朱藝峰

摘要：數(shù)學(xué)建模思想是引導(dǎo)學(xué)生深入認(rèn)知數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)邏輯思維的重要思想。在核心素養(yǎng)的背景下，對(duì)于初中數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)建模的思想，以培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)體系的建構(gòu)能力、邏輯思維能力以及自主學(xué)習(xí)的能力顯得尤為重要，而選擇教學(xué)的方法，將復(fù)雜問(wèn)題具體化更是我們作為一線教師關(guān)注的問(wèn)題。本文通過(guò)問(wèn)題提出的方式，對(duì)于學(xué)生在解決一次函數(shù)實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)建模思想的培養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)造性，提升學(xué)生整體的學(xué)習(xí)能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;問(wèn)題提出;一次函數(shù)

一、背景介紹

數(shù)學(xué)思想方法源于數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，在日常的教學(xué)中不能僅停留在教會(huì)學(xué)生解題上，而是應(yīng)針對(duì)不同的學(xué)生、不同的知識(shí)內(nèi)容，以及初中生的認(rèn)知能力與特點(diǎn)，將數(shù)學(xué)思想充分融入數(shù)學(xué)教學(xué)的各環(huán)節(jié)中，采用合理的教學(xué)方法，有效的培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

在實(shí)際的建模過(guò)程中，學(xué)生會(huì)遇到各種的問(wèn)題，那么老師應(yīng)采用合適的教學(xué)手段，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，優(yōu)選可以融入建模思想的素材，以幫助學(xué)生順利的尋找建模的切入點(diǎn)與突破口，使學(xué)生體會(huì)到利用數(shù)學(xué)建模思想解決復(fù)雜、抽象問(wèn)題的好處，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

本節(jié)課的作者通過(guò)問(wèn)題提出的方式，讓學(xué)生成為課堂的主人，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，融入建模思想，總結(jié)和歸納建模的方法，從而輕松、快速的解題，既容易被學(xué)生接受，也鍛煉了學(xué)生的邏輯思維能力。

二、教學(xué)過(guò)程

（一）原題呈現(xiàn)：本題來(lái)源于一次函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用的作業(yè)題，難度較高，分層級(jí)別屬于拓展探究類題目。

星期天，小強(qiáng)從學(xué)校步行去圖書(shū)館，同時(shí)，先到圖書(shū)館的小華騎車返校取忘帶的學(xué)生卡，拿到卡返回圖書(shū)館途中遇到小強(qiáng)，小強(qiáng)坐小華的車來(lái)到圖書(shū)館，如圖所示為兩人距離圖書(shū)館的距離y（m）與出發(fā)時(shí)間x（min）之間的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象信息解答問(wèn)題：

（1）求小華返回圖書(shū)館時(shí)的速度.

（2）小強(qiáng)比步行提前多少分鐘到圖書(shū)館？

（3）求小強(qiáng)與小華相距1000m的時(shí)間.

【設(shè)計(jì)意圖】在上此課之前，學(xué)生的回家作業(yè)等同于課堂前測(cè)，批改作業(yè)后發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生會(huì)解決第（1）題，但基本都用算數(shù)方法。這樣的思想對(duì)于第（2）（3）題的解法是有負(fù)遷移作用，因?yàn)閷W(xué)生很難通過(guò)算數(shù)的方法，想到后面兩小題，特別是第（3）題。

【學(xué)生解答】

這個(gè)學(xué)生的（1）（2）兩小題，用的是算數(shù)方法，是大部分同學(xué)的選擇的方法。而第（3）小題的解答方式是非常典型的方程思想解決問(wèn)題，而且還結(jié)合了線段圖，應(yīng)該給予肯定，但是對(duì)于最后一題就會(huì)有考慮不到位的地方，與函數(shù)思想解決的差距就更顯而易見(jiàn)。

在上此課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)用圖像和函數(shù)解決復(fù)雜的應(yīng)用題，即在上完第2課時(shí)后，才進(jìn)行了此課的教學(xué)。對(duì)于第二課時(shí)的課堂教學(xué)中，特別強(qiáng)調(diào)利用函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型解決類似問(wèn)題，使學(xué)生有了一定的數(shù)學(xué)建模思想，對(duì)于這節(jié)課的教學(xué)起到非常重要的鋪墊作用。

