李軍

摘 ?要：復(fù)習(xí)課在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著重要作用，好的復(fù)習(xí)課會促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展，有效提升學(xué)生的學(xué)習(xí)力。真實的學(xué)習(xí)，總會伴隨著真實的錯誤，在復(fù)習(xí)階段，如果能充分利用好錯誤資源，化錯為寶，會讓復(fù)習(xí)更有針對性。在課堂實踐中，通過集錯，讓復(fù)習(xí)有的放矢;通過辨錯，讓認(rèn)知走向清晰;通過化錯，讓思維走向深刻。文章以《運算律》單元內(nèi)容為例，談?wù)勱P(guān)于如何借助學(xué)習(xí)過程中的錯誤資源進(jìn)行有效復(fù)習(xí)，讓復(fù)習(xí)精準(zhǔn)發(fā)力。

關(guān)鍵詞：復(fù)習(xí);錯誤;學(xué)習(xí)力

復(fù)習(xí)課貫穿小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始終，在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起著重要作用，學(xué)習(xí)過程中不同階段伴隨著不同類型的復(fù)習(xí)課。實踐證明，復(fù)習(xí)課學(xué)習(xí)效果的提升，有利于學(xué)生的認(rèn)知形成知識鏈，會使學(xué)生的思維得到有效發(fā)展和提高，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)力的形成。實際教學(xué)中，不少復(fù)習(xí)課以“機(jī)械訓(xùn)練”“題海戰(zhàn)術(shù)”“以練代課”等單一的形式進(jìn)行，學(xué)生的主動性和積極性難以調(diào)動，成了教師指令下的“操作工”，學(xué)生自主建構(gòu)知識的能力得不到有效培養(yǎng)，“漫無目的”“毫無章法”“遍地開花”的現(xiàn)象普遍存在。學(xué)習(xí)，錯誤在所難免，沒有錯誤的學(xué)習(xí)不是真正的學(xué)習(xí)。面對學(xué)生的錯誤，僅僅就糾正？甚至置之不理？還是當(dāng)作學(xué)習(xí)過程中重要的生成性資源？對待學(xué)生錯誤的態(tài)度，彰顯教育者的教育觀念和教育智慧，也決定著學(xué)生是否真實地在學(xué)習(xí)。錯誤，筆者覺得理應(yīng)是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中真實生長的“寶貝”，我們要充分利用錯誤資源，化錯為寶，借錯發(fā)揮，特別是復(fù)習(xí)課。如果能針對學(xué)生的“易錯點”“精準(zhǔn)”發(fā)力，不僅會有效提高復(fù)習(xí)課的質(zhì)量，更會提升學(xué)生的學(xué)習(xí)力。本文以《運算律》內(nèi)容為例，談?wù)勅绾谓柚e誤資源來開展復(fù)習(xí)。

一、集錯：讓復(fù)習(xí)有的放矢

作為教師，在面對學(xué)生的學(xué)習(xí)中，錯誤會像呼吸一樣自然出現(xiàn)在你的面前。當(dāng)錯誤出現(xiàn)，你是簡單打個“×”，還是舍得花時間去細(xì)細(xì)看一下學(xué)生出錯的情況？錯誤的出現(xiàn)，不僅僅需要思考這個錯誤僅僅是個案，還是幾個學(xué)生都出現(xiàn)過。要先找到學(xué)生出錯點在哪里，思考是不是具有典型意義，能不能透過錯誤表面看到學(xué)生學(xué)習(xí)的實質(zhì)，考量著一個教師的教育智慧和敏感度。錯誤是一種寶貴的生成性資源，我們要做一個有心人，要高度關(guān)注學(xué)生出現(xiàn)的錯誤并根據(jù)錯題的情況建好自己的錯題庫，可以按時間每天記載“批改記錄”，也可以根據(jù)錯題的具體內(nèi)容“分類建檔”，最好這個錯誤是某班某孩子某類作業(yè)練習(xí)本第幾頁都能記錄下來，便于教師追蹤溯源。這樣的“錯題集”會成為我們手中的“寶貝”，會為后續(xù)的學(xué)習(xí)及單元或者歸類復(fù)習(xí)提供強(qiáng)大的數(shù)據(jù)庫，在數(shù)據(jù)庫的基礎(chǔ)上有針對地進(jìn)行復(fù)習(xí)，讓復(fù)習(xí)變得有據(jù)可依，復(fù)習(xí)課不會再異變?yōu)椤皺C(jī)械訓(xùn)練、題海戰(zhàn)術(shù)、以練代課”等固定套路，讓學(xué)生不會再感覺復(fù)習(xí)課就是“炒冷飯”，從而使得原本應(yīng)付、缺乏動力的復(fù)習(xí)課變得生機(jī)勃勃，趣味十足，挑戰(zhàn)性強(qiáng)。

