周步芳 付維杰 喬亞琴

摘? 要：文章對2019年“高教社杯”全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽C題“機(jī)場的出租車”選擇問題，提出相應(yīng)策略。首先，建立非線性決策模型，為確保司機(jī)收益最大化提供方案;其次，將咸陽機(jī)場數(shù)據(jù)代入模型中計(jì)算得到出租車司機(jī)決策方案;然后，建立排隊(duì)論模型并優(yōu)化，為助管理部門設(shè)置合理上車點(diǎn)提供方案，提高乘客乘車效率;最后，建立匹配算法中的幾何算法模型解決長短途出租車的收益均衡問題。最后給出模型的評價。

關(guān)鍵詞：非線性模型;排隊(duì)論模型;幾何算法;數(shù)學(xué)建模

Abstract：In this paper，the paper puts forward the corresponding strategies for the C-question of “Airport Taxi” in the national college studentsmathematical modeling contest of 2019 “Higher Education Society Cup”. Firstly，a nonlinear decision-making model is established to provide a scheme for maximizing the drivers income;secondly，the Xianyang Airport data is substituted into the model to calculate the taxi drivers decision-making scheme;then，the queuing theory model is established and optimized to provide a scheme for the management department to set up a reasonable boarding point and improve the passengers riding efficiency;finally，the geometric algorithm model solution in the matching algorithm is established to solve the problem of income balance of long and short distance taxi. Finally，the evaluation of the model is given.

Keywords：nonlinear model;queuing theory model;geometric algorithm;mathematical modeling

0? 引? 言

當(dāng)前高等教育著重培養(yǎng)具有高素質(zhì)的專業(yè)技能應(yīng)用型人才。“機(jī)場的出租車”選擇決策模型研究，是通過數(shù)學(xué)建模將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實(shí)踐，把實(shí)際問題抽象特征用數(shù)學(xué)公式量化求解。對該問題的研究，有助于教師在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想，有效將數(shù)學(xué)知識與應(yīng)用能力結(jié)合，為社會培養(yǎng)具有一定創(chuàng)新意識、創(chuàng)新思維能力的高層次人才。文章以咸陽國際機(jī)場為研究背景，通過分析咸陽國際機(jī)場出租車數(shù)據(jù)，建立基于“機(jī)場的出租車”選擇問題的數(shù)學(xué)模型，并對模型優(yōu)化處理，以期為全國機(jī)場出租車司機(jī)提供合理的選擇方案，即為出租車司機(jī)提供使得收益最大化的決策方案。

1? 擬解決的問題

“機(jī)場的出租車”選擇決策模型研究問題背景：在公共交通便利的今天，人們對于出行有了更高的要求。選擇航空出行的人也越來越多，使機(jī)場成為重要的交通樞紐，出租車是從機(jī)場到市區(qū)的主要的交通工具之一。但出租車從市區(qū)載客到達(dá)機(jī)場后，有兩種選擇，即在蓄車池排隊(duì)載客進(jìn)入市區(qū)或者空車返回市區(qū)，并且兩種選擇付出成本不同：載客返回需要付出一定時間成本，排隊(duì)等待也存在相應(yīng)風(fēng)險(xiǎn);空載返回將要付出空載費(fèi)用且有可能失去潛在的載客收入。因此，機(jī)場出租車問題研究對機(jī)場交通流暢以及經(jīng)濟(jì)發(fā)展有重要的作用?，F(xiàn)擬解決以下四個問題：

問題1：研究影響司機(jī)決策的因素、司機(jī)收入與乘客數(shù)量變化的規(guī)律，為司機(jī)提供相應(yīng)選擇策略。

問題2：根據(jù)問題1的模型給出國內(nèi)咸陽機(jī)場出租車司機(jī)決策方案。

問題3：在機(jī)場擁有兩條并行車道，分別對經(jīng)常出現(xiàn)的乘客排隊(duì)乘車和出租車排隊(duì)載客的情況，幫助管理部門提供設(shè)置上車點(diǎn)的方案，保證乘客乘車效率最高。