（二）課堂呈現(xiàn)

1、實(shí)際應(yīng)用——數(shù)學(xué)抽象

教師提問(wèn)：這個(gè)問(wèn)題的題目比較復(fù)雜，現(xiàn)在老師想把這個(gè)應(yīng)用題簡(jiǎn)化下，把題目的背景全部去掉，只留下一個(gè)函數(shù)圖像，你們可以從這個(gè)圖像中得到一些什么信息？

學(xué)生1：我能看出X軸和Y軸分別表示時(shí)間與路程。

這個(gè)發(fā)現(xiàn)是非常重要的，讓學(xué)生意識(shí)到解決這個(gè)問(wèn)題中的兩個(gè)變量時(shí)間與路程，至于具體代表的信息可以在后面進(jìn)行分析，所以第一個(gè)同學(xué)就開(kāi)了個(gè)非常好的頭，教師給予鼓勵(lì)和表?yè)P(yáng)。

學(xué)生2：我能看到幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。

教師追問(wèn)：哪幾個(gè)點(diǎn)？

學(xué)生2：D、A、B、C，不對(duì)，B點(diǎn)只知道橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。

教師：那我們能求出B點(diǎn)坐標(biāo)嗎？

學(xué)生沉默，其他同學(xué)思考。

教師提問(wèn)：同學(xué)們回憶下，如果知道一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，怎么求縱坐標(biāo)？

學(xué)生：代入函數(shù)解析式。

教師追問(wèn)：那么我們有函數(shù)解析式嗎？

學(xué)生：沒(méi)有。

學(xué)生3：我們可以求函數(shù)解析式。

教師：非常好，我們是不是已經(jīng)學(xué)會(huì)根據(jù)圖像求函數(shù)解析式，那么根據(jù)此函數(shù)圖像，我們可以得到幾個(gè)函數(shù)解析式？

學(xué)生3：兩個(gè)人，應(yīng)該是兩個(gè)函數(shù)。

學(xué)生4：有個(gè)函數(shù)應(yīng)該是分段函數(shù)（因?yàn)樵谄綍r(shí)的教學(xué)中，也涉及到分段的情況，所以有學(xué)生會(huì)提出分段函數(shù)這個(gè)概念）

教師：這個(gè)學(xué)生真的非常棒，分段是因?yàn)樽宰兞康娜≈捣秶煌?，所以我們也?yīng)該關(guān)注到圖形中的自變量的取值。

給學(xué)生幾分鐘的時(shí)間，把可以得到的函數(shù)解析式求出來(lái)。

【學(xué)生解答】

教師：為什么我們不能直接求出BD這條直線？

學(xué)生1：因?yàn)橹荒艽_定一個(gè)點(diǎn)D的坐標(biāo)，B的坐標(biāo)不知道。

學(xué)生2：B點(diǎn)在AC這條直線上，所以只要把B的橫坐標(biāo)代入，就能求出B點(diǎn)的縱坐標(biāo)。

因?yàn)閷W(xué)生對(duì)一次函數(shù)圖像與性質(zhì)的學(xué)習(xí)有了一定的積累，而函數(shù)應(yīng)用第二課時(shí)中也有類似的問(wèn)題遇到過(guò)，所以有些學(xué)生能夠想到解決的辦法。

教師：非常好，那么我們已經(jīng)解決了之前學(xué)生2留下的問(wèn)題。那么現(xiàn)在我們是不是可以得出直線BD的函數(shù)解析式？

學(xué)生4：老師，不是直線，是線段，因?yàn)樽宰兞坑幸欢ǖ姆秶?/p>

此時(shí)，教師真的想給這個(gè)學(xué)生鼓掌，很多老師想要提出的問(wèn)題，學(xué)生都已經(jīng)能夠想到了。

學(xué)生4：前面OA和AC也是一條線段。

【設(shè)計(jì)意圖】

把實(shí)際問(wèn)題抽象成一個(gè)數(shù)學(xué)模型，意在讓學(xué)生學(xué)會(huì)用函數(shù)圖像來(lái)解決各類問(wèn)題的一般方法。

