鄭先萍

摘 要：數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)教育教學(xué)的關(guān)鍵條件。隨著教育的不斷改革，數(shù)學(xué)思維已經(jīng)成為學(xué)生的必備素質(zhì)。本文站在小學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)的角度，簡(jiǎn)單闡述了數(shù)學(xué)思維的內(nèi)涵及重要意義，分析了當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)教育中發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的問題，重點(diǎn)討論了發(fā)展數(shù)學(xué)思維的方法，并提出了幾點(diǎn)發(fā)展數(shù)學(xué)思維學(xué)習(xí)方法的有效措施。

關(guān)鍵詞：小學(xué) 數(shù)學(xué)思維 學(xué)習(xí)方法

就小學(xué)生而言，他們的思維還處于發(fā)展的初級(jí)階段。而思維方面的差異決定了他們數(shù)學(xué)能力之間的差異，從某種意義上說(shuō)，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)思維就是發(fā)展他們的數(shù)學(xué)能力。在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)當(dāng)專注于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，指導(dǎo)學(xué)生深度挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵以及其中存在的數(shù)學(xué)思想，教會(huì)學(xué)生多角度、全方位地看待并解決問題，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)水平與素質(zhì)的提高。那么，怎樣發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維？發(fā)展數(shù)學(xué)思維都有哪些學(xué)習(xí)方法？以下就是筆者對(duì)此的分析與論述。

一、數(shù)學(xué)思維的內(nèi)涵及重要意義

1.數(shù)學(xué)思維的內(nèi)涵

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的過(guò)程就是進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的活動(dòng)的過(guò)程。所謂數(shù)學(xué)思維，是主體對(duì)客觀數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)及規(guī)律的反映，并根據(jù)一定思維方式認(rèn)識(shí)、理解并學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理性活動(dòng)。^[1]數(shù)學(xué)思維包含數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)品質(zhì)以及數(shù)學(xué)方法，其具有主觀性、同一性、流動(dòng)性以及能動(dòng)性的特點(diǎn)。數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)思維能力有明顯的差異：數(shù)學(xué)思維是思維上的活動(dòng)，而數(shù)學(xué)思維能力則是行為上的活動(dòng)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師通過(guò)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，使學(xué)生掌握歸納、類比、概括、推理、實(shí)驗(yàn)、抽象、演繹等數(shù)學(xué)方法，從而辨明數(shù)學(xué)關(guān)系，進(jìn)一步形成良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)。

2.發(fā)展數(shù)學(xué)思維的重要意義

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生綜合能力、提高學(xué)生數(shù)學(xué)水平等有著重要作用。從現(xiàn)階段小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況來(lái)看，他們雖然能夠通過(guò)課堂教學(xué)以及課后作業(yè)掌握一定的數(shù)學(xué)知識(shí)，但是他們中的多數(shù)并不具有銜接數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，也不會(huì)全面地分析數(shù)學(xué)問題。^[2]其主要原因在于小學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平有限，只能進(jìn)行相對(duì)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)。通過(guò)發(fā)展數(shù)學(xué)思維，他們就會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有全新的認(rèn)識(shí)，也會(huì)從不同的角度看待數(shù)學(xué)問題，并以不同的方式解決同一數(shù)學(xué)問題，從而獲得銜接數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，以及全面分析數(shù)學(xué)問題的能力。此外，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)思維的結(jié)果，當(dāng)學(xué)生進(jìn)行了有效的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)之后，就會(huì)從中汲取到數(shù)學(xué)思想，從而形成自己的知識(shí)學(xué)習(xí)思路，這有利于提高課堂教學(xué)效率。

二、當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)教育中發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的問題

筆者認(rèn)為，當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)教育中發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維主要存在以下幾點(diǎn)問題：其一，思維多樣化問題。多數(shù)教師發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維時(shí)過(guò)多地注重解題方法的多樣化以及過(guò)程的復(fù)雜化，偏向于解題的過(guò)程，而不是學(xué)生進(jìn)行思維活動(dòng)的過(guò)程。這就使得學(xué)生實(shí)際的學(xué)習(xí)效率并未得到明顯提升。^[3]其二，思維具體化問題。數(shù)學(xué)思維是一個(gè)抽象的概念，教師發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維時(shí)需要充分考慮學(xué)生要進(jìn)行怎樣的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)、要發(fā)展學(xué)生哪方面的數(shù)學(xué)思維以及發(fā)展數(shù)學(xué)思維能得到什么樣的結(jié)果。但實(shí)際上，多數(shù)教師容易忽略這個(gè)問題。其三，思維生活化問題。情境創(chuàng)設(shè)是當(dāng)前教師發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維常用的教學(xué)手段，但相當(dāng)一部分教師在創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境的過(guò)程中沒有注重情境的適用性，并未充分發(fā)揮出情境的功能與作用，從而使得情境與學(xué)生的實(shí)際生活相脫離，進(jìn)一步導(dǎo)致了學(xué)生不會(huì)使用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題。其四，思維直觀性問題。數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思維具有一定的抽象性，教師要給學(xué)生直觀的感受，使學(xué)生應(yīng)用已知去學(xué)習(xí)未知，但這并非貫穿學(xué)生的整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，這一點(diǎn)也容易被教師忽略。