問題4：假設(shè)出租車的收益受載客行駛里程影響，乘客到達(dá)目的地遠(yuǎn)近不同，出租車允許往返載客但不可選擇乘客也不能拒載。有關(guān)部門對短途載客返回的出租車給予一定優(yōu)先權(quán)，試提出“優(yōu)先”安排方案，使長短途出租車收益平衡。

2? 問題分析

2.1? 問題1分析

影響出租車司機(jī)收益的因素很多，機(jī)場的客流量是一個主要因素，季節(jié)不同、時間不同，則機(jī)場客流量不同。依此，將機(jī)場客流量分為高峰期和低峰期。假設(shè)低峰期客流量小司機(jī)選擇空返，高峰期客流量大載客返回不用排隊(duì)等待。對問題1，建立非線性規(guī)劃模型，計(jì)算蓄車池內(nèi)車輛數(shù)n為何值時出租車選擇策略最優(yōu)。

2.2? 問題2分析

利用問題1建立的模型，以國內(nèi)咸陽機(jī)場的數(shù)據(jù)為例，通過MATLAB計(jì)算蓄車池內(nèi)車輛數(shù)n，得到司機(jī)收益值，比較不同方案收益的大小，讓出租車司機(jī)做出準(zhǔn)確的判斷。

2.3? 問題3分析

考慮乘客到達(dá)乘車臺的時間符合泊松分布，上客時間符合負(fù)指數(shù)分布，針對問題3設(shè)計(jì)了3個排隊(duì)論模型，分別是M/M/1/∞/∞/FCFS模型、M/M/C/∞/∞/FCFS模型和M/D/1/∞/∞/FCFS模型。

2.4? 問題4分析

針對問題4，建立幾何算法模型，并通過GPS定位，對每輛返程出租車的電子路程進(jìn)行判斷，確定“優(yōu)先”安排方案，最終達(dá)到長短途出租車收益均衡。

3? 模型的建立與求解

3.1? 問題1模型的解決方案

設(shè)蓄車池的車輛數(shù)為n，出租車司機(jī)每天工作時間為H，乘客上車時間為t。假設(shè)：（1）司機(jī)從排隊(duì)到載客返回市區(qū)的時間等于從市區(qū)到機(jī)場排隊(duì)區(qū)的時間，記為Z;（2）從市區(qū)到機(jī)場和機(jī)場到市區(qū)的價格設(shè)為R;（3）出租車在蓄車池依“先來后到”原則排隊(duì)等候載客。則高峰期司機(jī)獲得收益的非線性規(guī)劃模型（A方案 ）為：

3.2? 問題2的解決方案

如表1是國內(nèi)咸陽機(jī)場出租車相關(guān)數(shù)據(jù)，表2是出租車價格標(biāo)準(zhǔn)。此外，車型1.8 L以上（含新能源）2公里、1.8 L以下3公里按起步價收費(fèi)，乘客需額外支付過橋路費(fèi)，夜間23：00—06：00之間價格上調(diào)0.3元。表2中車程8公里以內(nèi)按計(jì)費(fèi)價格收費(fèi)，8公里以上開始計(jì)空貼，空貼比例是公里運(yùn)價的50%。司機(jī)每日工作時間按照國家標(biāo)準(zhǔn)工作時長8小時來計(jì)算，由參考文獻(xiàn)[1]知乘客上車時間為7.67 s ～12.00 s，機(jī)場到市區(qū)行車時間約為25 min～45 min，由參考文獻(xiàn)[2]知機(jī)場蓄車池最大蓄車量約為460輛。表中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來源于咸陽國際機(jī)場官網(wǎng)。

通過問題1建立的模型，將表1、表2的數(shù)據(jù)代入式（1）與式（2），利用MATLAB計(jì)算蓄車池內(nèi)車輛數(shù)n，得到圖1、圖2的收益與蓄車池內(nèi)車輛數(shù)n之間的關(guān)系。

