東莞實驗中學(523120) 薛新建

一、原題呈現(xiàn)

題目(2019年高考全國Ⅰ卷理科數學第17 題)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,設(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

(1) 求A；

(2) 若+b=2c,求sinC.

二、考綱分析

《2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱(理科)》(下簡稱大綱)中對三角函數與解三角形部分要求如下：

1.突出考察形如y=Asin(ωx+φ)的函數圖象與性質；考察兩角和與差的三角函數公式和簡單的三角恒等變換；

2.重點考察正弦定理、余弦定理及其應用,解決簡單的三角形度量問題,以及與測量和幾何有關的實際問題.

從2012-2018年高考對解三角形部分的考察來看,題型和位置都相對固定,對于“解決與測量和幾何相關的實際問題”從來沒有涉及,重點在于“解決簡單的三角形度量問題”,y=Asin(ωx+φ)的函數圖象與性質,以及三角恒等變換等的考察.這些問題類型主要包括利用對已知條件的邊角互化求邊或求角的問題,以余弦定理為載體考察三角形面積和周長問題,余弦定理與基本不等式結合求范圍問題,正弦定理化一角一函數求范圍問題等.與往年縱向比較,2019年解三角形的題目內容符合大綱要求,問題類型與往年規(guī)律相符(求角),學生通過正弦定理、余弦定理對條件進行邊角互化后即可解決問題,題目定位容易題,對于整個試卷結構難易搭配的合理性起重要作用.經過仔細研究會發(fā)現(xiàn),這一道解三角形題遵循經典但富有創(chuàng)新,定位簡單然區(qū)分度高,看似復雜又源自教材,考察到的思想方法十分豐富,對學科核心素養(yǎng)的落實十分到位.

三、題目剖析

第(1)問對方程左邊平方展開,得到三角函數的齊次方程,用正弦定理化角為邊后再結合余弦定理可得下面重點分析第(2)問.

解法1

反思1 該解法中規(guī)中矩,從問題來看要求的是角,從條件來看所知是邊,因此化邊為角再結合消掉角B,即可得到關于角C的方程,后面通過簡單構造將問題轉化成常見的知值求值問題,既符合學生對三角函數的一般認知規(guī)律,也符合大多數師生平時的備考思路.這一常規(guī)解法證明該題定位清晰,難度適當,考察知識點合理合情,完全符合大綱要求.在實際運算過程中,學生可能把②式和sin2C+cos2C=1 聯(lián)立去求sinC,計算得到sinC=或sinC=這兩個解的取舍可以把sinC的兩個值代入①去求sinB,進而發(fā)現(xiàn)sinC=時sinB=因此需要舍掉.這樣的計算思路無論是解方程組還是對兩個sinC的值的取舍,都會造成比較大的計算量,學生計算思路的選擇可能會成為本題被詬病的原因.

解法2由(1)知A=,由余弦定理可得

與

聯(lián)立消去b并整理可得兩邊除以a2得所以又由正弦定理知所以后同反思1 取sin

反思2 該解法是以余弦定理和題式聯(lián)立消元得到a,c關系,抓住了兩式的方程本質,三個變量兩個方程經化簡可以得到兩個變量的比例關系,進而用正弦定理就可以轉化為角.解法體現(xiàn)了函數與方程的思想,轉化與化歸的思想,考察了學生的邏輯推理和數學運算的核心素養(yǎng).先消元再化角,符合大多數學生的思維習慣,但該解法運算量比較大,學生可能在運算過程中出錯,放棄或者在最后對兩個sinC的值的取舍時感到困難.值得一提的是,該解法有兩個變解：即下述解法3 和解法4.

解法3在 ③④兩個方程聯(lián)立后,可以對兩個方程選擇主元進行思考,不要把方程組看成三元二次方程組,而是看成關于b的一元二次方程組.由 ③得

由 ④得

兩式再消b得到a,c關系,后同解法2.

解法4在 ③④兩個方程聯(lián)立后,觀察 ④式發(fā)現(xiàn),成等差數列,不妨設即a=b=c+d,代入 ③式化簡得c2+4cd+d2=0,兩邊除以c2進一步解得所以所以后同解法2.

反思3 解法3 和解法4 本質上與解法2 一樣都是解方程,但一個大膽選定主元,發(fā)現(xiàn)了看問題的全新視角,一個建立等差數列模型,對方程進行轉化解決,解決問題的主要過程同解法2 截然不同,體現(xiàn)了高考對創(chuàng)新性的要求.若是在平時的課堂上學生有這樣的解題思路,無疑是應該被大力推崇的.