三、發(fā)展數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí)方法

1.單向延展

所謂單向延展，以某一知識(shí)為起點(diǎn)，通過(guò)聯(lián)想、想象等思維活動(dòng)將其他有關(guān)聯(lián)的知識(shí)與其縱向組合在一起，形成一種層層遞進(jìn)的動(dòng)態(tài)思維結(jié)構(gòu)。單項(xiàng)延展法一般包括三種，分別是由因?qū)Ч?、從易到難逐層延展以及邏輯推理。例如，在《20以內(nèi)的進(jìn)位加法》教學(xué)中，教師先為學(xué)生創(chuàng)設(shè)如下教學(xué)情境：“學(xué)校馬上要舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)了，我們能夠參加的項(xiàng)目有賽跑、跳繩、拍球以及扔沙包等四項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，我們班參加賽跑的有9人，參加跳繩的有7人，參加拍球的有8人，參加扔沙包的有6人。那么誰(shuí)能告訴老師參加賽跑和扔沙包的一共多少人？”鼓勵(lì)學(xué)生口述自己的使用不同方法進(jìn)行計(jì)算的過(guò)程，如擺小棒、打算盤、畫圖畫等，引入“湊十法”以及進(jìn)位加法的概念，并逐次增加問題難度，如“我們班參加跳繩的人和打沙包的人一共比隔壁班少4人，隔壁班參加跳繩和打沙包的一共多少人？”“隔壁班參加賽跑的比我們班多3個(gè)人，參加扔沙包的比我們班少2人，那隔壁班參加賽跑和扔沙包的一共多少人？”在此過(guò)程中，教師有意識(shí)地創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散數(shù)學(xué)思維，幫助學(xué)生訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維能力，同時(shí)，逐次增加難度的問題也能在鞏固學(xué)生所學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，對(duì)其進(jìn)行延伸。這既符合學(xué)生的認(rèn)知能力，又能提高學(xué)生思維的邏輯性以及層次性。^[4]此外，教師還可以著重強(qiáng)調(diào)擺小棒以及畫圖畫的計(jì)算方法，逐漸滲入數(shù)形結(jié)合思想。需要注意的是，實(shí)際使用單向延展法發(fā)展數(shù)學(xué)思維時(shí)，教師可根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況自由組合單向延展法的三種方法。

2.多向拓寬

所謂多向拓寬，就是以某一知識(shí)為中心，通過(guò)多角度、全方位的思維活動(dòng)將其向多個(gè)方向擴(kuò)展開來(lái)，形成一種多元化的動(dòng)態(tài)思維結(jié)構(gòu)。多向拓寬法一般包括敘述理解、轉(zhuǎn)化基準(zhǔn)以及思路輻射。其中，思路輻射就是以不同的思維方式解決相同的問題，體現(xiàn)思維方式的多樣性、靈活性，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。例如，“有一個(gè)正方形池塘，四周種樹，每邊種8棵，每個(gè)頂點(diǎn)種一棵樹，每?jī)煽脴渲g的距離都相等。四周一共種了多少棵樹？”方法1：根據(jù)條件可知，每邊種8棵，4邊就是8×4=32棵，但每邊起點(diǎn)的一棵樹算了兩次，所以一共是32-4=28棵;方法2：我們可以先數(shù)正方形的一組對(duì)邊，包括兩個(gè)頂點(diǎn)的，種8棵，再數(shù)另一組對(duì)邊的，將兩個(gè)頂點(diǎn)排除在外，每邊種8-2=6棵樹，所以一共是8×2+6×2=28棵;方法3：把正方形四邊拉直，每邊種8棵樹，就是把每邊分成了7等份，4邊共分成了28等份，每一等份對(duì)應(yīng)一棵樹，所以共有28棵樹。這樣，學(xué)生就學(xué)會(huì)了從多角度看待問題，也明白了一個(gè)數(shù)學(xué)問題可以使用多種數(shù)學(xué)方法進(jìn)行解答。此外，學(xué)生的思維也沒有被一道數(shù)學(xué)題限制住，而是在學(xué)習(xí)不同方法的過(guò)程中得到發(fā)展，從而實(shí)現(xiàn)提高學(xué)生數(shù)學(xué)水平、培養(yǎng)學(xué)生多元智能的目的。

