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)和學(xué)習(xí)效果來評(píng)價(jià)課堂，觀察學(xué)生是否“學(xué)有所依、學(xué)有所備、學(xué)有所律、學(xué)有所聞、學(xué)有所思、學(xué)有所為、學(xué)有所長(zhǎng)”，以此來推動(dòng)小學(xué)數(shù)學(xué)生長(zhǎng)課堂的研究。

課堂評(píng)價(jià)觀察量表，既是教師備課的指針，也是組織教學(xué)的準(zhǔn)繩，更是評(píng)價(jià)教學(xué)的標(biāo)尺，對(duì)進(jìn)一步強(qiáng)化以生為本的教學(xué)意識(shí)、提高課堂教學(xué)效益等起到了很好的促進(jìn)作用。

此外，課堂教學(xué)中師生的即時(shí)性評(píng)價(jià)，在發(fā)揮其診斷、激勵(lì)作用的同時(shí)，也應(yīng)該具有促進(jìn)課堂生長(zhǎng)的功能。常用的方法有：跟進(jìn)式評(píng)價(jià)、延伸式評(píng)價(jià)、交互式評(píng)價(jià)、干預(yù)式評(píng)價(jià)、幫扶式評(píng)價(jià)等。

以《解決問題的策略——一一列舉》一課教學(xué)為例，學(xué)生體會(huì)一一列舉策略的價(jià)值后，師生開始交互式評(píng)價(jià)：

生我們小組認(rèn)為，像這樣從長(zhǎng)為10米開始一個(gè)一個(gè)地列舉，看上去更清楚，不容易遺漏和重復(fù)。

生我來補(bǔ)充一下。一開始我們小組交流的時(shí)候感覺大家的方法差不多，后來認(rèn)真比較后發(fā)現(xiàn)，有一份在列舉的時(shí)候比較亂，沒有順序，還重復(fù)了一個(gè)。所以我要提醒大家，要按照順序列舉。

師說得真好！看來合作的力量真是非常大。通過小組合作，我們不但解決了問題，還明白了要有序思考。

生我們小組的一位同學(xué)是用畫圖列舉的，我們都覺得太麻煩了，所以我們不提倡。大家同意嗎？

生我不完全同意你們的觀點(diǎn)，其實(shí)畫圖也有它的好處，就是看上去很直觀。

生雖然看上去直觀，但是解決這個(gè)問題的時(shí)候沒有必要這樣，將長(zhǎng)和寬直接一個(gè)一個(gè)列舉出來就可以解決問題了。

師能在交流中發(fā)現(xiàn)優(yōu)缺點(diǎn)，互相取長(zhǎng)補(bǔ)短，為你們點(diǎn)贊！

這樣交互式的對(duì)話，使課堂評(píng)價(jià)有了生長(zhǎng)的力量。學(xué)生通過對(duì)話，相互質(zhì)疑，相互補(bǔ)充，不斷完善自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，思維的嚴(yán)密性和深刻性也得到提升。

（卞惠石，江蘇省海門市實(shí)驗(yàn)小學(xué)集團(tuán)總校長(zhǎng)，特級(jí)教師。）