除了教師自己要注意搜集錯題，形成錯題庫之外，更要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注錯題，建立錯題庫，讓學(xué)生養(yǎng)成關(guān)注錯題、搜集錯題、化解錯誤的習(xí)慣。習(xí)慣的養(yǎng)成，會培養(yǎng)學(xué)生的一種深度反思意識，會有效培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)的關(guān)鍵能力，有效促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)力。

例如，在《運算律》單元學(xué)習(xí)之中，學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的錯誤有：

（1）（33+4）×25=33+4×25;

（2）12×97+3=12×（97+3）;

（3）25×（4×8）=25×4+25×8。

這些錯誤都具有典型性，而且都有值得去深入分析其錯誤原因的價值，如果僅僅浮于表面，讓學(xué)生簡單把錯誤訂正一下，而不去刨根問底、深入探究錯誤的緣由，那么學(xué)生的思維得不到真正的發(fā)展。

再如，學(xué)生學(xué)習(xí)了乘法分配律后，在乘法的基礎(chǔ)上會有一定的拓展，在除法中也發(fā)現(xiàn)了類似的現(xiàn)象：

（1）（330+420）÷30=330÷30+420÷30;

（2）960÷（40+20）=960÷40+960÷20。

上述現(xiàn)象中，由于第一題是正確的，部分學(xué)生會把第一題得到的經(jīng)驗遷移到第二題中，而第二題的方法卻是錯誤的。

這些題都具有一定的典型性，錯誤率也較高，幾乎每年、每次試卷都會考查。從四年級學(xué)習(xí)后，一直持續(xù)到畢業(yè)考試，只是從整數(shù)發(fā)展到小數(shù)、分?jǐn)?shù)，都還是考查學(xué)生對運算律的理解，從未缺席過各類測試，而“經(jīng)典”就體現(xiàn)在凡做必錯、糾后再錯，典型屬于“錯你千遍還有錯”。

經(jīng)歷了這樣一個有意義、有選擇、有思考的錯題搜集建檔的過程，會為我們后續(xù)的新知學(xué)習(xí)、復(fù)習(xí)提高等做好最基礎(chǔ)性的工作，建立一個厚實、豐富、多元的大數(shù)據(jù)庫。

二、辨錯：讓認(rèn)知走向清晰

在平時建立錯題庫的基礎(chǔ)上，到了復(fù)習(xí)階段，就要從累積的錯題庫中挑選出對于學(xué)生或者知識的本質(zhì)具有典型的、共性的、有意義的錯題去辨析。以易錯題為引子，通過對錯題的剖析，激發(fā)學(xué)生回顧舊知的興趣和欲望，從而在辨錯中讓學(xué)生的認(rèn)知逐漸清晰，促進(jìn)對知識本質(zhì)的把握和理解。同時，借助“錯點”，還可以舉一反三，適度適時進(jìn)行擴(kuò)散，把一類知識或者一類錯例進(jìn)行梳理，精確找到認(rèn)知的“盲點”，通過學(xué)生自我思維過程，尋求達(dá)到“承前啟后、查漏補缺、溫故知新”的復(fù)習(xí)目標(biāo)。

