易文輝

[摘? 要] 在發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向的課堂教學中，深度學習無論從學習特征和發(fā)生條件，都與數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)匹配度非常高，因此教師從整體把握教學內容的基礎上進行精心教學設計、合理組織課堂教學，使得學生在問題驅動下，激活學習思維，深入探索數(shù)學本質，體驗知識的形成過程，進而促進有意義的學習和構建知識系統(tǒng).

[關鍵詞] 深度學習;數(shù)學教學;核心素養(yǎng)

隨著課程改革的不斷深入，機械學習和死記硬背的教學方式早已被人們摒棄，達成有意義的學習已是大家的共識，特別是近年來，針對提高學生主動性、積極性、參與性的努力，有一部分教育實踐者試圖改變學習方式、改變教學組織形式，嘗試先學后教、翻轉課堂等，然而這些改革只以學生主動性為目的，便易著眼表面，從形式上入手，甚至顧此失彼. 例如，強調學生的興趣而忽視系統(tǒng)科學知識的學習;強調學生的學習行為而忽視學生是否有相應的學習能力;強調學生的主動參與而忽視教師的引導;強調學生的愉悅而輕視嚴肅嚴格的學習，等等. 2014年，教育部基礎教育課程教材發(fā)展中心在全國多個實驗區(qū)開展了“深度學習”教學改進項目研究，努力在自覺的教育實驗活動中探索教學規(guī)律，促進學生核心素養(yǎng)的發(fā)展，使教學活動真正成為培養(yǎng)人的理智活動，成為能夠回應時代和社會發(fā)展的社會實踐活動.

深度學習是指在教師引領下，學生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的學習過程[1]. 在這個過程中，學生掌握學科的核心知識，理解學習的過程，把握學科的本質及思想方法，形成積極的內在學習動機、積極的態(tài)度、正確的價值觀.然而所有的課程改革、教育理論都必須要落實到教學中，落實到學生的發(fā)展上[1]. 如何判斷課堂教學是否是深度學習，主要看是否具備以下幾個特征：一是聯(lián)想與結構，就是把要學的內容跟以前的內容聯(lián)系起來，同時以融會貫通的方式對學習內容進行組織，構建出自己的知識結構;二是活動與體驗，學生能夠全身心投入到探索、發(fā)現(xiàn)、經歷知識的形成過程，體會科學的思考方法;三是本質與變式，能夠抓住教學內容的關鍵特征，全面把握學科知識的本質聯(lián)系，并能夠在變式中辨析本質特征;四是遷移與應用，也就是要將學習的東西用到新的情境中去，能夠舉一反三，聞一知十[2].

1. 整體把握教學內容

就高中數(shù)學課堂教學，基于深度學習的教學特征，學生學習必須基于已有知識結構，經歷知識的形成過程，理解數(shù)學本質，掌握數(shù)學的思考方法，并重新構建知識系統(tǒng). 數(shù)學是一門系統(tǒng)性、邏輯性都很強的學科，各部分知識之間的內在聯(lián)系十分密切，教學中要弄清楚知識的來龍去脈，把握數(shù)學本質，就要從多視角去認識教學內容，如幾何視角、代數(shù)視角、運動變換視角、數(shù)學內部發(fā)展視角、知識聯(lián)系視角以及現(xiàn)實背景等，同時把握教材編排體系和章節(jié)之間的內在聯(lián)系，認清它們在整個數(shù)學教材中的地位和作用.

整體把握教學內容，首先要深刻理解教材，從整體上把握教材的結構;其次是要尊重教材內容，在課程標準的要求和精神下落實教材;最后是要對話教材，用心與教材交流，最好能夠比較不同版本的教材，用兼容并包、博采眾長的心態(tài)和基于所教學生的學情，構建“自己的教材”“符合學生的教材”[3].

深度學習的核心在于：不應停留于單純知識（包括數(shù)學基礎知識和數(shù)學基本技能）的學習，而應通過具體知識內容的學習促進自身思維的發(fā)展，特別是，應當不斷提升自身思維的品質，包括由“理性思維”逐步走向“理性精神”，也是數(shù)學教育的主要功能[4]. 因此，整體把握教學內容的另一個方面就是，深度學習不僅僅是知識的學習，而更加應該指向學生的深度思考，把握了教材結構和知識的內在邏輯關系之后，要進一步從數(shù)學思想方法、數(shù)學思維的視角去審視教學內容，知識的學習承載著發(fā)展學生思維、培養(yǎng)學生理性精神的任務.