由圖可知蓄車池車輛數(shù)n越大司機(jī)收入越少，蓄車池車輛數(shù)n越小司機(jī)收入越多。將以上數(shù)據(jù)代入式（1）與式（2）中計(jì)算，可得當(dāng)n為0～125時司機(jī)選擇進(jìn)入蓄車池排隊(duì)載客獲利更高，當(dāng)n為125～352時司機(jī)選擇放空返回和排隊(duì)載客的收益持平，當(dāng)n大于352時司機(jī)選擇返回市區(qū)更佳。

3.3? 問題3的解決方案

為使機(jī)場交通暢通，保證乘客和車輛安全的情況下使乘車效率最高，在有兩條并行車道的前提下，建立排隊(duì)論模型，設(shè)置合理的出租車上車點(diǎn)，并不斷進(jìn)行優(yōu)化、改進(jìn)，最終使乘車效率最高。排隊(duì)系統(tǒng)模型[3]被廣泛應(yīng)用于窗口服務(wù)、交通運(yùn)輸、網(wǎng)絡(luò)服務(wù)等問題的研究。如圖3所示是該模型的排隊(duì)流程。

假設(shè)隨著信息技術(shù)的發(fā)展，機(jī)場蓄車池有較規(guī)范的管理模式，整個蓄車池運(yùn)行狀況良好。乘客下飛機(jī)后依次進(jìn)入蓄車池排隊(duì)上車，圖4給出最基本的排隊(duì)形式。但是沒有專門的等候區(qū)域，是不能保障乘客秩序的。因此，引入取號機(jī)引導(dǎo)乘客進(jìn)入排隊(duì)區(qū)等候，并且在乘客取票時，服務(wù)人員利用信息手段配合取票過程，使取票窗口的效率提升，得到圖5所示的優(yōu)化模型。

排隊(duì)設(shè)計(jì)了3個排隊(duì)論模型，M/M/1/∞/∞/FCFS模型，M/M/C/∞/∞/FCFS模型和M/D/1/∞/∞/FCFS模型。表4是乘車排隊(duì)窗口不同模型的性能指標(biāo)計(jì)算對照表[3]。

其中，ρ表示車輛服務(wù)強(qiáng)度，Ls表示系統(tǒng)內(nèi)乘客數(shù)的數(shù)學(xué)期望，Lq表示系統(tǒng)內(nèi)等待服務(wù)的乘客數(shù)的數(shù)學(xué)期望，Ws表示乘客在系統(tǒng)內(nèi)逗留時間的數(shù)學(xué)期望，Wq表示乘客在排隊(duì)系統(tǒng)中等待時間的數(shù)學(xué)期望，λ表示單位時間平均到達(dá)的乘客數(shù)，μ表示單位時間能被服務(wù)完成的乘客數(shù)， 表示一個顧客的平均服務(wù)時間，c表示服務(wù)臺個數(shù)，初值（k為常數(shù)）。表5列出出租車數(shù)量與車輛服務(wù)強(qiáng)度之間的關(guān)系。

圖6是三種模型的比較條形圖，從圖所示的結(jié)果可以看出，當(dāng)ρ<1時乘車效率最高，也就是說當(dāng)上車點(diǎn)至少為6個時乘車效率最高。

3.4? 問題4的解決方案

乘客目的地有遠(yuǎn)有近，為兼顧司乘雙方利益，針對問題4，結(jié)合市區(qū)的實(shí)際路網(wǎng)情況，建立地圖匹配算法中的幾何算法[4]。分兩個步驟：一是確定出租車軌跡點(diǎn);二是用幾何算法中點(diǎn)到線匹配，約束軌跡點(diǎn)與匹配點(diǎn)幾何距離最小，以及約束匹配點(diǎn)與周圍路段的幾何形態(tài)。設(shè)匹配度指標(biāo)為θ，θ越小匹配度越高，計(jì)算公式為：

