楊薇

摘要：在現(xiàn)今的小學數(shù)學應試教育中，解應用題或叫解決問題是不少學生的薄弱環(huán)節(jié)。解應用題的本質(zhì)就是數(shù)學建模，而建模的關鍵環(huán)節(jié)是對問題模型的建造，相當于應用題的數(shù)量關系模型的確立。本文以四年級數(shù)學廣角中雞兔同籠典型問題作為案例，探索以建立數(shù)學模型為主的課堂。

關鍵詞：數(shù)學建模;數(shù)量關系;雞兔同籠;應用題

學生錯解應用題，離不開一些主要原因。例如，學生對題目文字、詞語的意思把握不足、生活視野狹窄和缺乏思維想象導致無法審題或?qū)忣}偏差，分析問題時難以準確提取數(shù)量關系。課堂上沒有完全理解問題的數(shù)量關系，知其然而不知其所以然，靠發(fā)揮記憶力來推敲類似題目的數(shù)量關系。

有些教師會以不同的數(shù)量關系劃分成不同類型的應用題針對性地進行大量訓練，這樣很容易把題目“講死”，學生思維固化，以記憶解題方法為主，不利于思維發(fā)展。

一、解應用題的本質(zhì)——數(shù)學建模

這是某些專家畫出的數(shù)學建模流程圖（如圖1），這過程跟解應用題非常相似，實際上就是小學生解應用題時的步驟：審題、分析數(shù)量關系、列式計算或列方程解答、驗證。而建模中的“數(shù)學問題（模型）”這個關鍵環(huán)節(jié)跟應用題中數(shù)量關系的分析和確立，都是用一些文字、符號或圖形表達這個關系而形成的模型，其本質(zhì)沒有區(qū)別。所以進一步研究怎樣把數(shù)學建模思想融合到解決問題里去，對提高學生解決問題的能力有一定的研究價值。

不管是何種因素導致學生解題能力低下，也應歸咎于學生和教師對問題的數(shù)量關系理解不深刻。解應用題時，有正確完整的數(shù)量關系模型才可以解答問題，不論是列算式還是列方程。因此，重視數(shù)量關系的分析、提取和運用是提高學生應用題解題能力的核心。

二、探索利用建模思想解決問題的課堂案例

在小學數(shù)學應用題范疇里，用特定的數(shù)量關系或特殊步驟解決問題，我們把這種類型題目叫做典型應用題，因其有較大的研究價值，我們把這些應用題歸類成各種“問題”。下面以四年級下學期的“雞兔同籠”問題作為案例來解析建立數(shù)學模型教學方法。

課上，教師引入一類型問題“籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有8個頭，從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有多少只？”基于建模的一般步驟，我把探索這一問題的課堂實踐分成幾個必要環(huán)節(jié)展開：分析問題、構建模型、驗證模型。

1、分析問題

高等數(shù)學里的數(shù)學建模的第一步是對象屬性的分析和背景調(diào)查，而小學數(shù)學里面，解題第一步是審題，這里可以理解成后者是前者的初級版。審題時除了讀出隱藏信息（例：兔有4腳，雞有2腳），還需要初步感知條件與問題之間的關聯(lián)性（例：只有知其中一個只數(shù)能求另一個只數(shù)，只數(shù)與腳數(shù)有關，怎樣通過腳數(shù)來確定只數(shù)是關鍵）。對于“雞兔同籠”問題學生主要通過畫圖、枚舉甚至利用表格有序列舉等方法去分析（如圖2、3），因此教師應鼓勵并給予充分時間組織學生動手試探，經(jīng)歷這個過程充分感知后，教師引導指出：不管用什么方法，實際解題方法都離不開“假設”。有人一次假設就碰對，有些則假設多次，并引導學生往有沒有更方便快捷的方法來解決這種問題的方向思考。

這里的分析問題環(huán)節(jié)，不是單純地思考分析，簡單來說是通過動手來思考分析，不斷累積這種基于數(shù)形結合的動手操作的經(jīng)驗來構建想象。這里，畫圖法是最好的體現(xiàn)。同時讓學生感受到當數(shù)據(jù)變大時，粗糙的假設方法是行不通的，需要產(chǎn)生一種相對固定的解決辦法，也就必須找到固定的數(shù)量關系來建立模型。

2、構建模型

（1）從假設中感知規(guī)律

在充分體驗假設后，教師根據(jù)實際情況可設問“在這個過程里說說你的發(fā)現(xiàn)”。學生不管是哪種假設，當他們直觀感受到當假設得到的總腳數(shù)比26（實際總腳數(shù)）多時，說明假設兔的頭數(shù)多了，反之。教師接著引導指出：假設總腳數(shù)與26的差值與兔多出的只數(shù)有關。然后進一步觀察列表（如圖4）中數(shù)據(jù)探索這種關系（如圖5）。

學生不難發(fā)現(xiàn)，每多一只兔，總腳數(shù)就多2;也就是總腳數(shù)多了2n，兔假設只數(shù)多n，反之。所以不管任何一種假設，只要知道與實際腳數(shù)相差多少，就能推出兔的假設只數(shù)比實際相差多少，我們可以利用這個關系來確定兔的實際只數(shù)，從而確定雞只數(shù)。