如何整體把握教學內容呢？第一，可以從知識的視角進行梳理，理解教材內容的呈現(xiàn)方式，并揭示教學內容在數(shù)與形方面的關聯(lián);第二，挖掘蘊含在知識中的數(shù)學思想方法，明確數(shù)學思想方法在知識發(fā)生發(fā)展過程中的作用，從研究問題的一般方法角度去理解知識的學習;第三，挖掘數(shù)學內容所承載的育人價值和在培養(yǎng)學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的價值;第四，從數(shù)學文化的視角把握相關內容，將數(shù)學文化融入數(shù)學學習的內容和過程中去.

2. 精心做好教學設計

任何一節(jié)優(yōu)質的課堂教學，都是從精心教學設計開始的，精心設計教學的前提就是要基于數(shù)學、基于教材體系、基于學生，對課堂教學的引入、組織學生有效學習、教學評價等各個環(huán)節(jié)進行科學預設，確定教學重點、難點，并預設突出重點、突破難點的方案，確定教學方法，對提升學生思維有重要價值的內容上設置有效的問題.

例如，在“同角三角函數(shù)的基本關系”教學中，教師在“創(chuàng)設情境，引入新課”環(huán)節(jié)，設計問題為：

計算下列式子的值：（1）sin2+cos2;（2）sin2+cos2;（3）sin2+cos2;（4）sin2+cos2.

從前3個式子的運算結果，你能猜想一下第4個式子的結果嗎？能否用數(shù)學式子表示你的猜想？

這樣設計的目的性非常強，就是圍繞同角三角函數(shù)的平方關系設計問題，由特殊到一般形成結論. 在教師的牽引下，也許學生能夠發(fā)現(xiàn)sin2α+cos2α=1，但是不利于學生的思維發(fā)展和構建知識系統(tǒng)，長此以往，學生甚至會覺得“數(shù)學不講道理”，更加談不上深度學習.

根據(jù)“同角三角函數(shù)的基本關系”一節(jié)在教材中的安排，在引入新課環(huán)節(jié)時重新設計為：

（1）三角函數(shù)的定義是什么？它們的幾何表示分別是什么？

（2）利用三角函數(shù)的定義求sin210°，并找出相應的正弦線;

（3）已知第一象限角α的終邊與單位圓交于點P，y，求實數(shù)y的值;

（4）已知α是第一象限角，且cosα=，求sinα，tanα的值;

（5）已知cosα=，求sinα，tanα的值;

（6）已知cosα=m（m≤1），求sinα，tanα的值.

通過復習的方式引入，啟發(fā)學生聯(lián)想，構建新舊知識之間的聯(lián)系，為學生學習做好鋪墊，符合學生的認知特點，同時也揭示問題的本質——同角三角函數(shù)的基本關系的生長點是三角函數(shù)的定義. 教學中不斷引導學生從定義的角度分析，從數(shù)和形兩個角度揭示sinα，cosα，tanα三者之間的關系，更能體現(xiàn)知識的本質，也有利于學生領會研究數(shù)學問題的一般方法.

3. 合理進行教學組織

數(shù)學教學本質上是數(shù)學活動的教學，引導學生將教學過程探索化，使得教學過程變?yōu)橐龑W生進行數(shù)學活動的過程.人們常說，“教學是科學也是藝術”，教學的科學屬性說明教學設計要符合相應的規(guī)律，教學的藝術屬性說明教學需要豐富的情感、想象力和高超的技能以及臨場發(fā)揮的能力，將精心設計的內容在課堂中有效地“生成”.

合理課堂教學組織不是雜亂無序的，是有貫穿始終的教學主線的，教學組織應該是有結構的，問題之間有邏輯關聯(lián)、層層遞進且能啟迪學生思維的，能體現(xiàn)章建躍教授提出的“理解數(shù)學”“理解學生”“理解教學”. 例如，在“二項式定理”的課堂教學中課堂教學主線為：

問題1：請你描述分類加法計數(shù)原理和分類乘法計數(shù)原理，寫出排列數(shù)和組合數(shù)公式;

問題2：（a+b）（c+d），（a+b）（c+d）·（m+n）展開各有多少項？

問題3：多項式（a+b）2，（a+b）3展開不合并同類項的前提下有多少項？

問題4：（a+b）2，（a+b）3展開式中各項的一般形式是什么？合并同類項的系數(shù)如何計算？（預設：這是本節(jié)課的關鍵所在，教師要不斷追問“這里要完成的一件事是什么”“如何完成”）

