穆妍

摘?要：就目前全國各地區(qū)的數(shù)學(xué)高考題目來看，題目的類型愈加多樣，出題的方式愈加靈活，一些非常具有時代氣息的題型被創(chuàng)造出來，如三角函數(shù)與向量的交匯題，這類題目形式新穎，背景鮮明，同時考查學(xué)生多個領(lǐng)域的知識點(diǎn)，也考查學(xué)生對知識的融會貫通能力。因此，本文就重點(diǎn)探討三角函數(shù)與向量交匯題的解題方式，總結(jié)一些比較簡練實(shí)用的經(jīng)驗(yàn)，以啟發(fā)學(xué)生的解題思路，幫助學(xué)生減少失誤。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);三角函數(shù);向量;交匯題

三角函數(shù)與向量都是高中數(shù)學(xué)中的重要知識模塊，這兩個模塊的知識相互交匯，相互滲透，能夠產(chǎn)生很多形式新穎，結(jié)構(gòu)新奇的題目，這不僅要求學(xué)生有較牢固的基礎(chǔ)知識，還要求學(xué)生對各個領(lǐng)域的知識點(diǎn)具有較強(qiáng)的理解能力和融會貫通的能力。教師在教授這些領(lǐng)域的知識點(diǎn)時，除了將之視為教學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容之外，也應(yīng)時刻關(guān)注高考動向，發(fā)現(xiàn)新題型，及時對之進(jìn)行解析講授。筆者就三角函數(shù)與向量交匯題，結(jié)合近年來高考考題動向，對這類題的解題方式進(jìn)行了總結(jié)歸納。

以下是具體的解題策略：

一、 ?三角函數(shù)與向量知識點(diǎn)分析

（一） 三角函數(shù)知識點(diǎn)分析

在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容時，教師應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)講述三角函數(shù)的基本性質(zhì)，函數(shù)圖像的變換和角的變換等，三角恒等變形也不可忽略，學(xué)生需要不斷加強(qiáng)對這些基本內(nèi)容的理解與運(yùn)用能力。通觀往年的數(shù)學(xué)高考題，會發(fā)現(xiàn)關(guān)于三角函數(shù)的基本性質(zhì)的考察，題型較小，以填空題較為常見，難度偏于中等。主要考查學(xué)生對三角函數(shù)的基本性質(zhì)和概念的理解與靈活運(yùn)用能力。下面例題1就是典型的填空題。為了更好幫助學(xué)生在考試過程中避免出現(xiàn)失誤，還需要幫助學(xué)生了解和掌握三角函數(shù)的命題規(guī)律以及每種題型的解題技巧，尋找最適合的解答方式。當(dāng)試卷中出現(xiàn)了未知度數(shù)的角之后，首先要尋求的就是轉(zhuǎn)化方式，從已知條件中找到未知角與已知角之間的聯(lián)系，找到它們之間的條件關(guān)系或者數(shù)量關(guān)系，嘗試著將之轉(zhuǎn)化為已知的角度。若遇到的是三角函數(shù)的最值問題或者周期變化的問題，就要馬上聯(lián)想到周期恒等公式，將原來的式子轉(zhuǎn)變?yōu)槿呛瘮?shù)的解析式，這樣有助于求解。三角函數(shù)的重要特點(diǎn)之一就是其變化形式的多樣性和復(fù)雜性，其圖像也是千變?nèi)f化的，極富有靈活性。教師在講解這類題目時，不僅需要一邊講解，還需大致畫出其圖像，利用數(shù)形結(jié)合的思想，化難為易，化復(fù)雜為簡單，化抽象為具體，啟發(fā)學(xué)生的思路，調(diào)動學(xué)生的探索數(shù)學(xué)知識的熱情，幫助學(xué)生更好地理解抽象的知識體系。

（二） 與向量相關(guān)的知識點(diǎn)分析

在做與向量相關(guān)的題目時，需注意將之與普通的數(shù)量相區(qū)分，向量也表示一種數(shù)量關(guān)系，但它卻兼有“大小”和“方向”，由三要素組成，分別是起點(diǎn)、方向和長度，缺一不可。向量的相關(guān)運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)，如三角形法則及其不等式，基本的交換律、結(jié)合律以及坐標(biāo)運(yùn)算等;向量的數(shù)乘運(yùn)算公式、運(yùn)算律、向量共線定理、平面向量的數(shù)量積等，學(xué)生應(yīng)當(dāng)將這些基本知識熟練掌握。對于一些基本的向量概念，如零向量的單位長度雖然為0，但它的方向是任意地，而且與任一向量平行;而平面向量又與代數(shù)、幾何、三角函數(shù)等板塊的知識點(diǎn)相通，厘清這些概念與定理的基本內(nèi)容之后，就有助于學(xué)生搞清楚向量與代數(shù)、幾何、三角函數(shù)等之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，加深對各種知識的理解和貫通能力。