2、數(shù)學(xué)抽象——實(shí)際應(yīng)用

教師：我們已經(jīng)能根據(jù)函數(shù)圖像上的信息得到我們想要的解析式，那么我們回到這個(gè)題目，來(lái)看看是不是我們求出的函數(shù)解析式就能回答這幾個(gè)題目？

給學(xué)生幾分鐘的思考時(shí)間，看學(xué)生能否通過(guò)函數(shù)的方法來(lái)解決題目中的幾個(gè)小題。

【學(xué)生解答】

教師：第（1）題大部分學(xué)生都能看出，我們函數(shù)解析式中的K就是小華和小強(qiáng)的速度，所以返回圖書(shū)館的速度就是直線AC的解析式中的K的絕對(duì)值。那么我們還能知道哪些信息呢？

學(xué)生舉一反三：還能知道回學(xué)校時(shí)的速度和小強(qiáng)的速度。

學(xué)生的回答，正好引出第二個(gè)問(wèn)題的解決。

教師：老師正想問(wèn)一個(gè)問(wèn)題，小強(qiáng)在從學(xué)校到圖書(shū)館的過(guò)程中，速度是否發(fā)生了改變，為什么會(huì)變化？

學(xué)生：后來(lái)遇到小華，坐他的車前進(jìn)了，所以速度變快了。

教師：在圖象中是否有顯示？

學(xué)生：B點(diǎn)就是小強(qiáng)坐小華車的地方。

教師：那老師還有一個(gè)問(wèn)題，就是如果小強(qiáng)任然步行前進(jìn)，在圖象上如何表示？

【學(xué)生解答】

教師：那么大家能求出這條直線與X軸的交點(diǎn)嗎？它所表示的實(shí)際意義是什么？

學(xué)生：當(dāng)Y=0時(shí)，X的值就是這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。它表示小強(qiáng)步行到圖書(shū)館所用的時(shí)間。

教師：那么我們的第二小題是不是一目了然了。

此時(shí)只剩下第三個(gè)問(wèn)題，大部分學(xué)生還是不能解決，教師繼續(xù)啟發(fā)

教師：我們知道這個(gè)函數(shù)圖象中的Y表示的就是離圖書(shū)館的距離，那么想要知道他們什么時(shí)候距離1000米，只要知道此時(shí)他們距離圖書(shū)館的距離差是1000米，就是Y的差是1000米。

教師：觀察圖象，兩個(gè)函數(shù)距離1000大約會(huì)有幾次？

教師板書(shū)，演示圖象距離1000米，讓學(xué)生先發(fā)現(xiàn)可能存在的情況。

學(xué)生：可能會(huì)有三次。

教師：那么我們分別來(lái)談?wù)撨@三次距離1000米的情況。

【學(xué)生解答】

至此，原題中的三個(gè)題目都已經(jīng)解決，從簡(jiǎn)單到難，層層遞進(jìn)，慢慢突破。

【教學(xué)反思】

第一次教學(xué)中是通過(guò)先解決原題目，讓學(xué)生學(xué)會(huì)通過(guò)分析圖形，函數(shù)解析式，來(lái)解決已有的問(wèn)題，再提出問(wèn)題，自我解答。改進(jìn)后想嘗試，全開(kāi)放式的模式，就是只有題目背景，從開(kāi)始就由學(xué)生來(lái)提出問(wèn)題，再互相解決。

3、提出問(wèn)題——解決問(wèn)題

教師：我們是否可以根據(jù)此函數(shù)圖像提出一些問(wèn)題并嘗試解決呢？

【教學(xué)反思】

第一次教學(xué)因?yàn)闀r(shí)間比較匆忙，問(wèn)題提出的方式是比較臨時(shí)的，所以沒(méi)有采取小組合作的模式，但是學(xué)生還是提出了不少問(wèn)題，個(gè)別的問(wèn)題還是有比較大的研究?jī)r(jià)值。改進(jìn)后的教學(xué)打算采用合作學(xué)習(xí)的模式，給學(xué)生充分的思考時(shí)間，意在讓學(xué)生提出更多有價(jià)值的問(wèn)題。