問題5：你能根據(jù)（a+b）2，（a+b）3展開式的特征得到（a+b）4，（a+b）5的展開式嗎？

問題6：你能得到（a+b）n的展開式嗎？

合理的課堂教學組織一定讓人感覺非常自然，是符合學生認知規(guī)律和數(shù)學研究問題的一般思路的. 在“二項式定理”的課堂教學中，學生熟悉初中學習的完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，也習慣從具體到抽象的思維方法，因此從n=1，2，3，4，5的情形對（a+b）n的展開式進行研究，有利于學生學習. 從對（a+b）2，（a+b）3的項和系數(shù)觀察，總結展開式的結構，從特殊到一般，不斷引導學生回到“乘法分配律”“計數(shù)原理”中去，把握an-kbk是在（a+b）n的n個因式中，從k個因式中取b，再從剩下的（n-k）個因式中取a，而且只要b取定，a就唯一取定，聯(lián)想用組合數(shù)公式計算合并同類項前an-kbk的個數(shù)為C·C=C，從而得到展開式的通項為Tk+1=Can-kbk. 這樣設計的課堂教學組織能夠基于學生認知基礎，根據(jù)二項式定理的核心是多項式乘法法則、排列組合的具體應用，從適合學生的具體到抽象，特殊到一般的認知規(guī)律，重點突出二項式定理中的項、次數(shù)、系數(shù)三個要素特點及其規(guī)律.

根據(jù)北京師范大學教育學院郭華教授在文[1]、文[2]中對深度學習的論述，結合高中數(shù)學及其教學的特點，判斷課堂教學中深度學習能否發(fā)生，可以從以下幾個方面來說明.

1. 問題驅動，激活學生思維

數(shù)學是思維的體操，是否深度學習，其中重要的指標之一應該就是看學生的思維是否得到發(fā)展，正如許衛(wèi)兵老師所指出的：“思維是數(shù)學能力之‘核，思維也是數(shù)學素養(yǎng)之‘魂！無論過去、現(xiàn)在，還是將來，數(shù)學課堂都應該基于‘思維教，圍繞‘思維學，讓學生獲得良好的思維啟迪，能‘自覺地用數(shù)學的思維方法去觀察、分析社會，解決現(xiàn)實問題，進而提升學習質量、生活質量乃至人生境界”[5].

問題是數(shù)學的心臟，激發(fā)深度學習的教學應該能以學生為核心，設計適合學生學習問題來展開教學，發(fā)展學生思維，具體來說，應該體現(xiàn)在以下兩點：一是教學內容的問題化，即以問題為中心組織教學內容;二是教學過程探索化，即教師為學生創(chuàng)設學習情境，提供有價值的問題鏈啟發(fā)學生思考，探索發(fā)現(xiàn)數(shù)學結論，以獲得知識形成、解決問題的體驗.

以問題驅動開展教學，已經是廣大教師共識，關鍵是如何提出有價值的問題，以確保教學具有啟發(fā)性、探索性.數(shù)學是一個整體，它的整體性體現(xiàn)在同一模塊和不同模塊之間的相互聯(lián)系上，如代數(shù)、幾何、三角、向量等之間的相互聯(lián)系，也體現(xiàn)在知識的前后邏輯上，因此，從數(shù)學的本質、整體上看，有價值的問題應該體現(xiàn)數(shù)學發(fā)生發(fā)展過程以及數(shù)學學科的內在邏輯和不同數(shù)學內容之間的聯(lián)系. 如在“直線的傾斜角與斜率”中，如何提出有價值的問題驅動教學？解析幾何通過代數(shù)的方法研究幾何問題，坐標法是其基本思想，坐標系是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，將幾何問題代數(shù)化是基本思路. 教學中的問題除了要能夠體現(xiàn)直線的傾斜角和斜率是從幾何、代數(shù)兩個角度刻畫直線的傾斜程度的兩個量之外，還要能夠培養(yǎng)學生學會用坐標系刻畫幾何對象的習慣，用坐標的方法解決平面幾何問題.基于以上分析，我們可以在教學中設置問題“過平面直角坐標系內一點有無數(shù)條直線，它們的區(qū)別在哪里？”“怎樣描述直線的傾斜程度？”“為使任意一條直線都有唯一的傾斜角，應該怎樣規(guī)定傾斜角的范圍？”“如何用代數(shù)的方法表示直線的傾斜程度？”“如何用兩點坐標表示直線的斜率？”等展開教學，通過先用平面幾何的眼光觀察，再用坐標的方法解決，發(fā)展學生將平面問題代數(shù)化的意識和能力.

2. 深入探索，體驗形成過程

重結果、輕過程是我國數(shù)學教學的一大弊端，特別是在“導學案”大行其道的背景下，許多教師更是理直氣壯地搞“一個定義三項注意”，這種忽視知識產生背景和形成過程教學，因為缺乏數(shù)學思想方法為紐帶，學生無法清晰概念之間的關系，就更加無從構建聯(lián)系，導致學生的數(shù)學認知結構缺乏整體性，概念學習退化為“列舉概念要素、關鍵詞和注意事項”的學習，解題就是“題型學習”，無窮無盡的題型和題目，卻始終不得解題之“道”，沒有“過程”的教學把“思維的體操”降格為“刺激——反應”訓練.

