袁莉莉

[摘? 要] 數(shù)形結(jié)合意識(shí)、一題多解意識(shí)、建模意識(shí)、反思意識(shí)的培養(yǎng)能令學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中少走彎路，教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)略這些意識(shí)形成對(duì)學(xué)好數(shù)學(xué)的重要意義，使學(xué)生能夠?qū)W會(huì)運(yùn)用這些意識(shí)并獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的良好效果.

[關(guān)鍵詞] 意識(shí);數(shù)形結(jié)合;一題多解;建模;反思

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的思想意識(shí)是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)所必需的，教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)進(jìn)行有意識(shí)的引導(dǎo)和滲透，使學(xué)生能夠在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中養(yǎng)成良好的意識(shí)與習(xí)慣并獲得良好的學(xué)習(xí)效果.

[?]數(shù)形結(jié)合

初中學(xué)生對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用與體驗(yàn)是比較少的，因此，高中教師面對(duì)高一新生應(yīng)注重這一思想的有意滲透并使學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中獲得更多的體驗(yàn)與感受，使學(xué)生能夠更好地適應(yīng)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)并將數(shù)形結(jié)合思想扎根于學(xué)生頭腦中[1].

由此可見(jiàn)，勾勒函數(shù)圖像對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的把握是極為重要的.

[?]一題多解

對(duì)概念形成真正的理解并熟練掌握解題技能才能真正地學(xué)好數(shù)學(xué)，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中如果能將一題多解內(nèi)化成一種自覺(jué)性的意識(shí)和習(xí)慣，在概念的深化和技能的鞏固中必然會(huì)有更加深刻的領(lǐng)會(huì). 比如，很多學(xué)生往往會(huì)因?yàn)槿呛瘮?shù)涉及的公式眾多且運(yùn)用靈活而感覺(jué)難學(xué)，因此，教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)注重公式的追根溯源并因此降低學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)，使學(xué)生能夠結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)在一題多解中領(lǐng)會(huì)知識(shí)間的聯(lián)系并更好地掌握公式及其運(yùn)用[2].

從知識(shí)源頭出發(fā)解決問(wèn)題在以上兩種解法中得到了很好的體現(xiàn)，事實(shí)上，利用誘導(dǎo)公式消除角的差異進(jìn)行解題的方法會(huì)更加簡(jiǎn)便.

[?]數(shù)學(xué)建模

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中如果能夠牢固樹(shù)立方程模型、函數(shù)模型、概率模型等建模意識(shí)，必然會(huì)在有效的學(xué)習(xí)中獲得學(xué)科能力與素養(yǎng)的快速提升.

例3：函數(shù)f（x）=a-x2（1≤x≤2）與函數(shù)g（x）=x+1的圖像上，有關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，a的取值范圍如何？

兩函數(shù)的圖像上“有關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)”這一條件是決定a的取值范圍的關(guān)鍵，將這一條件數(shù)學(xué)化的過(guò)程即為數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，具體如下：

（1）勾畫(huà)如圖2所示的草圖并明確問(wèn)題;

（2）在[1，2]上作x軸的垂線AB并確定點(diǎn)A（x0，x0+1），B（x0，a-x）;

（3）由題意構(gòu)造方程模型x0+1+a-x=0;

（4）轉(zhuǎn)化函數(shù)模型a=x-x0-1（x0∈[1，2]）;

（5）利用單調(diào)性可得a∈[-1，1].

[?]解后反思

很多學(xué)生因?yàn)檎n業(yè)負(fù)擔(dān)較重而疏于題后反思，事實(shí)上，解題反思意識(shí)的培養(yǎng)和習(xí)慣的養(yǎng)成對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)好處頗多.

例4：某公司在A，B兩地區(qū)隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶以了解用戶對(duì)公司產(chǎn)品的滿意度，具體如下圖3所示：

調(diào)查結(jié)束后根據(jù)用戶滿意度評(píng)分制成了下表：

分別從A，B兩個(gè)地區(qū)的20名用戶的評(píng)分中隨機(jī)抽取一個(gè)分?jǐn)?shù). 記事件C：“兩地用戶滿意度登記相比，A地區(qū)比B地區(qū)高”. 現(xiàn)將兩個(gè)地區(qū)用戶的評(píng)價(jià)結(jié)果看成為相互獨(dú)立的狀態(tài)，請(qǐng)根據(jù)已知數(shù)據(jù)并以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率求出事件C的概率.