二、 三角函數(shù)與向量交匯題的解題策略分析

（一） 三角函數(shù)平移與向量平移的策略分析

平移是三角函數(shù)與平面向量都會遇到的問題，即使這兩個領(lǐng)域涉及的平移可能會各有不同，但是其實(shí)質(zhì)則大同小異。這種類型的題目是將三角函數(shù)與向量的平移巧妙地結(jié)合在一起了，主要考查學(xué)生分析題目、尋找正確思路的綜合能力，有的也涉及方程的思想與轉(zhuǎn)化的思想。我們在解這類題時可以將之統(tǒng)一于同一個坐標(biāo)系統(tǒng)中，通過觀察其前后變化的兩個圖像來找到解題的切入口。在分析解答這類題目時重點(diǎn)應(yīng)當(dāng)注意的有：一是圖像平移的方向;二是平移的距離。這兩點(diǎn)體現(xiàn)的就是圖像在平移過程中所對應(yīng)的向量坐標(biāo)。另外，結(jié)合向量的平移問題，也有考查函數(shù)解析式的情況，此時需要厘清平移前后的兩個等式之間的關(guān)系，如將函數(shù)y=f（ωx）按向量a=（h，k）進(jìn)行平移，那么平移后的函數(shù)解析式為y=f[ω（x-h）]-k，有了這個公式，學(xué)生在求解這類題目時，可以很方便快捷地列出平移之后的公式。

就三角函數(shù)與向量平移的問題，我們主要關(guān)注的是圖像的平移方向與距離，以例題1為例，我們將探討其具體的解題策略。

例題1：將函數(shù)y=sin2x的圖像按向量a=（-π/6，-3）平移后，得到函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+B（A>0，ω>0）的圖像，則φ和B的值依次為????。

根據(jù)題目的具體要求，我們可以找到兩種方式：一是根據(jù)已知向量a的坐標(biāo)可以得到等式x=x′+π/6和y=y′+3，將之與題干所給出的已知條件結(jié)合即可得到φ和B的具體值;二是由向量的坐標(biāo)得到圖像的兩個平移過程，由此可以確定平移后的函數(shù)解析方式，再經(jīng)過對比可以做出選擇。

第一種解題方式：由平移向量知向量平移公式x=x′+π/6和y=y′+3，代入原解析式y(tǒng)=sin2x得到y(tǒng)′+3=sin2（x′+π/6）即得到y(tǒng)=sin（2x+π/3）-3，由此知道φ=π3，B=-3。

第二種解題方式：由向量a=（-π/6，-3），可以得到圖像平移的兩個過程，第一次平移，試講圖像向左平移π/6個單位;第二次平移是在第一次平移的基礎(chǔ)上向下平移3個單位，由此可得函數(shù)的圖像為y=sin2（x+π/6）-3，即y=sin（2x+π/3）-3，解答，得出φ=π3，B=-3。

像平移這類題目，在歷年高考真題中，非常容易出現(xiàn)填空題，此類題目切入口小，考查的知識點(diǎn)卻全面而深入，解答的關(guān)鍵也是學(xué)生特別容易出錯的地方，就是確定平移的方向與平移的多少。這類題目能夠綜合考查學(xué)生對知識點(diǎn)的理解能力和貫通能力。

（二） 三角函數(shù)與向量平行（共線）的解題策略分析

三角函數(shù)與向量平行（或者共線）的情況下，就需要從向量平行（或者共線）的條件入手。向量與三角函數(shù)是可以互相轉(zhuǎn)化的，這類題的解題思路就是將向量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題，然后從三角函數(shù)的相關(guān)知識出發(fā)，試著對三角函數(shù)解析式進(jìn)行化簡;或者也可以通過觀察坐標(biāo)，結(jié)合三角函數(shù)的圖像變化與其性質(zhì)進(jìn)行分析求解。這類題目的轉(zhuǎn)化思想比較明顯，有利于考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識的熟悉程度和運(yùn)用能力，因此在高考中常有考查。以例題2為例，對這類題進(jìn)行分析：

例題2：三個銳角A、B、C的和為π，向量p=（2-2sinA，cosA+sinA）與向量q=（cosA-sinA，1+sinA）是共線向量;請解答：（1）求角A;（2）求函數(shù)y=2sin2B+cos（C-3B）/2的最大值。