促進學生深度學習，就要重視知識的形成過程和數(shù)學本質，是數(shù)學教學成為“有思想的教學”，成為提高學生思維能力的舞臺，堅持過程與結果并重. 例如，在前面“二項式定理”的教學中，讓學生從已經學習的計數(shù)原理和熟悉的多項式乘法開始，進而探索一類特殊的多項式乘法問題：（a+b）n的展開式，“特殊”在于它的因式都是相同的“二項式”，并從n=1，2，3，4，5開始探索這類乘法問題的規(guī)律性. 在具體的、學生容易計算的問題中尋找蘊含在其中的數(shù)學思想方法，由淺入深，層層遞進開展教學，學生不斷深入探索展開式的項、次數(shù)、系數(shù)三個要素，思考、歸納并總結規(guī)律，特別是反復根據(jù)乘法法則和計數(shù)原理，把二項式的系數(shù)的求解劃歸為組合問題. 這樣的教學，過程自然而又體現(xiàn)數(shù)學本質，學生真正經歷了公式的探究過程，思維得到極大的發(fā)展，實現(xiàn)了二項式定理的育人價值.

3. 意義構建，理解數(shù)學本質

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》指出，高中數(shù)學要能夠創(chuàng)設合適的教學情境，啟發(fā)學生思考，引導學生把握數(shù)學內容的本質[6]. 深度學習特別重視對知識本質的理解，注重掌握知識本質的過程，為了幫助學生把握知識的內在聯(lián)系與本質，教學中可通過標準正例、非標準正例和反例，進行有意義的構建，理解數(shù)學本質. 例如，在“任意角”教學中，為了讓學生把握“角”的本質，不僅要提供“正角（終邊逆時針旋轉）”“負角（終邊順時針旋轉）”等例子，還要提供“零角”“周角”“平角”“鈍角”“銳角”“象限角”“軸線角（終邊在坐標軸上）”等例子，體現(xiàn)現(xiàn)在學習的“任意角”包含初中學習的角（數(shù)學的統(tǒng)一性），也從非標準正例的角度幫助學習構建“任意角的概念”.

高中數(shù)學教學中，任何一個數(shù)學內容的教學都不能簡單地成為數(shù)學知識的傳遞，而要充實學生知識基礎、完善學生邏輯思維、發(fā)展學生科學理性的精神，即理解數(shù)學本質的同時也要經歷掌握知識本質的過程. 例如，在“橢圓的定義及其標準方程”教學中，從生活中如天體運行軌道、球的影子、壓扁了的圓等直觀感覺“橢圓”（如圖1），還要從數(shù)學中“圓錐”“圓柱”的截口去認識橢圓，并經過與球有關的相切平面截圓柱的過程，體會橢圓是“平面內到兩定點（切點）的距離等于定長的軌跡”（如圖2），再從橢圓規(guī)畫橢圓的角度（定繩長作橢圓，如圖3）進一步認識橢圓的定義，只有這樣充分經歷認識“橢圓”本質的過程，才能促進學生的深度學習.

深度學習的理論不是某一流派的理論演繹，而是歷史上優(yōu)秀教育理論成果及優(yōu)秀教學實踐經驗的匯聚和提煉，是對學生學習與發(fā)展的一般道路的現(xiàn)實探討. 在深度學習的視角下，要重新認識“教——學——研——評”的相互關系，厘清教師與學生、教師與課程、學生與內容、知識與能力、能力與素養(yǎng)等之間的關系，使得它們是一個有機的整體，促進學生有意義的學習，使得學習成為他們生命成長的重要組成部分.

參考文獻：

[1]? 郭華. 深度學習及其意義[J]. 課程·教材·教法，2016，36（11），25-32.

[2]? 郭華. 基于深度學習的教學改進[J]. 教育科學論壇，2015（04），13-23.

[3]? 渠東劍. 再談基于整體把握教材結構的教學——以函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像為例[J]. 中學數(shù)學教學參考，2016（z1），10-13.

[4]? 鄭毓信. 以“深度教學”落實數(shù)學核心素養(yǎng)[J]. 小學數(shù)學教師，2017（09），4-10.

[5]? 許衛(wèi)兵. 以思維為核心的數(shù)學素養(yǎng)導向——基于課堂教學的視角[J]. 小學教學（數(shù)學版），2017（01），14-17.

[6]? 中華人民共和國教育部制訂. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.