梁雪

【摘要】數(shù)學(xué)概念和方法往往都有其幾何直觀的背景，在數(shù)學(xué)教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)的幾何直觀的一面，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺，有助于他們理解抽象的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)而能夠活學(xué)活用。本文將結(jié)合具體案例探討如何在教學(xué)中幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)直覺。

【關(guān)鍵詞】幾何直觀 ?數(shù)學(xué)直覺 ?教學(xué)實(shí)踐

【基金項(xiàng)目】蘇州科技大學(xué)課程教學(xué)綜合改革項(xiàng)目（2018KJZG-37）。

【中圖分類號】G64 ?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）30-0255-02

大學(xué)數(shù)學(xué)相對于中小學(xué)數(shù)學(xué)不僅更加抽象性，其表述方式也有較大的改變，呈現(xiàn)出公理化、系統(tǒng)性描述的面貌。大學(xué)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中也往往偏重于演繹推理的訓(xùn)練，強(qiáng)調(diào)形式論證的嚴(yán)密邏輯性，忽視數(shù)學(xué)形成過程中生動(dòng)直觀的一面，忽視數(shù)學(xué)直覺的培養(yǎng)，所以很多大學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)感到非常困難，進(jìn)而產(chǎn)生厭學(xué)情況。即使是學(xué)得不錯(cuò)的學(xué)生也僅僅是能熟練地使用工具、做枯燥規(guī)則的奴隸，缺乏真正意義上的理解，無法領(lǐng)略數(shù)學(xué)的美妙、和諧與統(tǒng)一，這不能不說是一件遺憾的事情。

筆者認(rèn)為抽象性與直觀性并不矛盾，在數(shù)學(xué)教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)的幾何直觀的一面，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺，有助于他們理解抽象的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)而能夠活學(xué)活用。本文將結(jié)合具體案例探討如何在教學(xué)中幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)直覺。

1.“數(shù)學(xué)直覺的培養(yǎng)”的實(shí)踐探索過程

1.1什么是數(shù)學(xué)直覺

數(shù)學(xué)直覺是運(yùn)用有關(guān)知識(shí)組塊和形象直觀對當(dāng)前問題進(jìn)行敏銳的分析、推理，并能迅速發(fā)現(xiàn)解決問題的方向或途徑的思維形式。它是一種直接反映數(shù)學(xué)對象結(jié)構(gòu)關(guān)系的心智活動(dòng)形式，是人腦對于數(shù)學(xué)對象事物的某種直接的領(lǐng)悟或洞察。

1.2數(shù)學(xué)直覺培養(yǎng)的實(shí)踐探索的體會(huì)

抽象的數(shù)學(xué)理論的核心常?？梢詮膸缀我饬x的角度得到解釋，數(shù)學(xué)概念和方法往往都有其直觀的背景。從幾何直觀上分析問題的能力，首先是指能夠“洞察其直觀背景”。數(shù)學(xué)教育家波利亞曾經(jīng)說：“一個(gè)長的證明常常取決于一個(gè)中心思想，而這個(gè)思想本身卻是直觀的和簡單的”。因此，從幾何直觀上分析問題的能力，也包括找出證明中的那個(gè)關(guān)鍵的簡單而直觀的思想，能透過概念的嚴(yán)格定義和實(shí)際證明中的推演細(xì)節(jié)“描繪出證明方法的幾何輪廓”[1]。

在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺的過程中，幾何直觀起著舉足輕重的作用。筆者常常對學(xué)生說，判斷自己是否理解一個(gè)數(shù)學(xué)概念或者數(shù)學(xué)定理，關(guān)鍵要看自己是否建立起這個(gè)概念的幾何直觀或者能否把這個(gè)定理的直觀含義和證明的直觀思路弄明白。為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺，筆者經(jīng)常采取以下做法：