解決此題不難，設(shè)Ai，Bi（i=1，2，3）順次表示從兩個(gè)地區(qū)所抽用戶的態(tài)度為不滿意、滿意和非常滿意，則有P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=;P（B1）=，P（B2）=，P（B3）=. 所以P（C）=P（A2B1∪A3B1∪A3B2）=P（A2B1）+P（A3B1）+P（A3B2）=P（A2）P（B1）+P（A3）P（B1）+P（A3）P（B2）=0.48.

從圖表中不難看出A地區(qū)用戶的評(píng)分比B地區(qū)用戶的評(píng)分高出許多，但從中各抽取一戶計(jì)算出的結(jié)果卻小于，這就值得反思了.

筆者適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生從A，B兩個(gè)地區(qū)各抽取一戶的三種情況設(shè)成了Ci（i=1，2，3），將A地區(qū)評(píng)分高于B地區(qū)這一情況設(shè)為C1，兩地區(qū)評(píng)分持平這一情況設(shè)為C2，將A地區(qū)評(píng)分低于B地區(qū)這一情況設(shè)為C3，則P（C1）=P（C）=0.48，P（C2）=0.36，P（C3）=0.16，這一結(jié)果顯然令學(xué)生的疑惑頓消.

例5：已知函數(shù)f（x）=-x2+2x，x≤0，

聯(lián)想數(shù)形結(jié)合的方法并在同一坐標(biāo)系中分別作出兩個(gè)函數(shù)的草圖，如圖4，由函數(shù)y=ax的圖像在函數(shù)y=f（x）的圖像下方可以得出直線斜率a的取值是不能選擇A，B，C的，因此D為正確選項(xiàng).

但D為正確選項(xiàng)的理由是什么呢？直線y=ax的最小斜率為-2，由此可知函數(shù)y=-x2+2x在x=0點(diǎn)處的切線的斜率，但斜率a不能大于0的原因又是什么呢？難道斜率a取任意小的正數(shù)都不能滿足直線y=ax始終在函數(shù)y=ln（x+1）（x>0）圖像的下方？此處是值得學(xué)生反思的.

假如選項(xiàng)D確實(shí)是正確的，將圖像向右平移1個(gè)單位并作進(jìn)一步的思考，可以發(fā)現(xiàn)：直線y=a（x-1）和曲線y=lnx，不管a為多小的正數(shù)，都會(huì)如圖5所示，有且只有兩個(gè)交點(diǎn). 構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx-a（x-1）對(duì)此進(jìn)行證明，該函數(shù)在a取任意小的正數(shù)時(shí)有且只有兩個(gè)零點(diǎn).

為了證明a能夠取到任意小的正數(shù)，設(shè)a=（n≥1），研究g（x）=lnx-（x-1）（其中n=-lna≥1），不管n取多大值，都有兩個(gè)零點(diǎn)存在.

顯然有，g（1）=0，g（en）=n-1+>n-1≥0（n≥1），此時(shí)只需證明函數(shù)g（e2n）=2n-en+<0（n≥1）即可. 而事實(shí)上，若對(duì)自變量n求導(dǎo)，證明該函數(shù)是減函數(shù)是很容易的，因此g（e2n）=2n-en+

因此，除零點(diǎn)x=1之外，該函數(shù)在區(qū)間（en，e2n）=內(nèi)還有一個(gè)零點(diǎn)，不僅如此，正數(shù)a越小，兩個(gè)零點(diǎn)間的距離越大.

由此可見(jiàn)，僅僅滿足于題目答案的獲得是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，止步于答案往往跟問(wèn)題的深刻理解與洞悉還存在一定的距離，因此，教師在解題教學(xué)中應(yīng)不斷引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入的研究與反思并對(duì)獲得的答案進(jìn)行答案是否合理的思考，這對(duì)于學(xué)生思維的發(fā)散、問(wèn)題的深刻理解來(lái)說(shuō)都是極具意義的.

總之，制約學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的因素是多種多樣的，教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)注重學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識(shí)、一題多解意識(shí)、建模意識(shí)、反思意識(shí)的培養(yǎng)，使學(xué)生能夠領(lǐng)略到這些意識(shí)形成對(duì)學(xué)好數(shù)學(xué)的重要意義，使學(xué)生善于運(yùn)用這些意識(shí)并在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得良好的效果.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 韓龍淑，王新兵. 數(shù)學(xué)啟發(fā)式教學(xué)的基本特征[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009，（6）.

[2]? 涂榮豹，王光明，寧連華. 新編數(shù)學(xué)教學(xué)論[M]. 上海：華東師范大學(xué)出版社，2006.