楊潤歌 郜舒竹

【摘? ?要】推理是從一個命題判斷到另一個命題判斷的思維過程。其形式多種多樣，包括演繹推理、歸納推理、類比推理、比例推理、協(xié)變推理以及變換推理等。推理能力貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，教師要幫助學(xué)生學(xué)會追根溯源，明晰算法背后的推理以及用聯(lián)系的眼光看待推理間的不同形式，理解這些內(nèi)容將有助于推理能力和辯證思維的發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】推理;比例推理;協(xié)變推理;變換推理;聯(lián)系

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）中指出，在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的推理能力。推理是人們?nèi)粘Ｉ詈蛯W(xué)習(xí)中經(jīng)常使用的思維方式，它一般包括合情推理和演繹推理。在解決問題的過程中，兩種推理的功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論;演繹推理用于證明結(jié)論。《課標(biāo)》中主要強(qiáng)調(diào)了演繹推理、歸納推理和類比推理，需要進(jìn)一步思考的問題有：這幾種推理形式之間的關(guān)系是什么？是否還有其他的推理形式？推理能力指怎樣的數(shù)學(xué)能力？

一、推理

人的思維方式包括概念、判斷和推理，其中推理（Reasoning）是指從一個命題判斷到另一個命題判斷的思維過程。[1]對于這種思維形式可以從形式邏輯推理和辯證邏輯推理進(jìn)行深入認(rèn)識。

（一）形式邏輯推理

形式邏輯包括演繹邏輯和歸納邏輯的內(nèi)容，它指撇開具體的、個別的思維內(nèi)容，從形式結(jié)構(gòu)方面來研究命題。演繹邏輯是以演繹推理為基本內(nèi)容的邏輯體系，其中演繹推理指由一般性知識為前提推出個別性知識結(jié)論的推理。而歸納邏輯是以歸納推理為基本內(nèi)容的邏輯體系，其中歸納推理是從個別性知識為前提推出一般性知識結(jié)論的推理。

演繹推理與歸納推理均是由前提推出結(jié)論的過程，只不過演繹推理是由一般到特殊的過程，前者涵蓋的知識內(nèi)容要大于后者，按這一思維方式進(jìn)行推理得出的結(jié)論必定是正確的，因此演繹推理亦可稱為必然推理。相反，歸納推理是由特殊到一般的過程，其中的完全歸納推理為必然推理，不完全歸納推理則為合情推理。

類比推理是根據(jù)兩個或兩類對象某些屬性的相同，推出它們的其他屬性也可能相同的推理。類比推理是一種合情推理，其可靠程度取決于“前提中確認(rèn)的共同屬性的多少以及共同屬性和類推出來的屬性的關(guān)系是否密切”。[2]因此，按必然推理與合情推理的分類標(biāo)準(zhǔn)對《課標(biāo)》中的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行整理，如圖1所示。

《課標(biāo)》中談及“教師在教學(xué)過程中，應(yīng)該設(shè)計適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、嘗試、估算、歸納、類比、畫圖等活動發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，猜測某些結(jié)論，發(fā)展合情推理能力”。但圖1的推理關(guān)系表明，歸納推理并非全部屬于合情推理的范圍，而僅指歸納推理中的不完全歸納推理。

在形式邏輯的學(xué)科視野中，推理前提的真實(shí)性是由各門具體科學(xué)給定的，是各門具體科學(xué)研究的對象，形式邏輯本身是無從證實(shí)其前提內(nèi)容真實(shí)性的。[3]也就是說形式邏輯推理是從具體推理中抽象出推理形式進(jìn)行研究，只要滿足其同一律、矛盾律和排中律即可，無須考慮內(nèi)容。這就使得《課標(biāo)》中關(guān)于“通過實(shí)例使學(xué)生逐步意識到，結(jié)論的正確性需要演繹推理的確認(rèn)”的說法，更值得細(xì)細(xì)推敲，即進(jìn)行演繹推理的前提不一定都是正確的。