解法5如圖1所示,延長AC至D,使延長AB至E,使BE=c,所以所以AD=AE,又因為A=所以ΔADE是正三角形,在三角形BCD中,∠BDC=由正弦定理可得所以從而由∠DBC所以故所以,從而

圖1

圖2

反思4 上述解法是從平面幾何的角度,將和c長度的線段分別構造到AC和AB的延長線上,使得 ④式具有了幾何意義,方法大膽新穎,讓人耳目一新,是幾何法解決三角函數問題的典型案例,整個過程體現(xiàn)了數形結合的思想和轉化與化歸的思想,考察了新課程標準中數學抽象,邏輯推理,數學建模,直觀想象和數學運算等數學核心素養(yǎng).這種解法也使本題在條件循規(guī)蹈矩的基礎上,解答有了進一步發(fā)揮的空間,既體現(xiàn)了高考出題在知識交匯點處重點考察的特色,展示了知識之間的交叉、滲透和綜合,又體現(xiàn)了高考試題越來越強的開放性和探究性的特色,給學生留足展示特色的舞臺.

人教版《普通高中課程標準實驗教科書數學必修5》(下簡稱教材)第18 頁練習第3 題給出一組結論：在△ABC中,a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC,c=acosB+bcosA.這組結論告訴我們三角形中任何一邊等于其他兩邊在該邊上的射影之和,結合圖2很容易理解和證明,我們把這組結論稱為△ABC中的射影定理.利用射影定理去看待本題則思路更為簡單.

解法6由 ④式兩邊除以2 可得acosB+bcosA,把A=代入可得cosB=因為B ∈(0,π),所以所以所以

反思5 該解法直接應用教材配套練習中出現(xiàn)的射影定理去審視題目條件,將問題大大簡化,運算量大大降低,該題源自教材這一事實,使得其定位簡單題變得毫無爭論,當然,這么簡單的方法為什么大多數學生甚至老師都想不到呢? 這一點確實值得我們深刻反思.

四、對教學的啟發(fā)

1.深度開發(fā)教材例題習題,培養(yǎng)學生核心素養(yǎng).

教材是新課標精神的具體呈現(xiàn),課堂是把新課標精神落實到學生身上的主陣地.教材中的例題是定理公理最典型的應用體現(xiàn),課后的習題無疑也是對定理和例題最重要的補充,其巨大的教學價值尚待我們去發(fā)掘,其豐富的引領示范作用尚待我們去開拓.一些以習題資料為主要教學對象,把教材扔到一邊的舍本逐末做法,我們應當及時摒棄.

比如前文中提到的射影定理,是一個符合常識的完美定理,我們在引入正弦定理的時候就可以設計這樣的問題情境,讓學生去摸索一并發(fā)現(xiàn)射影定理：如圖2所示,我們在探索ΔABC中的邊角關系的時候,借助輔助線CD⊥AB,可以在兩個直角三角形ΔCAD和ΔCBD中發(fā)現(xiàn)CD=asinB,CD=bsinA,從而得到正弦定理,如果兩個角都取余弦呢? 學生就會發(fā)現(xiàn)射影定理.讓學生去體驗發(fā)現(xiàn)和歸納的過程,就是新課標所說的“既要關注學生學習的結果,更要重視學生學習的過程”.實際上,這里還可以繼續(xù)啟發(fā)引導學生發(fā)現(xiàn)教材第20 頁中的射影定理的變式：

2.深入研究新課程標準,提高自身理論修養(yǎng).

新課程標準是黨的教育方針在數學學科的體現(xiàn),吸取了歷次課程改革的高貴經驗,也借鑒了國際課程改革的優(yōu)秀成果,是具有國際視野的綱領性教學文件,其對學科核心素養(yǎng)的凝練,教學內容的更新,學業(yè)質量標準的研制,都具有劃時代的意義,教材的更新也已經付諸實施.對教材的解讀和使用成為新課程標準落到實處最重要的環(huán)節(jié).這就需要一線教師及時更新觀念,正確理解課程性質,準確把握課程理念,用培養(yǎng)學生學科核心素養(yǎng)的眼光去備課和展開教學.這樣無論用什么樣的教材,無論如何使用教材,都具有理論的高度和前瞻性.

3.及時學習學科考試大綱,把握高考最新動向.

高考是新課程標準最權威的指揮棒,考綱既是對新課程標準的凝練化體現(xiàn),也是對高考最權威的指導意見,為二者起到重要的媒介作用.每年考試大綱的調整,都需要我們及時學習.比如現(xiàn)在高考把新課標的六大核心素養(yǎng)凝練成了理性思維,數學應用,數學探究和數學文化四項學科素養(yǎng),把核心素養(yǎng)和高考能力整合為邏輯思維,運算求解,空間想象,數學建模和創(chuàng)新五種能力,新的試卷結構和新的試題類型也是呼之欲出.這些都是一線教師備考必須了解的新形勢.