（2）提取算式，初構模型

在基于學生不同的假設上，老師順勢引導學生列算式表達出不同的假設，嘗試在這些不同的“假設”算式里找到模型的影子。

例：當雞只有0只，那么兔就有8只：………假設的腳數(shù)比實際多

總腳數(shù)比實際多6，那么兔的假設只數(shù)多了，說明兔實際有，雞有。如此類推。

………………

不管學生如何假設兔只數(shù)和雞只數(shù)，都有能通過雞與兔的總腳數(shù)和實際總腳數(shù)的差值除以“2”來求出多了幾只兔或少了幾只兔，從而對應求出雞兔的實際只數(shù)。

（3）深入?yún)⑴c模型建構，發(fā)掘模型本質(zhì)

上一個例題是以動物雞和兔為情景，為了更接近雞兔同籠問題的本質(zhì)，我們可以對上一個例題的對象和情景稍作更改，以達到變式效果?？膳e出第二例題：停車場里有10個停車位，里面停滿了三輪車和摩托車，每個停車位只能停一輛車，如果這里所有車一共有23個輪子，問三輪車和摩托車各有多少輛？

學生基于第一例題的探究經(jīng)驗，不難看出“10個車位”相當于雞兔總只數(shù)，求摩托車和三輪車各有的輛數(shù)相當于求雞兔各有的只數(shù)。只要套用剛才的模型就能解決問題，這里學生會遇到每多一輛三輪車，總輪數(shù)還是否多2的問題，也就需要重新理清“為什么每多一只兔總腳數(shù)就會多2”的問題。設計例題二的原因不單是讓學生體驗情景對象上的變化，更重要的是讓學生體驗問題的本質(zhì)和模型的由來。

通過綜合兩個例題，進一步理解模型本質(zhì)，教師可以引導學生用自己表達方式。如果用對象1和對象2比喻成剛才例題中的雞和兔、三輪車和摩托車，用對象1和對象2的總腳數(shù)比喻成雞兔總腳數(shù)、三輪車和摩托車總輪子數(shù)，要求的是對象1和對象2各有的只數(shù)，那么模型就有一個比較具體的表達，隨意假設對象1和對象2相應只數(shù)后所得模型：

（4）識破變式，看透問題本質(zhì)

經(jīng)歷第二例題的情景與對象的變化，創(chuàng)設例題三以求突破。例三：六1班全班同學參與植樹節(jié)活動，全班共20人，每個男生負責植樹5棵;每個女生負責植樹3棵，一共要種76棵樹，問男女生各多少人？相對例一、二里面的對象屬性，“三輪車和摩托車”與“雞與兔”具有明顯的相似性，學生需要辨識例三是否屬于同類型題目。

隨意假設有19個男生，1個女生，那么就有19×5+1×3=98棵樹，比實際植樹數(shù)多，說明男生假設得多了，女生少了，下面需要知道男生和女生人數(shù)與實際相差多少個，利用模型解決問題：

所以男生實際人數(shù)：19-11=8（人）女生實際人數(shù)：1+11=12（人）

通過多層例題，看透一個本質(zhì)，強化對模型應用，深刻理解了雞兔同籠模型的意義和由來，培養(yǎng)學生的抽象思維。

3、驗證模型

驗證模型也是數(shù)學建模里面的一個必要環(huán)節(jié)，不單只是建設模型，驗證和校對模型同樣是確立模型的關鍵，在小學數(shù)學的解決問題里，“驗證模型”更像是在檢查解決過程的合理性，驗算結果的正確性，對問題進行二次思考與回顧。例如對例題三的驗證：8×5+12×3=76（棵），也可以通過列表和觀察數(shù)據(jù)的變化，判斷出“總腳數(shù)差值”、“單個腳數(shù)差值”和“與實際相差的只數(shù)”三者關系是否符合模型要求。

學生經(jīng)歷參與模型的建立，理解模型由來，看透問題的本質(zhì)，最終理清特定問題的數(shù)量關系的意義，深刻體驗某種數(shù)量關系與特定問題的關聯(lián)性。而非強調(diào)借助記憶力辨別類型題目對應類型模型，從而缺乏對數(shù)量關系摸索的深度參與。

三、雞兔同籠的建模教學方法與傳統(tǒng)的對比

由于學生在四年級還沒有接觸列方程求解，教師在教授“雞兔同籠”問題時多用抬腿法、假設法等方法講解題目，用假設時一般會直接假設全部是兔或全部是雞的只數(shù)，如果當堂教師沒有揭示為什么要這樣假設，學生解題時容易局限于形式套路，著重發(fā)揮記憶和重復訓練的效果來達到解題目的，沒有真正看透假設法的本質(zhì)意義。利用數(shù)學建模的方法則是著重于引領學生觀察和分析問題，通過多層問題的探索而確立數(shù)學模型，發(fā)掘問題的本質(zhì)。整個學習過程的時長可能會超出一般課時的規(guī)定，但這樣能夠充分開發(fā)揮學生的思維深度，重視建立數(shù)量關系模型，把握解決問題的核心。

參考文獻

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