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一道橢圓離心率問題的解題研究

2019-09-10 02:36:36羅萬萍
天府數(shù)學 2019年4期
關(guān)鍵詞:離心率新高考橢圓

羅萬萍

摘要:橢圓離心率問題是數(shù)學高考中的一個重要考點,本文借助波利亞的“怎樣解題表”利用一道典型例題的五種不同解法,引導(dǎo)學生突破思維,學會解題,把機械的做題轉(zhuǎn)變到深刻理解概念的內(nèi)涵及外延,以及對解題進行歸納、總結(jié)、拓展、感悟的軌道上來,讓教師和學生找到真正的“應(yīng)試之道”。

關(guān)鍵詞:橢圓 離心率 怎樣解題 新高考

橢圓的離心率的值或者取值范圍是高考的高頻考點,求離心率的本質(zhì)就是探究a,c之間的數(shù)量關(guān)系。橢圓的離心率體現(xiàn)橢圓的扁平程度,而扁平程度與橢圓的范圍有關(guān),橢圓離心率問題是學習的一個重點和難點它涉及的知識面廣,題目帶有一定的綜合性和靈活性。對學生思維能力要求較高。我們以一道經(jīng)典例題的一題多解,嘗試借助波利亞的“怎樣解題表”來引導(dǎo)學生展開思考,幫助學生突破思維障礙。

四、解題反思:

方法一本質(zhì)是將存在性問題轉(zhuǎn)化為最值問題,考慮了點P在短軸端點的特殊情況找到范圍的一個極限值。有同學會假設(shè)當點P與橢圓上、下頂點重合時計算出一個離心率值等于√3/2,然后估計√3/2可能是離心率e取到一個最值,但是卻不知道為什么。

我們可以繼續(xù)深入研究,看看橢圓上任意一點P與焦點所成的角∠F1, PF2中,上頂點與焦點所成的角∠F1 BF2會不會有什么特殊性。大家可以猜想當P為短軸與坐標軸交點時,∠F1 PF2最大。

證明:如圖所示,過上頂點B,F(xiàn)1,F(xiàn)2作圓O',圓心O'與坐標原點O不一定重合,劣弧A1B和A2B上的點除B點在圓上其它都在圓外,根據(jù)同弦所對的圓周角大于圓外角,可得∠F1 BF2>∠F1 PF2。

由此,我們可以得到:橢圓上任意一點與焦點的連線所構(gòu)成的∠F1 PF2中,當點P在短軸端點時∠F1PF2最大。

方法二運用了橢圓的定義,余弦定理及基本不等式

既然可以用余弦定理解三角形,我們也可以嘗試方法三用正弦定理解三角形,并結(jié)合初中合比定理以及橢圓定義求解,同時運用了三角函數(shù)有界性。

方法四PF1和PF2是橢圓上點到焦點的距離,所以聯(lián)想到用橢圓焦半徑公式來求解。

方法五用到了焦點三角形面積公式S△PF1F2=b2.tan a/2以及(S△PF1F2)max=bc

這道題還有其他的一些解法,每個解法都有很多知識點的融合和擴展,教師應(yīng)該利用核心題型,深入剖析、總結(jié)歸納解題的規(guī)律和方法,力求給學生以啟發(fā),引導(dǎo)學生注重縱橫聯(lián)系、發(fā)現(xiàn)共同的本質(zhì)特征,實現(xiàn)知識的遷移,培養(yǎng)學生繼續(xù)學習的潛力。

從高考數(shù)學最新的命題特點來看,試題明顯從過去單純的強調(diào)簡單的觀察能力和特殊技巧,轉(zhuǎn)變?yōu)樯羁痰匕盐諗?shù)學問題的本質(zhì)及通性通法。因此,對于廣大教師和學生來講,適應(yīng)高考復(fù)習新常態(tài),必須由原來的題海戰(zhàn)術(shù)為指導(dǎo)原則轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛐室謹?shù),把機械的做題轉(zhuǎn)變到深刻理解概念的內(nèi)涵及外延,以及對解題進行歸納、總結(jié)、拓展、感悟的軌道上來,讓教師和學生找到真正的“應(yīng)試之道”。

參考文獻

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