中山市桂山中學(xué)(528463) 蔡曉波

概率是高考中必考且重點(diǎn)考的知識(shí)點(diǎn)之一,此題一般以應(yīng)用題的形式出現(xiàn),能很好的考察學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力,數(shù)據(jù)分析能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.下面筆者以2019年全國(guó)Ⅰ卷第21 題為例,通過(guò)對(duì)題目進(jìn)行一般化、變式來(lái)多角度剖析該題.

一、題目再現(xiàn)

題目(2019年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第21 題)為了治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).對(duì)于兩只白鼠,隨機(jī)選一只施以甲藥,另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后,再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4 只時(shí),就停止試驗(yàn),并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問(wèn)題,約定：對(duì)于每輪試驗(yàn),若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1 分,乙藥得-1 分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1 分,甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0 分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β,一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列；

(2) 若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)都賦予4 分,pi(i=0,1,···,8) 表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí),最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率,則p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,···,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假設(shè)α=0.5,β=0.8.

(i)證明：{pi+1-pi}(i=0,1,2,···,7)為等比數(shù)列；

(ii)求p4,并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

解答(1)X的所有可能取值為-1,0,1；P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β),P(X=1)=α(1-β).所以X的分布列為

X -1 0 1_____P (1-α)β αβ+(1-α)(1-β)α(1-β)

(2) (i) 由(1) 得a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1).又因?yàn)閜1-p0=p1/=0,所以{pi+1-pi}(i=0,1,2,···,7)為公比為4,首項(xiàng)為p1的等比數(shù)列.

p4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率,由計(jì)算結(jié)果可以看出,在甲藥治愈率為0.5,乙藥治愈率為0.8 時(shí),認(rèn)為甲藥更有效的概率為p4=≈0.0039,此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小,說(shuō)明這種試驗(yàn)方案合理.

試題評(píng)析本題在試卷中處于21 題,屬于壓軸題的位置,該題以測(cè)試新藥為背景,解釋試驗(yàn)方案的合理性,是一個(gè)數(shù)學(xué)應(yīng)用的題目,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值,考察了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力與數(shù)據(jù)分析能力.此外,本題第二問(wèn)還考察了數(shù)列方面的知識(shí),要求學(xué)生有較強(qiáng)的分析能力與推理能力,因此本題綜合性較強(qiáng),是一道考察學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力的好題.本題難點(diǎn)在于：

1.題目較長(zhǎng),文字較多,學(xué)生需要耐心分析題目的信息.

2.提問(wèn)打破常規(guī),從以往的方案選擇或者單純的計(jì)算某個(gè)事件的概率變?yōu)槔酶怕式忉尯侠硇?

3.數(shù)列方面的考察也打破常規(guī),常規(guī)的數(shù)列題目往往比較容易就能知道首項(xiàng)和公比(公差),而本題中數(shù)列{pi+1-pi}的首項(xiàng)p1-p0和末項(xiàng)p8-p7均不能完全知道.

二、試題的一般化與變式

(一)α,β一般化把題目中的第(2)問(wèn)的“α=0.5,β=0.8 ”變?yōu)椤?＜α＜1,0＜β＜1,α≠ β”,那么{pi+1-pi}(i=0,1,2,···,7) 還是等比數(shù)列嗎?并求出{pn}(n=0,1,2,···,8)的通項(xiàng).

解因?yàn)閜i=api-1+bpi+cpi+1,且由“試題解答”(1)可得：所以0,即所以又因?yàn)槭醉?xiàng)所以是公比為首項(xiàng)為p1的等比數(shù)列.設(shè)由α≠β可得q/=1,所以由于p8=1,故所以所以當(dāng)n=0 時(shí),p0=0 滿(mǎn)足pn=故pn=其中

(二)去除已知條件,弱化題目

把題目中的第(2)問(wèn)的“p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,···,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假設(shè)α=0.5,β=0.8”去掉變?yōu)椤?＜α＜1,0＜β＜1,α≠ β”,那么{pi+1-pi}(i=0,1,2,···,7) 還是等比數(shù)列嗎?并求出{pn}(n=0,1,2,···,8)的通項(xiàng).

分析由于pi(i=0,1,···,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí),最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率,故pi有實(shí)際意義,因此,上述條件去除之后,我們應(yīng)該也可以利用概率的知識(shí)自己求出來(lái).