根據(jù)題目分析：根據(jù)向量共線的充要條件，我們可以建立一個三角函數(shù)等式，由題目可以求得A角的正弦值，從此再從角的范圍出發(fā)即可解決第1小題，其具體解答步驟如下：因?yàn)橄蛄縫與向量q是共線關(guān)系，所以（2-2sinA）（1+sinA）=（cosA+sinA）（cosA-sinA），則sin2A=3/4，又因?yàn)锳小于60度，所以sinA=3/2，那么A=π/3。而第2小題根據(jù)第1小題的結(jié)果及A、B、C三個角的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)恒等變換公式將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于角B的表達(dá)式，再根據(jù)B的范圍即可以求得最值，其最大值為2。

總的來說，這種共線問題的三角函數(shù)與向量交匯題，主要就是從向量平行（或者共線）的充要條件和三角函數(shù)的恒等變化條件出發(fā)，再緊密結(jié)合三角函數(shù)的有界性，就能找到正確的解題方案。具體而言，解答這類題目有兩點(diǎn)最為關(guān)鍵，一是靈活利用向量共線的充要條件，將向量問題轉(zhuǎn)化為熟悉的三角函數(shù)問題，再進(jìn)行解題。二是根據(jù)條件確定B角的范圍，因?yàn)樵谌呛瘮?shù)中角一般都充當(dāng)自變量的角色，因此，確定角的取值范圍就是解答題目的重要環(huán)節(jié)了。

（三） 三角函數(shù)與向量的模的解題策略分析

三角函數(shù)與向量的模的綜合類題型，主要是利用向量的模的性質(zhì)來解答（其性質(zhì)是向量|a|2=a2），概括一下，可以歸納如下：根據(jù)已知條件做基礎(chǔ)的向量運(yùn)算，再結(jié)合坐標(biāo)系，尋求解答方式。以例題3為例進(jìn)行分析。

例題3：已知向量a=（cosα，sinα），向量b=（cosβ，sinβ），向量|a-b|=2/55，求（1）求cos（α-β）的值;（2）若-π/2<β<0<α<π/2，且sinβ=-5/13，求sinα的值。

根據(jù)題意，首先可以運(yùn)用向量的模的計(jì)算方式，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，我們可以很方便地解決第一個小題，得到最終結(jié)果是cos（α-β）=-3/5;對于第二小題，我們可以把α換一下形式，將之變?yōu)椋é?β）+β，然后就再求sin（α-β）與cosβ就可以，最終得到sinα=33/65。

（四） 三角函數(shù)與向量垂直的解題策略分析

向量的垂直是一種特殊的向量積情況，此時向量a和b的內(nèi)積為0，說明這兩個向量之間的夾角θ為90°。在三角函數(shù)的知識體系中，90°角也是一個特殊角，這便是溝通三角函數(shù)與向量這兩個不同知識體系的重要交匯點(diǎn)，學(xué)生可以多加關(guān)注此類夾角的特殊性，再根據(jù)其定義和基本性質(zhì)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)，可以巧妙進(jìn)行解答。

以上便是三角函數(shù)與向量交匯題的常見題型，除此之外，也會有其他的情況，如斜三角形與向量的綜合、結(jié)合三角函數(shù)的有界性考查三角函數(shù)的最值與向量運(yùn)算、結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算考查其與三角不等式相關(guān)的問題等，但只要熟練掌握前面五種題型的解答技巧，緊密結(jié)合三角函數(shù)的圖像及其主要性質(zhì)，對于解答這些比較少見的題型，也具有重要的啟發(fā)作用。涉及三角函數(shù)的最值運(yùn)算問題時，應(yīng)先根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則求出相應(yīng)的函數(shù)基本關(guān)系式，然后利用三角函數(shù)的基本公式將所得出的代數(shù)式化為形如y=Asin（ωx+φ）+k，然后根據(jù)三角函數(shù)的有界性，解決問題。關(guān)于向量與三角不等式之間的問題，主要的解決方法是結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則，先求出函數(shù)f（x）的三角函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)三角公式對函數(shù)f（x）的三角恒等關(guān)系，有時還可以結(jié)合三角函數(shù)的基本特性之一——單調(diào)性求出三角不等式的解集。

三、 結(jié)語

教師在教授三角函數(shù)知識點(diǎn)和解題技巧時，可以結(jié)合前面所講過的向量的知識，一方面，為學(xué)生建立一種知識相互貫通的體系和思維方式;另一方面，也可以通過回顧舊的知識啟發(fā)學(xué)生對新知識的思考，探索其內(nèi)在的聯(lián)系，能夠有效幫助學(xué)生提高對新授知識的理解力，鞏固以往學(xué)過的知識，促進(jìn)他們逐漸學(xué)會自己概括三角函數(shù)與向量交匯題的命題規(guī)律，總結(jié)其正確的解答技巧。

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