其中， 為匹配點(diǎn)到各路段的垂直距離，σ為匹配點(diǎn)行駛方向與路段方向之間的夾角，λ1、λ2為夾角和路段對匹配度的影響程度，λ1+λ2=1。地圖匹配算法過程如圖7所示。

在圖7中，q為待匹配點(diǎn)，將圓心設(shè)為q的誤差圓，集合路段為TY={L，M，N，K}，節(jié)點(diǎn)1、2和形狀點(diǎn)5組成了路段L，節(jié)點(diǎn)1、4和形狀點(diǎn)組成路段M，節(jié)點(diǎn)3、4和形狀點(diǎn)7、8組成路段N，節(jié)點(diǎn)2、3和形狀點(diǎn)6組成路段K，按照匹配度值的大小，L路段最終會形成軌跡點(diǎn)，確定軌跡點(diǎn)后，軌跡點(diǎn)到路段的具體位置將采用垂直投影法匹配，q0為修正后的位置，最終對出租車的公里數(shù)進(jìn)行判斷。

4? 結(jié)? 論

模型的優(yōu)點(diǎn)：在處理方面數(shù)據(jù)，我們根據(jù)所給題目，詳細(xì)查找了影響出租車決策的相關(guān)機(jī)理，并假設(shè)在理想狀態(tài)下出租車司機(jī)的最大收益，幫助出租車司機(jī)實(shí)現(xiàn)利益最大化。

在問題2查找數(shù)據(jù)中，我們以咸陽機(jī)場為例，并記錄總結(jié)了飛機(jī)各時段的到達(dá)高峰期，代入模型求解給出蓄車池車輛數(shù)n對司機(jī)決策的影響規(guī)律。模型圖像處理采用MATLAB作圖，計(jì)算了白天以及夜晚的出租車?yán)瓦x擇模型，并且計(jì)算出哪些時刻和方案可以使出租車司機(jī)收益最大化，使問題結(jié)果更加可信、直觀和準(zhǔn)確。在問題3的模型建立上，采取了排隊(duì)論模型的理論架構(gòu)，同時簡化了復(fù)雜的模型公式，盡可能用最簡單的公式解決難題。

模型缺點(diǎn)：在問題1中，只采用了在理想狀態(tài)下的數(shù)據(jù)分析，結(jié)果比較單一，沒有考慮出租車排隊(duì)時啟動的時間，結(jié)果具有一定的誤差;沒有系統(tǒng)和全面地分析影響出租車收益的其他因素。在問題3中，由于數(shù)據(jù)過于龐大，模型求解的過程過于繁瑣，降低了數(shù)據(jù)處理的靈活性。

參考文獻(xiàn)：

[1] 黃巖，王光裕.虹橋機(jī)場T2航站樓出租車上客系統(tǒng)組織管理優(yōu)化探討 [J].城市道橋與防洪，2014（12）：7-9+36.

[2] 號外咸陽.咸陽機(jī)場出租車新蓄車場于6月8日投入試運(yùn)行 [EB/OL].（2018-06-09）.http：//k.sina.com.cn/article_1780034803_6a192cf3027007o5b.html.

[3] 周惠暖，陳見標(biāo)，劉心如，等.排隊(duì)論在我國的應(yīng)用學(xué)術(shù)研究綜述 [J].中國儲運(yùn)，2020（4）：121-124.

[4] 余震，何留杰，王振飛.基于點(diǎn)線投影模型與幾何誤差制約規(guī)則的圖像匹配算法 [J].電子測量與儀器學(xué)報(bào)，2018，32（4）：87-94.

作者簡介：周步芳（1989—），女，漢族，甘肅白銀人，助教，碩士研究生，研究方向：粗糙集、多標(biāo)簽學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)教學(xué);付維杰（1992—），女，漢族，陜西寶雞人，助教，碩士研究生，研究方向：圖論及其應(yīng)用、數(shù)學(xué)教學(xué);喬亞琴（1992—），女，漢族，陜西榆林人，助教，碩士研究生，研究方向：機(jī)器學(xué)習(xí)、智能算法、數(shù)學(xué)教學(xué)。