解依題意可得p0表示此時(shí)乙藥已經(jīng)比甲藥治愈的白鼠多4 只,此時(shí)停止試驗(yàn),并認(rèn)為乙藥有效,因此p0=0,同理可得p8=1,當(dāng)i/=0 且i/=8 時(shí)意味著實(shí)驗(yàn)尚未停止,那么下一輪實(shí)驗(yàn)有如下三種情況：

①甲藥未治愈而乙藥治愈,發(fā)生的概率為P(X=-1),那么甲藥累計(jì)得分變?yōu)閕-1 分,最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效的概率為pi-1；

②甲藥與乙藥都治愈或者都未治愈,發(fā)生的概率為P(X=0),那么甲藥累計(jì)得分依然為i分,最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效的概率為pi；

③甲藥治愈而乙藥治愈,發(fā)生的概率為P(X=1),那么甲藥累計(jì)得分變?yōu)閕+1 分,最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效的概率為pi+1.

故有pi=P(X=-1)pi-1+P(X=0)pi+P(X=1)pi+1=(1-α)βpi-1+(αβ+(1-α)(1-β))pi+α(1-β)pi+1.以下解法與“(一)”相同.

注在該變式中,如果直接求pi比較困難,而換個(gè)角度,通過(guò)遞推的思想求出了pi與pi-1,pi+1的關(guān)系,從而進(jìn)一步求出pi,則問(wèn)題就變得比較簡(jiǎn)單,讀者可以嘗試用遞推的思想解決下邊的這道題目：

例某個(gè)會(huì)閃爍的彩燈有紅色和綠色兩種顏色,第一次打開(kāi)(我們約定為第1 次閃爍)時(shí),出現(xiàn)紅色和出現(xiàn)綠色的概率都是,從第2 次閃爍開(kāi)始有如下規(guī)律：若前次出現(xiàn)紅色,則下一次出現(xiàn)紅色的概率是,出現(xiàn)綠色的概率為若前次出現(xiàn)綠色,則下一次出現(xiàn)紅色的概率是,出現(xiàn)綠色的概率為；記第n次閃爍后出現(xiàn)紅色的概率為pn,求證為等比數(shù)列,并求出pn.

(三)次數(shù)一般化

在(二)的基礎(chǔ)上,我們把題目的2 個(gè)地方進(jìn)行再次一般化：

①題目中的“當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4 只時(shí),就停止試驗(yàn),并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.”更改為“當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多k(k ∈N?)只時(shí),就停止試驗(yàn),并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.”

②題目中的第(2) 問(wèn)更改為：若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)都賦予k分,0＜α＜1,0＜β＜1,α≠ β,那么{pi+1-pi},(i=0,1,2,···,2k-1)還是等比數(shù)列嗎?并求出{pn}(n=0,1,2,···,2k)的通項(xiàng).

解由(二)類(lèi)似可得：p0=0,p2k=1 且pi=P(X=-1)pi-1+P(X=0)pi+P(X=1)pi+1=(1-α)βpi-1+(αβ+(1-α)(1-β))pi+α(1-β)pi+1(i=1,2,···,2k-1).結(jié)合“(一)”類(lèi)似可得：{pi+1-pi} (i=0,1,2,···,2k-1)是公比為首項(xiàng)為p1(p1/=0)的等比數(shù)列.設(shè)q=由α≠ β可得q/=1.所以由 于p2k=1,故p1=所以pn=(n=1,2,···,2k).當(dāng)n=0 時(shí),p0=0 滿(mǎn) 足所以其中

注讀者可以思考,為什么題目中甲藥、乙藥在試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)都要賦予k分,能帶來(lái)什么樣的便利.

(四) 結(jié)論變式

在(三)的基礎(chǔ)上,我們?cè)黾右粏?wèn)：若α=0.5,β=0.8,且要求出錯(cuò)概率不超過(guò),則k的最小值是多少?

解：因?yàn)棣?0.5,β=0.8,所以根據(jù)(三) 可得：q==4,所以pn=(n=0,1,2,···,2k).pk相當(dāng)于實(shí)驗(yàn)還沒(méi)開(kāi)始或者實(shí)驗(yàn)雖然進(jìn)行了但甲藥與乙藥的有效次數(shù)一樣多,并且甲藥治愈率α小于乙藥治愈率β,因此出錯(cuò)概率不超過(guò)等價(jià)于pk＜,所以pk=又因?yàn)閗 ∈N?,故可得k ≥5,故k的最小值為5.

注在此變式中,若將“α=0.5,β=0.8 ”修改為“α=0.8,β=0.5”,那么又該怎么做呢? 留給讀者自己去思考.

三、小結(jié)與反思

此題實(shí)際上是一個(gè)優(yōu)勝劣汰的問(wèn)題,其實(shí)相當(dāng)于對(duì)弈問(wèn)題中平局概率不為零的情況,在教學(xué)中,教師可以通過(guò)變換題目背景,訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力.

由2019年全國(guó)Ⅰ卷的概率題目,我們不難發(fā)現(xiàn),該題考察面較廣,突破了該題僅考概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)的常規(guī),偏向于跨知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用,注重考察學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等方面的能力.

因此,教師在教學(xué)中,可以通過(guò)一題多變引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深層次的思考.