3.反思延伸

所謂反思延伸，就是以某一知識(shí)為定點(diǎn)，通過(guò)反思這一思維活動(dòng)將其向更深處延伸，形成一種深度學(xué)習(xí)的動(dòng)態(tài)思維結(jié)構(gòu)。就解決數(shù)學(xué)問題而言，反思延伸就是對(duì)解題方法、解題過(guò)程的回顧和思考。例如，在《長(zhǎng)方形與正方形的面積計(jì)算》教學(xué)中，教師提出以下問題：“假如有16根長(zhǎng)為1分米的小棒，你能擺出多少個(gè)不同邊長(zhǎng)、同面積的長(zhǎng)方形或者正方形？面積都是多少？”學(xué)生通過(guò)思維活動(dòng)得出“4個(gè)，面積分別是1×7=7平方分米、2×6=12平方分米、3×5=15平方分米、4×4=16平方分米?！币话闱闆r下，學(xué)生認(rèn)為題做到這里就完成了，不會(huì)再做進(jìn)一步的探究了，這也是當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)中普遍存在的現(xiàn)象。此時(shí)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行再次思考：“你們有沒有發(fā)現(xiàn)這道題中還隱藏著一定的規(guī)律？邊長(zhǎng)和面積之間有什么樣的關(guān)系？由相同小棒拼出來(lái)的長(zhǎng)方形與正方形又有什么樣的關(guān)系？”學(xué)生再次思考之后得出結(jié)論“邊長(zhǎng)之差為零的時(shí)候，面積最大;周長(zhǎng)相等的情況下，正方形面積大于長(zhǎng)方形的面積?！睘檫M(jìn)一步延伸學(xué)生思維，教師可提出“假如農(nóng)民伯伯有15m長(zhǎng)的木材，他需要在墻邊圍成一個(gè)長(zhǎng)方形或者正方形的羊圈，你有幾種圍法？怎么圍面積最大？這幾種圍法中邊長(zhǎng)又與面積有什么關(guān)系？上一題的結(jié)論適用于這個(gè)題嗎？”在此過(guò)程中，教師以問題為導(dǎo)向，引導(dǎo)學(xué)生從題目中總結(jié)規(guī)律，并教導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)具體問題具體分析，學(xué)生數(shù)學(xué)思維得到發(fā)展的同時(shí)，也進(jìn)行了深度學(xué)習(xí)。這既可促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，也在一定程度上提高了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

4.破思維定式

所謂破思維定式，就是以某一問題為定點(diǎn)，對(duì)其進(jìn)行變化，通過(guò)解決不同的問題打破常規(guī)的思維習(xí)慣，形成一種具有較強(qiáng)靈活性的動(dòng)態(tài)思維結(jié)構(gòu)。就小學(xué)生解題情況而言，他們以某種思維方式解決多種相同類型的數(shù)學(xué)問題之后，就容易形成思維定式。這種思維定式雖然會(huì)在一定程度上幫助他們解決數(shù)學(xué)問題，但是也會(huì)對(duì)他們思維的發(fā)展產(chǎn)生阻礙作用。因此，教師要發(fā)展學(xué)生思維，就需要以多變的數(shù)學(xué)問題幫助學(xué)生打破思維定式。例如，在有關(guān)分?jǐn)?shù)的計(jì)算問題教學(xué)中，教師出示基礎(chǔ)題以及相應(yīng)的變式題：“一袋大米100kg，吃了，吃了多少？”“一袋大米100kg，第一次吃了，第二次吃的比第一次少，第二次吃了多少？”“一袋大米100kg，第一次吃了，第二次再多吃5kg就和第一次吃的一樣多，第二次吃了幾分之幾？”“一袋大米，連袋共重100kg，先拿送給幼兒園，再拿出剩下的送給敬老院的老人，連袋共剩下24.5kg，大米和筐各重多少千克？”借助這類題組，提高學(xué)生思維的靈活性，防止學(xué)生固定于某種結(jié)構(gòu)的題型而產(chǎn)生思維定式，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

