廣東省湛江一中培才學(xué)校(524037) 魏 欣

廣東省雷州市第八中學(xué)(524232) 鄧春梅

高考中考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問題是?？嫉念}型,久經(jīng)不衰.此類問題計算量較大,尤其是多元字母運算,是考生的難點.縱觀近年來的高考題,在解析幾何中,直線與圓錐曲線相交時常把直線設(shè)成y=kx+b或x=my+t代人圓錐曲線方程中消元,代入圓錐曲線方程,應(yīng)用韋達定理、求根公式與弦長公式求解.本文對高考中的直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問題進行了性質(zhì)研究,通過剖析2019年全國Ⅰ卷理科第19 題的特點,提煉出針對性的解法,幫助學(xué)生把握問題本質(zhì)、提高思維品質(zhì).使學(xué)生在問題解決的過程中發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),體會數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.

一、試題展示與評析

題目(2019年全國Ⅰ卷理科第19 題) 已知拋物線C:y2=3x的焦點為F,斜率為的直線l與C的交點為A、B,與x軸的交點為P.

(Ⅰ) 若|AF|+|BF|=4,求直線l的方程；

(ⅠⅠ) 若=求|AB|.

評析本題以解析幾何最常見的拋物線為載體,考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)、直線的方程、斜率,直線與圓錐曲線相交的弦長等綜合問題；在解題過程中,將問題坐標(biāo)化,將交點化歸為方程組的解,通過消元得到一元二次方程,涉及到函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想,以及代入法和消元法等重要數(shù)學(xué)思想方法,重點考查數(shù)學(xué)運算、邏輯推理和直觀想象等核心素養(yǎng).

二、解法探究

解析(Ⅰ) 設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)、P(t,0)(t＞0),則直線l的方程為：對于拋物線y2=3x,所以由拋物線定義知所以

(ⅠⅠ)解法一設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)、P(t,0)(t＞0),因為所以-y1=3y2,即y1+3y2=0.因為直線l的斜率為所以設(shè)l的方程為由得y1=-3y2.聯(lián)立得y2-2y-3t=0.即解得t=1.所以

(ⅠⅠ)解法二設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)、P(t,0)(t＞0),因為所以-y1=3y2,即y1+3y2=0.由得y2-2y-3t=0.所以所以解得t=1.所以即所以所以

(ⅠⅠ)解法三設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)、P(t,0)(t＞0),則直線l的方程為

將(4)式代入(3)式,得

評析在第二問中,首先將向量問題坐標(biāo)化,將交點化歸為方程組的解,通過消元得到一元二次方程.然后設(shè)而不求,通過根與系數(shù)的關(guān)系進行求解.在求解的過程中,采用設(shè)直線方程為或代人圓錐曲線方程中消元,設(shè)直線方程為的形式來簡化運算,減少運算量.一般來說,設(shè)過x軸上的直線方程時,設(shè)為方程x=my+n的形式與設(shè)y=kx+b的形式相比,運算較為簡單,應(yīng)該引起足夠的重視.

二、教材尋根

高考題的命題有些是來源于教材,但往往又高于教材,因而我們的課堂教學(xué)需要回歸教材,扎根教材,根深才能葉茂,源遠方能流長.2019年全國Ⅰ卷理科第19 題來源于新課標(biāo)人教A 版選修1-1 第61 頁例4 題.教材是命制高考試題的一個源頭,這也符合“源于教材,高于教材”的命題理念,這就要求我們了解高考試題的來龍去脈,領(lǐng)悟教材和高考試題的功能,這對跳出題海,正確把握高考復(fù)習(xí)方向,有著重要的意義和作用.

題目(新課標(biāo)人教A 版選修1-1 第61 頁例4)斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點,且與拋物線交于A、B兩點,求|AB|.

教材中的例、習(xí)題具有典型性與代表性,能有效檢查學(xué)生對重點知識的掌握及靈活應(yīng)用的程度.分析歷年的高考試題,可以發(fā)現(xiàn),很多高考試題的原型都來自于課本教材,適當(dāng)?shù)剡M行一些改編和創(chuàng)新.高考的命題指導(dǎo)思想中也指出,要考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識、基本能力的掌握程度和運用所學(xué)知識分析、解決問題的能力.因此,對教材例、習(xí)題的探究是高考備考復(fù)習(xí)的重要方式之一.

三、結(jié)論研究

結(jié)論一已知拋物線C:y2=2px的焦點為F,斜率為k的直線l與拋物線C的交點為A、B,與x軸的交點為P.

(Ⅰ) 若|AF|+|BF|=m(其中m≥2p,m為常數(shù)),則直線l的方程為y=kx-其中直線l過

證明(Ⅰ) 設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)、P(t,0)(t＞0),則直線l的方程為由拋物線定義知|AF|=所以所以

結(jié)論二已知拋物線C:y2=2px(p＞0),過P(t,0)的直線l交C于A,B兩點,且l的斜率則

(1) 當(dāng)P位于A、B之間時,

(2) 當(dāng)P位于A、B兩側(cè)時,

證明(1) 當(dāng)P位于A、B之間時,設(shè)A(x1,y1)、則 直線l方程為x=my+t.因 為所以所以聯(lián)立得所以同理,可以證明(2).