（1）通過提問題讓學(xué)生自己探索、思考數(shù)學(xué)概念背后的本質(zhì)，不滿足于書本的文字陳述。

（2）在數(shù)學(xué)證明的講授過程中注重對這些證明背后的幾何直觀進(jìn)行探究，不滿足于書本的邏輯推演。

（3）給學(xué)生介紹數(shù)學(xué)概念在其他領(lǐng)域中的運(yùn)用，還原數(shù)學(xué)概念、方法的本來的樸素面貌。

這些做法不僅能有效地調(diào)動(dòng)起學(xué)生的求知欲，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中形成追問事物本質(zhì)的深入思考問題的習(xí)慣，從而幫助學(xué)生建立起數(shù)學(xué)直覺。不過數(shù)學(xué)直覺是否能建立起來，起決定作用的還是學(xué)生是否肯下功夫，教師只能起拋磚引玉的作用。就像一些數(shù)學(xué)家強(qiáng)調(diào)的那樣，數(shù)學(xué)不是看書“看”懂的，不是聽課“聽”懂的，而是算題中“算”懂的。在扎實(shí)的“做題”過程中積累對數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理足夠的感性認(rèn)識(shí)，再加上教師的點(diǎn)撥，數(shù)學(xué)直覺能夠慢慢建立起來。

2.實(shí)踐案例

2.1數(shù)學(xué)概念的教學(xué)舉偶

《線性代數(shù)》[2]第五章第2節(jié)——矩陣的特征值與特征向量這一節(jié)的重點(diǎn)是講清楚特征值、特征向量這一對概念。筆者以這一節(jié)為例， 比較在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過程中，注重?cái)?shù)學(xué)直覺培養(yǎng)的教學(xué)與傳統(tǒng)教學(xué)的差異。傳統(tǒng)教學(xué)中，一般做法是直接給出特征值、特征向量的嚴(yán)格定義、給出其求法，然后證明特征值、特征向量的性質(zhì)。這種教學(xué)下，學(xué)生往往無法真正理解特征值、特征向量，除了為了應(yīng)付考試暫時(shí)記住求特征值、特征向量的方法，很難留下有價(jià)值的東西。

相反，如果在教學(xué)過程中注重?cái)?shù)學(xué)直覺的培養(yǎng)，可能為學(xué)生打開一扇門，多一個(gè)認(rèn)識(shí)世界的途徑。筆者在處理這一節(jié)時(shí)，會(huì)提前布置思考題：“方陣的特征值、特征向量為什么冠名‘特征？他們到底刻畫方陣的‘特征？”好學(xué)的學(xué)生會(huì)通過閱讀教材、查閱網(wǎng)絡(luò)資源去完成這一問題，雖然很難找到答案，可是這個(gè)探索、思考過程是極其有價(jià)值的。

正式講授這一節(jié)時(shí)，筆者先通過例子來解釋矩陣乘以向量的幾何意義。矩陣與向量的乘積表現(xiàn)為矩陣對一個(gè)向量作用的結(jié)果：對一個(gè)向量進(jìn)行旋轉(zhuǎn)和伸縮的綜合過程，向量在此作用下變換為另外一個(gè)向量。

有了這個(gè)幾何直觀的認(rèn)識(shí)以后再引入特征值、特征向量概念：如果矩陣對某些向量只發(fā)生伸縮變換，而不產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)效果，那么這些非零向量就稱為這個(gè)矩陣的特征向量，伸縮的比例就是特征值。按照這個(gè)思路，讓學(xué)生給出一個(gè)n階方陣A的特征值、特征向量的定義，再與課本上的定義對照，并且提出問題“為什么特征向量要排除零向量？”給出提示：從定義中能發(fā)現(xiàn)如果一個(gè)向量α是A的屬于特征值的特征向量，那么kα（k≠0）也是屬于特征值的特征向量，這表明特征向量的長度信息是無關(guān)緊要的，重要的是特征向量提供的方向信息：矩陣作用在特征向量的方向上的向量只發(fā)生伸縮，不發(fā)生旋轉(zhuǎn)。而零向量提供不了任何關(guān)于‘方向的信息，所以要排除“零向量”。為什么會(huì)冠名“特征”呢？特征向量、特征值反映了矩陣作為一種變換的作用特點(diǎn)。最后給學(xué)生舉一個(gè)特征值和特征向量在數(shù)據(jù)挖掘算法中應(yīng)用，簡要地介紹主成分分析算法（PCA）原理，讓學(xué)生從實(shí)例中直觀感受特征值和特征向量。