例如，上述運算律中教學(xué)列舉的錯例25×（4×8）=25×4+25×8。此錯例告訴我們，對乘法分配律，學(xué)生最容易與乘法結(jié)合律發(fā)生混淆。我們就要充分利用這個錯題，通過比較來強(qiáng)化知識的特征，要引導(dǎo)學(xué)生除了從結(jié)構(gòu)上比較，更要從意義上比較。

（1）出示25×（4×8），問：結(jié)合具體例子，說明這個算式的每一步計算表示什么？25×4×8這個算式每一步表示什么？

（2）將25×（4×8）改成25×（4+8），它們表示的含義一樣嗎？

（3）將25×（4+8）去掉括號——25×4+8，又會發(fā)生什么變化呢？那么25×（4+8）去掉括號應(yīng)寫成什么呢？

（4）辨析：同樣是去括號，為什么25×（4+8）=25×4+25×8中25出現(xiàn)了兩次，而25×（4×8）=25×4×8中25只用了一次？

在比較過程中，要引導(dǎo)學(xué)生在觀察比較后清晰了解，乘法結(jié)合律只有一種運算，而乘法分配律包含兩種運算，乘法分配律打通了乘法和加法之間的聯(lián)系。

上述過程，運用了多種比較和多次比較：縱向上，乘法分配律與乘法結(jié)合律進(jìn)行比較;橫向上，乘法分配律左右兩個算式進(jìn)行比較。每一種、每一次形式上的比較，其實質(zhì)都?xì)w結(jié)于意義上的比較。表面上，與乘法結(jié)合律的比較花費了教學(xué)時間，實質(zhì)上卻在反作用于乘法分配律的理解和記憶，比較常常能夠達(dá)到一舉兩得的功效。為此，在練習(xí)中，我們還可以借25×44大做文章，如果變成25×（4×11），則用乘法結(jié)合律簡算;如果變成25×（40+4），則用乘法分配律簡算（其實也就是兩位數(shù)乘兩位數(shù)列豎式乘法的算法）。一題兩法，對比強(qiáng)烈。

經(jīng)過這樣的深入辨錯比較的過程，學(xué)生會對乘法結(jié)合律及乘法分配律的本質(zhì)有更為清晰的認(rèn)識，最初建立在腦中模糊的認(rèn)知也會逐漸明朗。

三、化錯：讓思維走向深刻

到了復(fù)習(xí)階段，篩選出有價值和典型性的問題，充分利用學(xué)生的“出錯點”，深入分析“易錯點”，在“集錯”“辨錯”的基礎(chǔ)上巧妙“化錯”，讓錯題成為學(xué)生有效復(fù)習(xí)、形成自主復(fù)習(xí)能力的“好幫手”。讓學(xué)生在“化錯”中深化對原有知識內(nèi)核的認(rèn)知，盤活其自主建構(gòu)的認(rèn)知系統(tǒng)，梳理相關(guān)知識，促進(jìn)學(xué)生對知識本質(zhì)的理解，這樣的復(fù)習(xí)課才是有效的，才會促進(jìn)學(xué)生思維的深度發(fā)展。

