李媛 戴棟焱

[摘? 要] 站在數(shù)學(xué)文化的視角進行數(shù)學(xué)史的有效融入，結(jié)合學(xué)情進行數(shù)學(xué)教材的“二次開發(fā)”并重構(gòu)教學(xué)方法，能使學(xué)生在思考與探究中經(jīng)歷、體驗數(shù)學(xué)歷史原貌并對知識形成深刻的理解以及獲得數(shù)學(xué)新概念的感悟與構(gòu)建.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)文化;數(shù)學(xué)概念;有效;建構(gòu);數(shù)學(xué)素養(yǎng)

以數(shù)學(xué)學(xué)科與發(fā)展為背景、以數(shù)學(xué)課程與教學(xué)為載體所展現(xiàn)的文化是從物質(zhì)形態(tài)角度對數(shù)學(xué)文化做出的解釋. 著眼于數(shù)學(xué)知識形成過程中所蘊含的觀點、信念、態(tài)度與方法所展現(xiàn)的文化是從意識形態(tài)角度對數(shù)學(xué)文化的理解. 學(xué)生經(jīng)歷、體驗、感悟、欣賞數(shù)學(xué)活動的過程能夠使其接受數(shù)學(xué)文化的感染與熏陶，數(shù)學(xué)課堂煥發(fā)生命活力的同時也會令學(xué)生的數(shù)學(xué)文化修養(yǎng)得以不斷提升. 筆者就“數(shù)列的概念”這一內(nèi)容對數(shù)學(xué)文化理念融入課堂做出了一定的思考.

[?]數(shù)學(xué)史激趣

情境1：數(shù)列3，6，12，24，48，96，192， …，看起非常平常，德國天文學(xué)家提丟斯卻運用這一數(shù)列進行了有趣的運算：在該組數(shù)據(jù)前加上“0”并因此得到“0，3，6，12， 24，48，96，192，…”，然后將數(shù)列中的每個數(shù)加上4并除以10，得到數(shù)列0.4，0.7，1.0， 1.6，2.8，5.2，10.0，19.6，…. 該數(shù)列中后數(shù)與前數(shù)之差組成了以下新的一列數(shù)：0.3，0.3，0.6，1.2，2.4，4.8，9.6，…，將這一列數(shù)與太陽到各行星之間的距離作比較可得表1中的結(jié)論（單位為天文單位）.

提丟斯觀察發(fā)現(xiàn)了第二組數(shù)和太陽距六大行星之間距離上的聯(lián)系并預(yù)言了天王星的存在. 1781年發(fā)現(xiàn)的天王星也令提丟斯的猜想得到了證實，它與太陽之間19.2個天文單位的距離與19.6接近，人們也因此對提丟斯定則產(chǎn)生了信賴. 那么，從上表中的數(shù)據(jù)中，我們是否可以推斷出在距太陽2.8個天文單位的區(qū)域內(nèi)存在未可知的行星呢？天文學(xué)家們也因此在這一區(qū)域內(nèi)進行了探尋. 1801年被發(fā)現(xiàn)的谷神星就是天文學(xué)家皮亞齊根據(jù)這一猜想而發(fā)現(xiàn)的. 宇宙運行的神秘面紗也因為這一神奇的一列數(shù)在世人面前得以揭開[1].

設(shè)計意圖：科學(xué)史上的真實故事令學(xué)生對數(shù)列產(chǎn)生極大的興趣，這是奠定學(xué)生數(shù)列學(xué)習(xí)情感基礎(chǔ)的有效設(shè)計.

[?]數(shù)學(xué)史促思

情境2：古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家們喜歡在沙灘上進行數(shù)學(xué)研究，他們經(jīng)常用小石子或畫點的方法來表示數(shù). 圖1、圖2就是他們研究過的三角形數(shù)（1，3，6，10，15，…）和正方形數(shù)（1，4，9， 16，25，…）. 相繼三角形數(shù)之和正好與正方形數(shù)相等，以此類推，可得相繼正方形數(shù)之和與金字塔數(shù)相等（PPT展示數(shù)學(xué)家們的研究成果）.