（二）辯證邏輯推理

辯證邏輯不是關(guān)于思維的外在形式的學(xué)說，它研究概念的矛盾和轉(zhuǎn)化，是現(xiàn)實(shí)的矛盾運(yùn)動在思維運(yùn)動中的反映。[4]概念間的組合會形成命題或判斷，而推理又是從一個判斷到另一個判斷的過程，因此概念、判斷和推理三者之間環(huán)環(huán)相扣。辯證邏輯將概念中的矛盾繼續(xù)延伸到推理中。矛盾的普遍性決定了當(dāng)以辯證的眼光看待問題時，任何事物都是對立統(tǒng)一的存在，也就是矛盾具有客觀性，這種矛盾是無法消除或避免的。

在形式邏輯中也存在矛盾律，是指某一命題或判斷不能既為真又為假。只要遵守這條規(guī)律，注重命題或判斷的描述，矛盾是可以避免的，這一點(diǎn)與辯證邏輯有所不同?！墩n標(biāo)》關(guān)于“證明命題時，應(yīng)要求證明過程及其表述符合邏輯，清晰而有條理”這一表述中的“符合邏輯”是符合形式邏輯。一是指推理形式符合規(guī)律，主要是指矛盾律。若按形式邏輯理解矛盾律自然可以避免，但若以辯證思維來考慮問題，矛盾一定存在就不合乎邏輯了。二是忽略了推理內(nèi)容。比如人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊出現(xiàn)的“雞兔同籠”問題，其中一種解題想法是“使雞抬起一只腳”以及“兔抬起兩只腳”，進(jìn)而推理出雞兔各為多少。[5]這一過程中出現(xiàn)的“是雞”“非雞”與“是兔”“非兔”的內(nèi)容情境是存在矛盾的，顯然也不符合形式邏輯。

形式邏輯推理與辯證邏輯推理各有其特性，二者相輔相成，可以從形式與內(nèi)容兩個角度以辯證思維看待推理形式?！墩n標(biāo)》中將合情推理與演繹推理作為兩種相輔相成的推理形式，強(qiáng)調(diào)“‘證明的教學(xué)應(yīng)關(guān)注學(xué)生對證明必要性的感受，對證明基本方法的掌握和證明過程的體驗”。此處似乎將推理能力的發(fā)展寄托于證明題，并在附錄中出示了相關(guān)例題（參見《課標(biāo)》例62）。事實(shí)上，推理不僅存在于證明題中，在應(yīng)用題的求解、知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)等內(nèi)容中均有體現(xiàn)，且推理形式不拘泥于《課標(biāo)》中所談及的。

二、多樣性

推理的教學(xué)往往不會孤立存在于某一板塊內(nèi)容與某幾種形式之間，因此除《課標(biāo)》中談及的演繹推理、歸納推理和類比推理外，推理的形式是多種多樣的。

（一）比例推理

比例推理（Proportional Reasoning）是關(guān)于數(shù)量關(guān)系的思考，要求同時對幾個數(shù)量或值做出比較。[6]在小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中比例推理常以缺失值的形式呈現(xiàn)。如“小明騎行4千米用時20分鐘，小剛同速騎行12千米需要多長時間？”對于該問題，可以從以下三個角度思考。其一“一份是多少”的策略，根據(jù)小明的騎行信息可知二人的騎行速度為1分鐘行駛[15]千米，或行駛1千米用時5分鐘，此時再運(yùn)用速度、時間與路程的數(shù)量關(guān)系即可求得小剛的用時。其二“倍數(shù)有多少”的策略，小剛比小明多走了3倍，所用時間亦為3倍關(guān)系。其三“交叉相乘”策略，利用二者同速的條件列方程求解。[7]前兩種策略是建立在學(xué)生生活經(jīng)驗之上的一種直觀方法，而第三種策略是學(xué)生慣用的一種算法，只要遇到相似形式的方程就會做出的一種操作，因此，需要進(jìn)一步思考這種算法背后的算理是什么。

因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)的推理能力，應(yīng)當(dāng)是用聯(lián)系與發(fā)展的眼光看待問題的綜合能力。

綜上，推理作為一種思維形式，要將推理的形式結(jié)構(gòu)與內(nèi)容結(jié)合起來辯證地加以認(rèn)識。在知識學(xué)習(xí)以及問題解決過程中存在多樣的推理形式，它們之間相互聯(lián)系，并不是彼此割裂的對立面。

參考文獻(xiàn)：

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[6]李曉東，江榮煥，錢玉娟.中小學(xué)生對比例推理的過度使用[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2014（6）：73-77.

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（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院? ?100048）