學(xué)生1：我的問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，就是當(dāng)時(shí)間為30分鐘時(shí)，小強(qiáng)離圖書(shū)館多少距離？

這是一個(gè)非常好的問(wèn)題，如果能給予更充分的時(shí)間，學(xué)生在表達(dá)上可能會(huì)更完美些。

學(xué)生2：我來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，只要把30代入BD所在直線的函數(shù)解析式，求出的Y值就是此時(shí)離圖書(shū)館的距離。

教師：有沒(méi)有同學(xué)能在這個(gè)問(wèn)題上進(jìn)行發(fā)散？

學(xué)生3：可以問(wèn)離學(xué)校多少距離。

教師：很好。怎么解決？

學(xué)生3：只要3000減去剛才那個(gè)Y值就行了。

教師：難度稍微增加了一些，還有沒(méi)有？

學(xué)生4：當(dāng)小華回到學(xué)校的時(shí)候，小強(qiáng)距離學(xué)校多少米？

這個(gè)問(wèn)題非常的好，既考慮到小強(qiáng)又要考慮小華，分析后不難發(fā)現(xiàn)，其實(shí)跟前面的問(wèn)題是一樣的，也是當(dāng)X=30時(shí)的情況。

【學(xué)生解答】

學(xué)生5：我的問(wèn)題也比較簡(jiǎn)答。小華和小強(qiáng)第一次相遇的時(shí)間？

從圖像上我們很容易就能看到，直線有兩次相交的情況，對(duì)于第二次相交的交點(diǎn)，我們前面已經(jīng)進(jìn)行了分析，所以學(xué)生會(huì)問(wèn)到第一次相交，這是非常好的，也說(shuō)明學(xué)生對(duì)于函數(shù)交點(diǎn)與方程的解已經(jīng)能夠靈活運(yùn)用了。

教師：剛才我們的問(wèn)題都是根據(jù)X求Y的值，有沒(méi)有同學(xué)能夠提出一些根據(jù)Y的值求X的呢？

此刻思考幾分鐘后，才有學(xué)生舉手。

學(xué)生1：當(dāng)Y的值一定時(shí)，X的值可能不止一個(gè)。

教師：非常棒，對(duì)于圖像的認(rèn)識(shí)你已經(jīng)非常到位了。那么請(qǐng)你提出一個(gè)問(wèn)題，讓大家來(lái)解解看？

【學(xué)生解答】

學(xué)生1：當(dāng)Y=1500的時(shí)候，X=多少？

學(xué)生2：1500就是兩個(gè)地方的中點(diǎn)，我們可以問(wèn)什么時(shí)候經(jīng)過(guò)這個(gè)中點(diǎn)。

教師：這兩位同學(xué)的問(wèn)題非常的好，老師再給他們美化下，假設(shè)圖書(shū)館和學(xué)校的中點(diǎn)處有個(gè)亭子，請(qǐng)問(wèn)小聰和小華共經(jīng)過(guò)這個(gè)亭子幾次？分別是什么時(shí)刻？

學(xué)生3：我有一個(gè)問(wèn)題，不知道算不算。就是小華和小強(qiáng)第一次相遇候，什么時(shí)候他們的距離最遠(yuǎn)？

這是一個(gè)非常有價(jià)值的問(wèn)題，只是放在這個(gè)模型當(dāng)中，可以通過(guò)觀察圖象直接看出，什么時(shí)候距離最遠(yuǎn)，但是我還是希望能夠讓學(xué)生通過(guò)一次函數(shù)求最值得問(wèn)題來(lái)解決它。

教師：這個(gè)問(wèn)題大家看看圖象，能得到答案嗎？

學(xué)生4：可以，在時(shí)間為30的時(shí)候，他們的距離最遠(yuǎn)，最遠(yuǎn)距離通過(guò)Y的值就能求出來(lái)。

教師：如果我改變下題目，OA沒(méi)有在A點(diǎn)轉(zhuǎn)折，而是繼續(xù)前進(jìn)，換個(gè)點(diǎn)轉(zhuǎn)折，我們能否找到這個(gè)時(shí)刻？