結(jié)論三若二次曲線過點P(t,0)的直線l交C于A,B兩點,且l的斜率則

(1) 當(dāng)P位于A、B之間時,

(2) 當(dāng)P位于A、B兩側(cè)時,

證明(1) 當(dāng)P位 于A、B之 間 時,設(shè)A(x1,y1)、則直線l方程為x=my+t.因為所以所以聯(lián)立得所以

同理,可以證明(2).

結(jié)論四對于特殊的二次曲線Ax2+By2=0(AB＜0且為常數(shù)),過點P(t,0) 的直線l交C于A,B兩點,且l的斜率則

(1) 當(dāng)P位于A、B之間時,

(2) 當(dāng)P位于A、B兩側(cè)時,

證明(1) 當(dāng)P位于A、B之間時,設(shè)A(x1,y1)、則直線l方程為x=my+t.因為所以所以聯(lián)立得(Am2+B)y2+2Amty+At2=0.

同理,可以證明(2).

四、真題回顧

由以上結(jié)論不難發(fā)現(xiàn),在2013年全國ⅠⅠ卷文科第10題、2019年全國Ⅰ卷理科第10 題、2019年全國Ⅰ卷理科第16題,都源于以上圓錐曲線的性質(zhì)結(jié)論,均可以用上述的通性通法來解答,體現(xiàn)了高考試題“?？汲Ｐ?推陳出新”的理念.由于篇幅關(guān)系,此處只作簡析.

1.(2013年全國ⅠⅠ卷文科第10 題)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線l經(jīng)過F且與拋物線C交于A、B兩點.若|AF|=3|BF|,則直線l的方程為( ).

A.y=x-1 或y=-x+1

B.y=或y=

C.y=或y=

D.y=或y=

解由結(jié)論一,p=2,λ=3,F(1,0),代入直線l經(jīng)過定點所以所以解得所以直線l的方程為或故選擇C.

2.(2019年全國Ⅰ卷理科第10 題)已知橢圓C的焦點為F1(-1,0),F2(1,0),過F2的直線與C交于A,B兩點.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為( ).

解所以|AF2|=a.即A為橢圓的上頂點或下頂點.不妨設(shè)A為上頂點,由結(jié)論三,即t=1,常數(shù)A=常數(shù)B=且 點F2位于點A,B之間.即代入c=1,得a2=3.所以橢圓C的方程為a2=3.故選擇B.

3.(2019年全國Ⅰ卷理科第16 題)已知雙曲線C:=1(a＞0,b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2,過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A、B兩點.若則C的離心率為____.

圖1

解如圖所示,雙曲線的漸近線方程分別為由A、O分別為F1B、F1F2的中點,利用結(jié)論四,所以AB的斜率為即常數(shù)常數(shù)且點F1位于點A、B兩側(cè).代入λ=得

所以b2=3a2,即故雙曲線的離心率為e=2.

五、備考建議

G.波利亞有句名言：“掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題,如果我們在日常的教學(xué)中,能對課本例習(xí)題作深入的研究,一題多解,一題多變,多題一法進行變式教學(xué),立根課本,必定能取得豐碩的成果”.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,我們要善于挖掘教材的潛在教學(xué)功能.教材中有一些典型性題目,它們或者是重要的結(jié)論,或者體現(xiàn)某種數(shù)學(xué)思想方法,或者是某個一般數(shù)學(xué)命題的具體形式,它的延伸、轉(zhuǎn)化和拓廣,可以呈現(xiàn)出豐富多彩的數(shù)學(xué)內(nèi)容.我們必須充分重視課本典型例題、習(xí)題的探究,這是“用教材教”之根本,也是教師專業(yè)成長的必有之路.

隨著新一輪高中課程改革的實施,教師對解析幾何的教學(xué)應(yīng)由傳統(tǒng)的“結(jié)果性教學(xué)”轉(zhuǎn)變?yōu)樗仞B(yǎng)立意的“過程性教學(xué)”,這就要求教師在教學(xué)過程中,不僅要讓學(xué)生知其然,更要知其所以然,同時引導(dǎo)學(xué)生了解甚至主動去探究解析幾何問題的本“源”,學(xué)會舉一反三,而不是就題解題,機械模仿.一方面,教師探尋解析幾何問題的本“源”,追溯數(shù)學(xué)思維發(fā)展的源泉,可以提升教師自身數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)和專業(yè)化水平；另一方面,教師把握解析幾何問題的“流”[4],可以培養(yǎng)學(xué)生多維度思考問題的習(xí)慣,登高望遠,拓展視野,如全國ⅠⅠ卷的第(ⅠⅠ)問,能夠培養(yǎng)學(xué)生思維的深度和廣度,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,挖掘數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的潛能.