情境3：將“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”用數(shù)學(xué)的眼光進行解釋即為：把“一尺之錘”視作1份并每天截去一半，剩下部分依次為1，，，，，，….

情境4：假如某細胞每小時分裂為2個，則該細胞每過1小時分裂的個數(shù)依次為1，2，4，8，16，….

情境5：某市2018年2月16日至20日的全天最低氣溫依次為1.1，-1.2，2.3，-0.4，-0.8. （單位：攝氏度）

設(shè)計意圖：畢達哥拉斯學(xué)派崇尚的“萬物皆數(shù)”理論以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)研究使學(xué)生更好地了解了數(shù)學(xué)的歷史，數(shù)學(xué)知識生成的文化背景得以展露的同時，也令學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)文化的熏陶以及數(shù)學(xué)研究的趣味性和文化性.

[?]辨析探究中建構(gòu)概念

問題1：觀察上述幾組對象并說說它們的特點.

問題2：上述幾組對象的語言描述在數(shù)的角度上來看可有共同特點？請表述.

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生在觀察、討論、質(zhì)疑和交流后對數(shù)列的概念進行歸納，使學(xué)生感受概念生成的自然.

問題3：1，2，4是數(shù)列嗎？和數(shù)列4，2，1是同一數(shù)列嗎？

問題4：之前我們學(xué)過的數(shù)學(xué)概念中，可有哪個概念和數(shù)列特別相像？它們是否一樣？兩者之間有區(qū)別嗎？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想集合這已學(xué)知識并對兩個概念進行辨析，使學(xué)生能夠在辨析、比較中加深對數(shù)列概念的理解.

[?]類比探究中深化概念

問題5：指明數(shù)列中的項數(shù)即能確定其對應(yīng)項，我們已學(xué)知識中可有與之密切相關(guān)的？

問題6：大家能用直觀方法對情境3、情境4中的數(shù)列進行表示嗎？可有其他表示方法？

問題7：列表、圖像、公式這三種表示法具備怎樣的共同特征？涉及了哪些量？其間的關(guān)系怎樣？

問題8：數(shù)列是不是函數(shù)？理由怎樣？大家還記得函數(shù)有哪些要素嗎？將數(shù)列{an}與函數(shù)類比，相當于函數(shù)自變量、因變量的分別什么？

設(shè)計意圖：三種表示方法的共同特征是均能將項和序號之間的對應(yīng)關(guān)系反映出來，數(shù)列中項的序號n和an之間的對應(yīng)關(guān)系符合函數(shù)單值對應(yīng)的特征，因此，數(shù)列是函數(shù)這一觀點也就水到渠成了.

問題9：情境3中的數(shù)列可表示為an=

（n∈N*），即可建立關(guān)于序號n的函數(shù). 以n為自變量的函數(shù)解析式f（n）即為數(shù)列{an}的通項公式，大家是否能夠依此給出通項公式的定義呢？

設(shè)計意圖：逐步揭示數(shù)列為函數(shù)這一實質(zhì)并因此促進學(xué)生對數(shù)列概念本質(zhì)的深層理解.

問題10：請大家觀察圖3所示的謝爾賓斯基三角形，觀察白色小三角形的個數(shù)與數(shù)列的關(guān)系并寫出一個通項公式.

問題11：若第一個等邊三角形的面積是1，除去面積用白色三角形表示，那么上述4個三角形中黑色三角形的面積與周長分別是多少呢？如果面積與周長分別構(gòu)成了數(shù)列{bn}，{cn}，大家能寫出{bn}，{cn}的一個通項公式嗎？

問題12：觀察數(shù)列{bn}，{cn}的變化，并說說你有哪些結(jié)論.

設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基所創(chuàng)造的謝爾賓斯基三角形是非常美妙的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，不斷重復(fù)去除白色小三角形的過程能使黑色小三角的面積越發(fā)接近于零，周長則越發(fā)趨近于無窮大.