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的改變，其實(shí)是很抽象的，學(xué)生可能無(wú)法理解老師的意圖。當(dāng)時(shí)老師也是在學(xué)生提出這個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，想到如果不知道30這個(gè)值，我們需要怎么去解決？

教師：之前的題目中，我們是不是解決過(guò)距離的問(wèn)題？

學(xué)生5：通過(guò)Y的差來(lái)解決。

教師：請(qǐng)你們把這個(gè)差表示出來(lái)。

【學(xué)生解答】

教師：如果用Y’來(lái)表示小華和小強(qiáng)的距離，那么我們是否可以用函數(shù)來(lái)表示這個(gè)差？

學(xué)生：

教師：這是一個(gè)什么函數(shù)？

學(xué)生：一次函數(shù)

教師：一次函數(shù)如何求最值？

學(xué)生：通過(guò)函數(shù)的增減性，再根據(jù)自變量的范圍，可以求出函數(shù)的最大值或者最小值。

【學(xué)生解答】

【教學(xué)反思】

如果能想到學(xué)生會(huì)提出這樣的問(wèn)題，那么在最初的分析第三個(gè)問(wèn)題時(shí)就應(yīng)該要想到用函數(shù)來(lái)表示兩人的距離。然后在設(shè)計(jì)原題的時(shí)候要進(jìn)行一定的改編，讓學(xué)生的這個(gè)想法可以得到實(shí)現(xiàn)。從目前這個(gè)問(wèn)題的解決辦法來(lái)看，有點(diǎn)生搬硬套，一目了然的問(wèn)題還要復(fù)雜化，為了用到函數(shù)單調(diào)性才一定要用這個(gè)方法，只有個(gè)別同學(xué)能領(lǐng)會(huì)老師的意圖。

三、總結(jié)反思：

本節(jié)課通過(guò)對(duì)已有問(wèn)題的解決方式，建立數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生學(xué)會(huì)解決實(shí)際問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)方法，然后再應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中。后階段是非常初淺的嘗試了問(wèn)題提出式的教學(xué)方法，讓學(xué)生對(duì)已有的數(shù)學(xué)模型，提出問(wèn)題，再自己根據(jù)圖象的性質(zhì)及函數(shù)與方程的關(guān)系，來(lái)解決問(wèn)題。

本題是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，本身難度較大，學(xué)生在課堂上的參與度就不夠高。而問(wèn)題提出式的教學(xué)方式，在平時(shí)的課堂中雖然有所接觸與嘗試，但是對(duì)于難度如此大的問(wèn)題背景下的題目來(lái)說(shuō)，還從來(lái)沒(méi)有嘗試過(guò)。學(xué)生能夠配合的地方，應(yīng)該給予肯定，特別是提出問(wèn)題的幾個(gè)同學(xué)，都是對(duì)于函數(shù)的綜合應(yīng)用掌握的較好的學(xué)生，其它一些學(xué)生本身欠缺數(shù)學(xué)建模的能力，此時(shí)又需要主動(dòng)參與提出問(wèn)題，對(duì)于他們來(lái)說(shuō)要去較高，感覺(jué)在課堂上已經(jīng)跟不上節(jié)奏了。改進(jìn)后的教學(xué)設(shè)計(jì)，希望能把背景問(wèn)題的設(shè)計(jì)更有發(fā)揮性，讓不同層次的學(xué)生都能參與到課堂上來(lái)，所以第二次的課堂教學(xué)，會(huì)采用合作學(xué)習(xí)的模式，讓提出的問(wèn)題更豐富，更合理，更有層次，所用到的數(shù)學(xué)方法和思想更多樣化。

參考文獻(xiàn)：

[1] 莊文革.初中數(shù)學(xué)活動(dòng)中模型思想培養(yǎng)的有效策略[J].考試周刊，2017（21）：97-98.

[2] 劉娟.初中數(shù)學(xué)模型思想的滲透原則及培養(yǎng)策略[J].考試周刊，2016（83）：53.

（作者單位：浙江省杭州市蕭山區(qū)金惠初中）