5.常規(guī)求異

所謂常規(guī)求異，就是以常規(guī)的思維為突破口，從全新角度入手，通過(guò)創(chuàng)新性的思維活動(dòng)獲得問題的答案，形成一種理性的動(dòng)態(tài)思維結(jié)構(gòu)。例如，在長(zhǎng)度單位的教學(xué)中，教師布置如下任務(wù)：“在不使用卷尺的情況下，你能得出學(xué)校操場(chǎng)的近似邊長(zhǎng)是多少嗎？”如果學(xué)生按照常規(guī)思維思考這個(gè)問題，那么學(xué)生很難不去思考不使用卷尺。由此，學(xué)生很有可能將其當(dāng)作不可能完成的任務(wù)。此時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生思考問題的解決方法，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維：“一般情況下，人的手臂張開的長(zhǎng)度約等于他的身高。那么，了解到這個(gè)知識(shí)之后，你會(huì)怎么測(cè)量呢？你還能借助哪些不是卷尺的工具測(cè)量呢？”學(xué)生的思路就容易被打開，從而找到借助手臂或者腳步長(zhǎng)度測(cè)量操場(chǎng)周長(zhǎng)的方法。又如在三位數(shù)的減法教學(xué)中，教師設(shè)置如下問題：“從小青家經(jīng)小紅家和小強(qiáng)家到學(xué)校有450米，從小青家到小強(qiáng)家有390米，從學(xué)校到小紅家有320米。那么，從小紅家到小強(qiáng)家多少米？”在常規(guī)思維下，學(xué)生通常使用450-390=60米，320-60=260米這樣的算式得到結(jié)果，得出之后就不再進(jìn)行思維活動(dòng)。此時(shí)教師列出390+320=710米，710-450=260米，要求學(xué)生合作討論算式的含義以及這么列式的理由，從而刺激學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

四、實(shí)施發(fā)展數(shù)學(xué)思維學(xué)習(xí)方法的有效措施

1.掌握課標(biāo)要求

上文提到，數(shù)學(xué)思維包括數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)品質(zhì)以及數(shù)學(xué)方法。而這些不僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識(shí)當(dāng)中，也是新課標(biāo)對(duì)教師確立三維教學(xué)目標(biāo)的要求。因此，要有效實(shí)施發(fā)展數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí)方法，教師應(yīng)當(dāng)掌握課標(biāo)要求。^[5]在充分了解學(xué)生實(shí)際情況的基礎(chǔ)上，對(duì)教材進(jìn)行深度剖析，以教材內(nèi)容為主制定階段性的教學(xué)計(jì)劃，確定個(gè)性化的數(shù)學(xué)思維發(fā)展目標(biāo)，并強(qiáng)調(diào)知識(shí)之間的銜接以及學(xué)生課前、課堂、課后學(xué)習(xí)的反饋跟進(jìn)，從而為學(xué)生找到與其自身發(fā)展相適應(yīng)的思維方式、思維習(xí)慣以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。

2.遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律

小學(xué)生的認(rèn)知一般可分為四個(gè)狀態(tài)：無(wú)知無(wú)能、有知無(wú)能、有知有能、無(wú)知有能。開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，學(xué)生一般處于無(wú)知無(wú)能的認(rèn)知狀態(tài)，此時(shí)教師應(yīng)當(dāng)充分發(fā)揮自身引導(dǎo)者、指導(dǎo)者的身份激發(fā)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的興趣，如以問題為導(dǎo)向激發(fā)學(xué)生質(zhì)疑、創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的感悟、從生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象引入教學(xué)等。當(dāng)學(xué)生不斷學(xué)習(xí)很多新知識(shí)的時(shí)候，容易發(fā)展自己不會(huì)使用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，此時(shí)學(xué)生的認(rèn)知就處于有知無(wú)能的狀態(tài)。這一狀態(tài)下，教師應(yīng)當(dāng)以多元化的方式提高學(xué)生思維的靈活性，幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)框架，使學(xué)生學(xué)會(huì)多角度、全方位地看待數(shù)學(xué)問題，并掌握個(gè)性化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，進(jìn)一步使學(xué)生進(jìn)入有知有能的認(rèn)知狀態(tài)。學(xué)生具備良好的數(shù)學(xué)思維時(shí)，就會(huì)進(jìn)入無(wú)知有能的認(rèn)知狀態(tài)，無(wú)意識(shí)地進(jìn)行數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，主動(dòng)解決數(shù)學(xué)問題。而要使學(xué)生認(rèn)知狀態(tài)進(jìn)入無(wú)知有能，教師應(yīng)當(dāng)遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，逐漸發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

結(jié)語(yǔ)

綜上所述，發(fā)展數(shù)學(xué)思維對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義。雖然當(dāng)前教育界的不少專家學(xué)者以及教育工作者已經(jīng)認(rèn)識(shí)到了發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要性，但實(shí)際教學(xué)中仍舊存在思維的多樣化、具體化、生活化以及直觀性問題。要發(fā)展數(shù)學(xué)思維，小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)在充分了解教學(xué)中存在的思維問題的基礎(chǔ)上，了解并學(xué)習(xí)單向延展、多項(xiàng)拓寬、激疑促思、破思維定式以及常規(guī)求異等發(fā)展數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí)方法。值得注意的是，在發(fā)展數(shù)學(xué)思維的過(guò)程中，教師需要掌握新課標(biāo)的要求，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，并調(diào)動(dòng)學(xué)生的內(nèi)在思維，從而使學(xué)生形成個(gè)性化的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。

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