[?]反思中促進感悟和提升

1. 數(shù)學(xué)文化的融入能令學(xué)生的求知欲更加強烈

有效融入數(shù)學(xué)史料的課堂教學(xué)能令學(xué)生在數(shù)列概念的學(xué)習(xí)中充分感受到數(shù)學(xué)之美并獲得啟發(fā). 提丟斯數(shù)列的引入使學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)之初便感受到了數(shù)學(xué)的神奇，蘊含豐富數(shù)學(xué)文化元素的概念教學(xué)使課堂瞬間充滿了濃厚的數(shù)學(xué)味道. 挖掘文化資源的情境設(shè)計又使學(xué)生對數(shù)列背后的文化意義建立了更好的了解并獲得了數(shù)學(xué)思想、創(chuàng)新意識、理性精神的啟發(fā)，數(shù)學(xué)思維與探究興趣瞬間充斥著整個課堂[2].

2. 凸顯數(shù)學(xué)文化的教學(xué)能更好地彰顯概念本質(zhì)

學(xué)生在認識數(shù)學(xué)知識時的歷程實際上與數(shù)學(xué)文化的發(fā)展也有很多相似的地方，因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)往往也能在數(shù)學(xué)文化的曲折發(fā)展中得以彰顯. 教師應(yīng)善于挖掘數(shù)學(xué)知識中的文化思想與現(xiàn)象并幫助學(xué)生領(lǐng)略其中所蘊含的數(shù)學(xué)思想、方法與觀點，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)才會因此達成更好的理解與領(lǐng)悟.

3. 數(shù)學(xué)文化的融入能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

從側(cè)面反映人類文化史的數(shù)學(xué)史對于人類文明史來說，也是特別重要的組成. 融入數(shù)學(xué)史料的課堂教學(xué)能更好地引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)列問題進行選擇、重組和加工，符合學(xué)生心理發(fā)展順序的知識邏輯發(fā)展能使學(xué)生更好地結(jié)合已有知識展開思考與探究，如此情境的設(shè)計與學(xué)生的認知水平是吻合的. 比如，引導(dǎo)學(xué)生對情境2以及問題10～12的探究就是對學(xué)生數(shù)學(xué)文化的熏陶，學(xué)生接受文化洗禮的同時也能更好地感受數(shù)學(xué)的文化價值. 引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)史問題中的探究也是數(shù)學(xué)文化在課堂教學(xué)中的有效滲透與融入，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)在教材的“二次開發(fā)”中也得到了更好的發(fā)展.

融入數(shù)學(xué)文化的課堂教學(xué)應(yīng)有數(shù)學(xué)知識的傳播到數(shù)學(xué)文化傳播的轉(zhuǎn)變，應(yīng)能站在數(shù)學(xué)文化的視角進行數(shù)學(xué)史的有效融入，結(jié)合學(xué)情進行數(shù)學(xué)教材的“二次開發(fā)”并重構(gòu)教學(xué)方法，能使數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程與數(shù)學(xué)文化的有效融合. 因此，教師應(yīng)善于挖掘數(shù)學(xué)知識背后的數(shù)學(xué)史料并以此為背景進行問題情境的創(chuàng)設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生在問題鏈的思考與探究中經(jīng)歷、體驗數(shù)學(xué)歷史原貌并對知識形成深刻的理解，充分體會知識發(fā)生、發(fā)展與形成過程中所蘊含的思想方法并獲得數(shù)學(xué)新概念的感悟與構(gòu)建，令學(xué)生不斷獲得數(shù)學(xué)文化的熏陶并提升數(shù)學(xué)文化修養(yǎng)與素養(yǎng).

參考文獻：

[1]? 王池富. 淺談數(shù)學(xué)思維的誘導(dǎo)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，1995，4（1）：52.

[2]? 錢從新. 運用推廣與引申的方法培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2003，12（1）：98.