同樣的例子，上述運算律的復(fù)習(xí)中，對學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的錯誤進(jìn)行了深度的辨析后，有必要對學(xué)生的認(rèn)知進(jìn)行提升。在辨錯后，要進(jìn)一步指出：運算律不只是為簡算而學(xué)，它還可用于推導(dǎo)出數(shù)學(xué)法則等數(shù)學(xué)規(guī)律，如加法和乘法的計算法則。乘法分配律是運算律中應(yīng)用最廣，也是最重要的一條規(guī)律。上述錯誤的出現(xiàn)，說明對乘法分配律的意義建構(gòu)和形式建“構(gòu)”并不充分。在教學(xué)中，教師應(yīng)該積極尋求讓學(xué)生理解性、過程性記憶的方法。一是強(qiáng)化乘法分配律的內(nèi)在意義，讓學(xué)生有聯(lián)系地記憶。根據(jù)教材的編排意圖，運算律基本都是通過讓學(xué)生經(jīng)歷不完全歸納推理出運算律，然而我們的教學(xué)不應(yīng)僅僅停留在此層面上，在不完全歸納推理出運算律的基礎(chǔ)上，要有意識地引導(dǎo)學(xué)生通過演繹推理來驗證運算律的合理性和必然性，是支撐計算的本質(zhì)，也是算理的本質(zhì)。同時也可以結(jié)合計算的意義來強(qiáng)化理解，如4×7+6×7表示4個7加上6個7，合起來是10個7;（4+6）×7也表示10個7，其本質(zhì)上是一樣的，所以4×7+6×7=（4+6）×7。讓學(xué)生感受乘法分配律無論從實踐層面，還是意義層面，都是正確的。二是強(qiáng)化乘法分配律的外在特征，讓學(xué)生有聯(lián)想的記憶。學(xué)習(xí)分配律后，教師可以借助“幽默一記”的方法來幫助學(xué)生在理解本質(zhì)的基礎(chǔ)上對乘法分配律的外在特征也能牢記于心;或者借助一些圖形、公式幫助學(xué)生理解，比如長方形的周長計算公式，兩種不同的方法：a×2+b×2、（a+b）×2，表示的是同一個意思（都表示長方形的周長）。在聯(lián)想和對比中對分配律印象深刻。

到了復(fù)習(xí)階段，恰恰是彰顯數(shù)學(xué)思想的最佳時機(jī)，對于教材而言，數(shù)學(xué)基本思想與方法理應(yīng)成為單元和階段復(fù)習(xí)總結(jié)提升的主題。在回顧梳理一個單元的知識內(nèi)容的時候，借助“化錯”時機(jī)，將數(shù)學(xué)知識和技能提升為一種數(shù)學(xué)思想方法，需要我們從數(shù)學(xué)的本質(zhì)著眼，以更高的觀點加以審視，學(xué)生的思維才會真正從表面走向深刻。在經(jīng)歷了新授階段借助不完全歸納探索規(guī)律、解釋規(guī)律的過程后，到了復(fù)習(xí)階段有必要結(jié)合兩位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法及算理，讓學(xué)生在計算中初步感受一下演繹推理的力量，讓學(xué)生知道運算律是伴隨著計算自然而然生長出來的，兩種不同的角度，會讓學(xué)生的思維發(fā)展更加多元化。運算律的復(fù)習(xí)過程還是建模和認(rèn)知提升的過程，在文字表征、符號表征、圖形表征等多樣化表征運算律的過程中，學(xué)生在其間領(lǐng)略到數(shù)學(xué)建模的方法以及符號化的模型表達(dá)方式，感受到變與不變辯證思想、符號化思想、模型思想等，在后續(xù)不斷運用運算律解決實際問題的過程中能體會到化歸思想，如“78×2.1+2.2×21”可以轉(zhuǎn)化成“78×2.1+22×2.1”，再轉(zhuǎn)化成“（78+22）×2.1”，即“100×2.1”。正是因為數(shù)學(xué)思想的凸顯，學(xué)習(xí)者在體驗數(shù)學(xué)美妙的同時，能產(chǎn)生心靈的震撼，這種震撼，往往會讓人終生難忘。數(shù)學(xué)思想方法需要提煉，一般是內(nèi)容闡述在前，思想方法提煉在后。

化錯的途徑是多樣的，可以是教師去“點化”，還可以是學(xué)生之間的“互化”，更可以是本人的“自化”。從“點化”到“互化”，最后到“自化”，“化”的不僅僅是知識之錯，更是生命成長之基。學(xué)生在“集錯”“辨錯”“化錯”的過程中，收獲的不僅僅是認(rèn)知的提升，數(shù)學(xué)思想的強(qiáng)大魅力，更重要的是收獲了求真的科學(xué)精神，成長的拔節(jié)之樂。